지난번 칼럼 마지막 단락에서 유리수의 수열이 편집자의 실수로 빠졌습니다. 빠진 부분을 추가하여 문장을 완성하면 다음과 같습니다. “다음과 같은 유리수의 수열을 만들어 봅시다.   ....”
윗글을 추가한 후 지난 칼럼의 마지막 단락을 읽어보시면 보다 정확히 내용을 이해하실 수 있을 것입니다.이 글들은 수리논술 및 구술, 면접을 준비하는 학생들에게 실질적인 도움을 주기 위해 연재되고 있습니다. 물론, 선생님들에게도 많은 도움이 될 수 있을 거라 확신합니다. 수학적 지식이 조금 있는 사람이면 누구나 이해할 수 있으니 꼼꼼하게 읽어보시기 바랍니다.이번호에는 지난 호에 이어서 무한집합 크기 비교 두 번째로, 실수와 유리수의 크기를 비교해 보겠습니다. 실수 중에서도 0~1 사이의 실수만 생각해 보겠습니다. 유리수는 지난 호에서 자연수 집합의 원소의 개수와 그 수가 같음을 보였으므로, 유리수 대신 자연수를 이용하여 그 크기를 비교하겠습니다.
결론부터 말씀드리면, 0~1 사이의 실수들은 자연수와 일대일 대응관계를 맺는 것이 불가능합니다. 즉, 자연수의 집합보다 0~1 사이의 실수들이 훨씬 많습니다. 그 이유는 다음과 같습니다. 우선, 다음과 같은 실수들의 나열을 생각해 봅시다. 0.a1a2a3a4a5a6……. 0.b1b2b3b4b5b6……. 0.c1c2c3c4c5c6……. 0.d1d2d3d4d5d6…….  등 0~1 사이의 실수를 계속해서 자연수에 하나씩 대응시키는 함수를 만들어 봅시다. 그러면 0.a1a2a3a4a5a6…… 는 ①이 되고, 0.b1b2b3b4b5b6…… 는 ②가 되고, 0.c1c2c3c4c5c6…… 는 ③이 되며, 0.d1d2d3d4d5d6……는 자연수 ④에 대응됩니다.
그러나 이렇게 모든 자연수와 위의 실수들이 대응된다고 가정하면 문제가 생깁니다. 즉, 각 실수에서 하나의 자릿수만 빼와서 만든 실수 0.a1b2c3d4e5f6....., 를 생각해 봅시다. 그리고 이 숫자의 각각의 자릿수를 바꾼 0.a''1b''2c''3d''4e''5f6''.... (a1≠a''1, b2≠b''2, ......) 를 만들어보면, 이 숫자는 분명이 0~1 사이의 실수지만, 위의 수열에서는 빠져있습니다.
결국 우리는 어떻게 실수를 배열하더라도 자연수에 대응시키면(번호를 매기게 되면) 항상 빠져있는 숫자가 생긴다는 것을 알 수 있게 됩니다. 따라서 자연수보다 0과 1 사이의 실수가 훨씬 많다는 것을 이해할 수 있습니다.

미르아카데미학원 조형진 원장

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