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- 학생이 적극적으로 참여하는 수학시간 유투엠 분당미금캠퍼스 강사 박희정031-712-9700교사 중심의 주입식 낡은 교육방식으로 배워왔던 수학수업이 이제는 학생이 중심이 되어 상호 소통하는 거꾸로 수업으로 바뀌고 있다. 수학수업을 재미있고 쉽게 만들기 위한 플립러닝에 기반을 둔 ‘말하는 수학’을 시스템화시키는 방법이다. 이 프로그램은 집단적 주입식 교육모델을 거꾸로 뒤집어 문답식 수업, 토론발표수업, 또래 가르치기, 거꾸로 설명하기라는 말하기 전략을 바탕으로 학생중심 참여수업이 진행된다. 수업에 대한 적극성과 두뇌의 활성화실제로 주입식 수업에선 수업시간에 흥미가 떨어져 조는 학생들이 있었는데 이 방식의 수업은 지루하지 않고 서로 발표하고 이야기하는 생동감 넘치는 교실로 분위기가 바뀌었다. 학생들이 가장 만족하는 시간이 개념 동영상을 들은 후 선생님과 질의응답 하는 시간이라고 하는데 이 시간이 가장 활기찬 시간이라 할 수 있다. 적극적으로 질문하고 답변하고 토론하고 설명하게 해야 두뇌가 쉴 틈 없이 자극되고 끊임없이 생각을 한다. 중요한 것은 스스로 생각하고 비판적으로 사고하는 능력을 키우는 것이다. 말하는 공부법은 미래 사회의 인재가 지녀야 할 3가지 핵심역량인 사고력, 창의력, 의사소통능력을 길러주는 살아있는 교육법이다.수업내용에 대한 정확한 분석과 평가이 방식은 분기별 학력진단평가를 통한 학생의 실력을 정확하게 분석하고 학생 개개인을 파악하여 선행진도에 따른 학습과정 설정, 심화 이해도에 따른 교재 레벨 설정, 성취도와 학습 진행속도에 맞춰 진도를 나가는 등 세심한 맞춤식 설계가 가능하다. 분기별 종합분석표로 학생의 꾸준한 실력향상을 상담 시 직접 확인하며 학생이 학원에 가서 무엇을 배우는지 어떤 교재로 배우는지 어느 정도의 성취도를 이루고 있는지 등을 정확히 파악할 수 있다. 말하는 수학으로 서술형평가와 대입논술, 면접에 최적화개편된 교과과정에서 가장 중요시되고 있는 방향이 수학적 의사소통과 수학적 과정의 강화이다. 이러한 정책방향에 맞춰 스토리텔링 문제가 도입되고, 평가에서도 서술형 문제를 통해 수학적 과정을 평가하는데 주력하고 있다. 수업 시험기간 역시 또래 가르치기 및 거꾸로 설명하기를 통해 자신 있게 말할 수 있기 때문에 서술형대비는 자연스레 이루어지고 있다. 또한 대학입시에서 교과 외 면접이나 논·구술에 대비하기 위한 최적의 학습법이 평소 논리적 사고력과 의사소통능력을 길러주는 말하는 공부법이라고 할 수 있다. 2016-10-19
- 학생 한 명에 하나의 커리큘럼,개인과외 같은 학원 입시에서 수학의 중요성이 갈수록 커지면서 학생들의 공부 양은 점점 많아지고 있다. 이처럼 이르게는 초등 고학년부터 입시 수학 공부에 돌입하지만 고등이후 가장 많은 학생들이 포기하는 과목도 수학이다. 언제까지 가성비 낮은 수학 공부를 계속 할 것인가. 수내동에 있는 수학습관은 내 아이만을 위한 개별 프로그램과 철저한 맞춤 관리식 개인지도로 수학으로 입시에 성공하는 학생을 길러내고 있다.개념을 정확하게 이해하고, 문제에 적용시킬 수 있는가학원의 체계적인 학습 및 관리 시스템과 개인지도의 꼼꼼함을 다 갖춘 프로그램은 모든 학부모들이 바라는 교육이다. 수학습관이 바로 이러한 니즈를 충족시키는 몇 안 되는 학원이다. 작지만 강한 학원으로 상위권 학부모들에게 잘 알려져 있다.“수학은 학생마다 취약점이 다른 경우가 많기 때문에 무조건 학원이 짜놓은 프로그램에 맞추는 공부로는 학생의 개별적인 학습 상황을 파악하기 어려운 면이 있습니다. 때문에 학생이 무엇을 알고 무엇을 모르는지 정확하게 파악하는 작업이 가장 먼저 선행되어야 합니다.”수학습관이 학생들에게 가장 먼저 하는 작업이 바로 학생의 수학 실력을 객관적으로 파악하는 것이다. 개념을 정확하게 이해하고 있는가. 문제에 어떻게 적용하고 증명해내는가. 수학습관 재원생들은 이러한 물음에 정확하게 답할 수 있다.“스스로 개념과 문제에 적용해서 풀어내는 과정을 설명하도록 합니다. 학습한 내용을 학생에게 맞는 언어로 다시 설명할 수 있으려면 자신이 무엇을 모르는지 확실하게 알게 돼요. 다수의 학생을 대상으로 진행되는 수업에서는 불가능한 작업이죠.”학생의 진로목표와 현재 학습상황까지 반영한 개별 커리큘럼개인지도 수업의 장점은 학생 한 명 한 명의 학습상황을 체크하고 개별적으로 관리할 수 있다는 점이다. 수학습관의 모든 재원생들은 같은 학년이라도 저마다 다른 ‘개인별 커리큘럼’을 가지고 있다.“특목고, 자사고, 일반고, 자연계열, 인문계열, 목표 대학 목표 학과와 학생의 현재 학습상황까지 모두 반영한 개별 커리큘럼을 모든 학생들이 가지고 있어요. 학사일정에 맞춰 1년 단위로 커리큘럼을 설정합니다. 매 시험결과를 바탕으로 심층상담을 통해 목표를 이룰 수 있게 동기부여 작업도 놓치지 않습니다.”수학습관만의 특화된 ‘맞춤식 플래너’는 수학뿐만 아니라 다른 과목의 학습 계획을 세우고 실천할 수 있도록 설계되어 있다. 맞춤식 플래너는 학습 전반에 대한 습관을 만드는 시스템으로 학생과 학원 그리고 학부모와 함께 공유할 수 있도록 했다.“심층상담을 통한 플래닝 교육과 학습 전문 코치에 의한 개별관리로 플래너 작성은 학생들에게 전혀 부담되지 않아요. 궁극적으로는 플래너가 습관이 되도록 하는 것이 목표이기 때문에 학생들 스스로 더 필요성을 느끼게 됩니다.”확실한 수학습관과 성적 상승 위해 개인지도 방식 고수대부분의 수업은 원장 직강으로 진행되고 보조 강사인 학습 코치가 학생들의 학습상황을 엄격하게 체크하고 관리한다. 모르는 것은 그날그날 질의응답을 통해 해결하며 오답노트에 작성해 스스로 설명할 수 있도록 한다. 수학은 훈련이 중요한 만큼 한 단원에 대한 개념 수업 이후에는 그 10배에 대한 문제풀이 훈련을 반복적으로 실시해 철저히 개념과 원리가 체득되도록 지도하는 것도 수학습관의 강점이다.“학원 이름이 ‘수학습관’인 이유도 여기에 있습니다. 학부모님들 대부분은 저희와 같은 개인지도 방식을 선호하는 분들이에요. 학원의 규모나 수업방식으로 볼 때 수용의 한계가 있지만 그래도 개인지도 방식을 고수하고 있습니다. 수학은 이렇게 공부하지 않으면 완벽한 실력을 만들 수 없다는 것을 누구보다 잘 알기 때문입니다.”문의 : 031-703-7109 2016-10-19
- 등급이 달라지는 예비 고1 첫 단추! 수능 영어 절대평가, 이과 선호현상에 이어 문·이과 통합이라는 큰 변화를 앞둔 요즘, 앞으로 입시의 핵심 열쇠는 수학에 있다고 해도 과언이 아닐 정도로 그 중요성이 더욱 커지고 있다. 하지만, 수학은 학년별, 단계별 연계성이 높은 과목으로 단기간에 성적을 끌어올리기 힘든 과목이기도 하다.압구정에 위치한 고등부 수학전문 ‘수학사랑학원’은 20여년의 학원 운영과 고등수학교육 노하우를 바탕으로 재원생의 내신과 수능 성적을 최상위권으로 올려주는 학원으로 입소문 난 곳이다. ‘수학사랑학원’의 곽효용 원장을 만나 입시를 처음 준바하게 될 예비 고1 학생들을 위한 효과적인 수학 학습법과 차별화된 교육시스템에 대해 들어봤다. 입시 수학의 시작, 깊은 이해력, 응용력은 필수!공식 암기, 문제풀이 가능했던 중등 수학과는 달리 고등 수학은 명확한 용어의 개념은 물론 원리와 이유를 이해하는 깊이 있는 학습을 필요로 한다. 반복적인 학습도 필요하지만 어떠한 변형 문제도 다룰 수 있는 깊은 이해력과 응용력을 기르는 것이 더 중요하다. 틀린 이유와 핵심 포인트를 꼼꼼하게 정리하는 오답노트를 작성하는 것도 응용력을 기르는 좋은 방법이 될 수 있다. ‘수능 만점을 만드는 핵심 비결은 개념에 대한 정확한 이해와 응용력‘이라고 곽 원장은 설명했다. 특히, ‘수학사랑학원’은 실력과 경험이 검증된 서울대, 연·고대 출신의 조교를 담임으로 ‘SKY멘토링제’를 실시해 철저한 맞춤식 관리로 지도하고 있다. 맞고 틀린 문제에 대한 정확한 채점은 물론 자신이 알고 배운 내용을 다시 설명하게 하는 문답식 수업을 통해 문제에 대한 깊은 이해와 폭넓은 응용력을 기르게 지도한다. ‘말로 자신이 아는 것을 설명하는 방식은 순간 습득력을 배가시키는 효과와 함께 실력까지 탄탄하게 다질 수 있다’고 강조했다. 수학 잘하기 위한 예비 고1 필수 선행은?곽 원장은 ‘시간에 급급한 어설픈 선행학습 보다 더 중요한 것은 학생들의 수학 공부에 대한 태도와 의지’라고 강조했다. ‘입학고사를 치른 후 ‘수학사랑학원’에서 학생들과 개별 면담 시간을 갖는 이유도 여기에 있다. 단계별 과정이 제대로 마무리 되어야만 무리 없이 진행되는 이곳의 수학 수업에서 무단 지각이나 결석하는 학생은 결코 없으며, 같은 이유로 보충수업 역시 진행되는 법이 없다. 그 결과 재원생 모두 모의고사는 물론 내신도 1~2 등급으로 올리는 높은 성적 향상률을 보여 왔다. ‘겨울방학까지 이과생의 경우는 미적분Ⅱ까지 끝낼 수 있으면 가장 바람직하지만 만약 여의치 않으면 미적분Ⅰ까지 탄탄하게 끝내도 선행학습 진도는 충분하다’고 곽 원장은 예비 고1 학생과 학부모가 걱정하는 선행에 대한 불안과 고민을 자신 있게 일축시켰다. 다음 학기 과정은 방학 동안 선행과 심화학습을 병행하고, 학기 중에는 고난도 심화학습을 통해 내신과 수능을 동시에 준비하면 시간 낭비를 줄일 수 있다고 한다. 효율성을 고려한 커리큘럼과 최적화 된 입시로드맵 역시 성적 향상을 위해 반드시 필요한 내실 있는 필수 전략이다.준비된 습관, 철저한 집중 선행 내신관리 프로그램 방학 중에는 기본 교재로 수능 대비를 위한 선행학습을, 학기 중에는 기본 교재 복습과 고난도 심화학습을 병행한다. 이렇게 반복된 학습효과로 내신과 수능을 동시에 준비할 수 있으며, 탄탄한 수학 실력과 내공을 쌓을 수 있다. 특히 요즘은 수학만 가지고 전교권이 될 수 없고, 수시 비중 확대에 따른 다른 과목의 내신은 물론 비교과나 수행을 위한 적절한 시간 배분도 필요하기 때문에 ‘수학사랑학원’의 내신 대비는 시험 일주일 전 끝내주는 것을 원칙으로 한다.‘예비 고1 겨울방학은 수학 성적을 뒤집을 수 있고, 공부습관을 바꿀 수 있는 절호의 기회’라고 곽 원장은 강조했다. 6주 완성으로 진행되는 예비 고1 집중 프로그램으로 자기주도학습 습관과 앞으로 힘들게 치러야할 입시 공부를 버티는 힘 역시 기르는 것도 필요하다. 카페 ‘압구정수학사랑학원’을 검색하면 졸업생 합격 소감과 수학 공부에 대한 다양한 소식을 접할 수 있다.문의 02-515-5099▒ 예비 고1 6주 완성 집중선행 및 심화반 개강예비 고16주 완성구분일정예비 고1 학부모설명회11월 3일(목) 2시겨울방학 선행학습, 학습방법, 내신관리 등입학고사11월 12일(토) 2시개 강11월 15일(화) 2016-10-15
- 최적의 자연계 입시 솔루션 제시해 교육환경이 변화되면서 영재학교, 과학고, 특목자사고 등 학교마다 전형이나 평가방법이 달라지고 있다. 그러나 대부분 ‘특목고 입시’라는 이름 아래 비슷한 방법으로 입시를 준비하는 것이 현실이다. 다양해진 입시 환경에서 조금이라도 빨리 진로·진학 목표를 세우고, 이에 맞는 로드맵을 그려서 체계적으로 준비하고자 하는 학생들을 위해 ‘와이즈만 영재입시센터’를 소개한다. 의대·영재고 등 대치동 입시 20여년 노하우 담긴 입시 컨설팅‘와이즈만 영재입시센터’는 초·중·고를 아우르는 자연계 입시 전문 센터이다. 지난 9월 ‘와이즈만 영재교육 대치센터’가 ‘와이즈만 영재입시센터’와 ‘와이즈만 영재교육 대치센터’로 이원화하면서 대치동 올가매장 건물 2~3층으로 이전했다. ‘와이즈만 영재입시센터’ 이종만 소장은 “기존에는 입시에 구애받지 않고 토론, 실습, 사고력수학 중심의 초·중등 수업이었다면 ‘ 와이즈만 영재입시센터’는 영재학교, 과학고, 자사고 등의 고입은 물론 대입까지 준비하는 최적의 솔루션을 제시합니다”라고 말했다. 초등부터 고등까지 폭넓은 학생을 대상으로 자연계 입시를 전문으로 지원하는 영재입시센터를 개원하게 된 이유는 무엇일까? 이 소장은 “입시 전형이 다양해지면서 조금이라도 빨리 아이의 적성을 찾고 이에 맞는 진로 목표를 세워서 체계적으로 준비하는 것이 중요해졌기 때문입니다”라고 말했다.이 소장은 대치동에서 20년 넘게 대입, 특히 의대전문 수업과 과고·영재학교 심층면접 컨설팅을 해온 입시 전문가이다. 현장에서 입시를 오래도록 경험하고 급변하는 입시 환경을 직접 느낀 이 소장은 고등학교에 가서 입시를 시작하면 이미 늦는다고 조언했다. 이 소장은 “고등학교에서는 내신과 봉사와 자율 활동, 각 과목 수행평가 챙기기에도 시간이 절대적으로 부족합니다. 중등 때 다양한 실험, 독서 등 기본 베이스를 만들어놓아야 하며 이를 위해 초등 고학년 때부터 차근차근 진로 방향과 학습 계획을 설계하는 것이 유리합니다”라고 강조했다.초등 고학년~중학 시기에 입시 로드맵 수립해야 이 소장은 “성공적인 입시를 위해서는 아이의 꿈과 끼를 잘 파악해서 진로를 정하고 이를 생기부에 자세하고 신뢰성 있게 기록해야 합니다. 그 다음 비교과 활동을 어떻게 할지 결정합니다. 그동안 많은 학생들을 컨설팅하면서 성적이 안 나오는 학생들 보면 장래희망이 없는 경우가 많았습니다. 따라서 긴 안목을 가지고 로드맵을 짜는 것이 무엇보다 중요합니다”라고 조언했다.이를 위해 초등 고학년, 늦어도 중1 시기에 진로를 정하고 이를 위한 큰 그림을 그려야 한다. 그리고 중2에는 이 로드맵에 따라 영재고, 과학고, 특목자사고 등 본격적인 입시 준비가 시작되는 것이다.따라서 ‘와이즈만 영재입시센터’에서는 수업에 앞서 학생들의 적성 및 영재성을 파악하고 진로 목표를 세우기 위한 창의사고력 진단검사가 실시된다. 창의융합인재에게 가장 중요한 창의적 문제해결력과 학업성취도를 파악하는 것이다. 이를 바탕으로 전문 컨설턴트와 함께 각각 학생에게 맞는 로드맵을 세우게 된다.개인의 진학 목표에 맞게 설계되는 ‘2735 프로그램’입시 전형이 다양한 만큼 각 학생들에게 맞는 입시 프로그램 또한 다양할 수밖에 없다. 그렇기 때문에 ‘와이즈만 영재입시센터’는 수업 시간표나 레벨을 정형화하지 않는다. 이 소장은 “수학, 과학의 큰 틀 안에서 각 영역마다 개념 수업과 사고력, 실험, 발표, 토론, 내신 등의 심화수업이 이루어집니다. 학생들은 각자의 로드맵에 따라 수업을 듣습니다. 각자 부족한 부분이나 진학 목표에 따라 수업을 선택하기 때문에 시간표가 똑같을 수 없습니다”라고 말했다.‘와이즈만 영재입시센터’의 대표적인 프로그램 ‘2735 프로그램’은 이처럼 유연하고 세밀한 시스템으로 운영되기 때문에 다변화된 입시에 최적화된 맞춤 입시 프로그램이라고 할 수 있다. 수업은 3개월 단위로 진행되며, 3개월마다 MLST라는 학습전략검사가 실시된다. 전문 컨설턴트가 학생 한 명 한 명을 담당해서 로드맵에 맞게 진행되는지 체크하고, 상황에 따라 로드맵을 업데이트 하는 등 철저히 관리한다.문의 02-552-2735http://blog.naver.com/weiz_daechi 2016-10-15
- 수학 실력, 난이도 있는 양질의 문제 접근에 달렸다 대치동 은마아파트 후문 인근 ‘이데아학원(원장 이은숙)’은 SKY대 및 의대를 목표하는 영재고, 과고, 외고 및 일반고 학생을 대상으로 수학 내신 및 수리논술 수업을 진행하고 있는 중고등 수학ㆍ과학 전문학원이다. 난이도 있는 양질의 문제로 수학적 사고와 문제 해결력을 기르는데 초점을 맞추고 있다. 좀처럼 수학 실력이 늘지 않는 학생들을 위한 수학 솔루션, 이데아학원을 찾아가 조언을 들어봤다. 문제만 많이 풀면 수학 실력 오를까? 난이도 있는 양질의 문제 선별 1순위수학학원을 아무리 오래 다녀도 좀처럼 성적이 오르지 않는다면 무엇을, 어떻게 공부해왔는지를 먼저 재점검해봐야 한다. 여기서 ‘무엇’이라 함은 어떤 문제로 수학 공부를 해왔는가를 말하며, ‘어떻게’라 함은 문제를 풀어나가는 접근 방법을 말한다.이데아학원 한승수 강사는 “수학 공부를 열심히 하는데도 점수가 잘 안 나온다며 학원에 찾아온 학생이 있었다. 그 학생의 수학 학습 패턴을 분석해보니 쉬운 문제 중심의 문제만 풀어봤을 뿐, 난이도 있는 문제를 접해본 적이 없었다. 수학 시험의 70~80%는 상대적으로 쉬운 문제가 출제되지만, 나머지 20~30%는 다각도의 사고를 필요로 하는 문제와 이를 효과적으로 푸는 문제 해결력이 필요하다”며 수학 접근 방식의 핵심을 꼬집었다. 하지만 무조건 어렵기만 한 문제를 푸는 것만이 능사는 아니다. 한 강사는 “고난도 문제 중 실력 향상에 도움이 되는 양질의 문제를 풀어야 한다. 사고력과 문제 해결력을 기르는 데 도움이 되는 문제를 선별해 공부하는 것이 수학 실력 향상의 첫 걸음이다. 2015년 가르쳤던 백O은(세화여고)도 이 과정을 거쳐 고3 4월 모의고사 4등급에서 수능 수학 1등급을 받고 연세대 합격한 바 있다”고 밝혔다. 정답 도출하는 방법은 여러 가지! 학생 취약점 보완하는 것이 급선무 대치동 학원가에는 실력파 강사들이 대거 모여 있지만 그렇다고 모든 학생이 수학을 잘하는 것은 아니다. 강사마다 성향과 장단점, 학원의 교육 시스템이 달라서 이 역시 학생의 부족한 부분을 보완해 실력향상으로 이어지게 하는 것이 좋은 강사의 자질이기도 하다.이상준 강사는 “문제마다 정답을 도출하는 방법은 여러 개가 있다. 어떤 문제를 푸느냐에 따라 소요시간도 다르고, 과정을 얼마나 단축하느냐에 따라 실수를 줄일 수도 있다. 한 문제를 두고 몇 명의 학생이 푼다면, 학생마다 정답을 도출하기까지의 접근 방식이 다 다를 수 있다. 문제의 이해도가 떨어지는 학생도 있고, 문제풀이 속도가 느린 학생도 있다. 풀이과정은 맞는데 계산 실수가 잦기도 하고, 수학의 기본 개념을 몰라 문제를 틀리기도 한다. 또, 풀이과정 2단계까지는 잘 풀다가 3단계에서 막혀 어려움을 호소하는 학생도 있다. 이렇듯 수학 취약점이 학생마다 다르므로 이데아학원 강사진들은 학생에 맞춰 일대일 클리닉 방식으로 약점을 보완해나갈 수 있도록 지도하고 있다”고 덧붙였다. 특목·자사고·일반고 최상위권 다수 배출, 내신 및 수능과 고등 심화 수학까지 동시 대비이데아학원은 영재고, 과고, 외고 등 특목고와 자사고 및 일반고에서 최상위권 학생을 다수 배출해왔다. 중학교 때 ‘미적분, 기하벡터’를 공부했다며 고등 수학을 정복했다고 생각하는 학부모들이 의외로 많지만, 강남 고교 내신에서 수학 평균이 낮다는 점을 상기할 필요가 있다. 수학의 원리와 개념을 고등 심화 수학 연계학습으로 철저히 익혀야 고등 수학에서 우위를 선점할 수 있다는 것이 이은숙 원장의 설명이다.이데아학원 이은숙 원장은 “중학교 때 고등 수학을 잘못 배우면 오히려 나쁜 습관만 생기게 된다. 또한 고교 진학 후 최상위권으로 안착하려면 중등 수학부터 고등 심화 수학까지 시간 낭비와 시행착오 없이 효율적으로 끝낼 수 있도록 개념-응용-심화 과정을 철저히 대비해야 한다”고 강조했다. 이데아학원은 경력 7년 이상 서울대 수학과 출신 고등부 강사진을 주축으로 난이도 있는 양질의 문제를 선별해 사고력과 문제 풀이능력을 키우고, 학생 개개인의 취약점을 일대일 클리닉 시스템으로 보완하며, 과도한 선행 위주의 수업보다는 개념과 심화 수학을 동시에 대비해 최상위권으로 도약할 수 있도록 끌어주고 있다.문의 02-552-4555 2016-10-15
- 서술형 공부의 효율성 지금 우리나라 상황에서 수학을 잘 한다는 말이 어떤 의미인지를 생각해보자. 수학적인 창의력이 뛰어난 경우보다 시험을 잘 치는 것이 수학을 잘한다는 의미로 통용되는 상황이다. 시험의 형태를 크게 나누면 내신 시험, 수능 시험, 논술고사로 나누어 볼 수 있다.먼저 내신 시험을 살펴보면 객관식과 단답형 그리고 서술형 문제가 섞여서 출제된다. 학교마다 다르겠지만 보통 50분정도의 시간에 객관식문제를 15개에서 18개 문항을 출제하고 단답형 문제를 3개에서 5개, 서술형문제를 2개에서 3개 사이로 출제한다. 시험 난이도에 따라 다르겠지만 생각을 하고 문제를 풀 여유가 없다.두 번째 수능 시험의 형태는 객관식 21문제 단답형 9문제가 출제가 된다. 고등학생들은 내신 시험과 수능시험에 초점을 두고 공부를 하지만 수능에 더 비중을 두고 공부하는 경향이 있다. 마지막으로 논술시험은 학교마다 형태가 다르지만 거의 대부분 서술형으로 출제가 되고 있다.객관식 단답형 서술형 시험의 특징을 정리해 보겠다. 객관식 문제와 단답형 문제는 답을 찾아내면 된다. 논리적 접근도 가능하고 직관이나 대입 등 비 논리적인 방법으로의 접근도 가능하다. 이에 반해 서술형 문제는 답을 찾아가는 논리를 중요하게 평가한다.이런 시험형태에서 어떤 방법으로 공부를 하는 것이 안정적으로 좋은 점수를 받을 수 있는지를 얘기해 보면 논리적 접근을 중요시하는 서술형 형태로 공부를 하는 것이 가장 효율적이라고 생각된다. 객관식이나 단답형은 빠른 풀이가 중요한데 서술형으로 공부하는 것이 적절한 방법이 아닐 것이라 생각 되는데 이는 그렇지 않다. 아는 내용을 자주 적어 보면서 개념을 정확히 정리하고 문제를 풀어나가다 보면 훨씬 효율적으로 문제들을 풀어나갈 수 있어 시간도 단축시킬 수 있다. 물론 서술형 시험에서의 효과야 말 할 필요가 없을 것이다.어떻게 그런 긴 문장을 논리적으로 써 나갈 수 있을까에 대한 두려움이 크다. 그러나 이는 자전거를 타는 것과 크게 다르지 않다. 자전거를 타보지 않은 사람이 볼 때 자전거는 아주 불안해 보인다. 그러나 실제 타본 사람들은 전혀 불안하다는 생각을 하자 않는다. 서술형 공부도 처음에는 어설퍼 보이지만 훈련을 통해 쉽게 익숙해진다. 그런데 이는 위에서도 말했던 것처럼 서술형 문제에만 도움이 되는 것이 아니고 객관식이나 단답형에도 아주 유용한 방법이 된다. 다음에는 구체적으로 서술형 공부하는 방법과 효과에 대해 얘기해 보기로 하겠다.위키매틱스심상헌 2016-10-15
- 두더지 잡기 게임과 수학 ‘두더지 잡기’ 게임을 모르는 사람은 없을 것이다. 뿅망치를 들고 바로 앞에서 갑자기 머리를 내미는 두더지를 힘껏 때리면 순식간에 그 옆에서 갑자기 다른 녀석이 뛰어오르고 또 그녀석을 때리려 하면 저쪽에서 연이어 솟아오르는 또 다른 녀석들….이리저리 솟아오르는 녀석들을 우왕좌왕 쫓아다니다 점수를 별로 얻지 못하고 게임이 끝나버려 늘 아쉬워했던 기억이 아련하다. 물론 순발력이 좋은 친구들은 꽤 많은 두더지를 잡아냈지만 끊임없이 이쪽저쪽에서 계속 솟아오르는 그 녀석들 때문에 얼마나 힘들었는지….수학에 그리 연관이 있어 보이지 않는 ‘두더지 잡기’ 게임을 이렇게 언급한 이유는 끊임없는 반복 암기식 문제 풀이위주의 수학 학습 방법이 결국 수학 공부를 한심한 두더지 잡기 게임처럼 의미 없게 만들어 버린다는 것에 경종을 울리기 위함이다. 우리 아이를 비롯하여 주위의 수많은 학생들의 수학 공부 모습들을 보라. 수1이란 두더지를 열심히 몇 달 동안 잡고 나서 그 다음 과정인 수2라는 두더지 잡기에 열중하다 보면 시간이 지남에 따라 수1의 망각이 시작되며 동시에 수1의 어려운 개념들도 구멍이 생겨 두더지처럼 수1이 다시 잡아달라며 슬그머니 고개를 든다. 완벽하게 잡아내지 못한 수1, 수2 두더지를 뒤로하고 확통을 힘들게 마치면 미적이라는 새 두더지가 솟아오른다. 미적을 어렵사리 마칠 때쯤 몇 달 전 잡은 수2 두더지가 구멍이 많다며 다시 솟아오르고 뒤에 기벡을 잡으면 미적이 또다시 고개를 드는, 그래서 또 잡아야 하는 끝없는 두더지 잡기가 우리 아이들의 한심한 수학 공부의 모습이다.이제 단순 반복 유형 암기식 수학의 두더지 잡기는 끝내야 한다. 개념 원리의 연계와 융합 그리고 이해에 바탕을 둔 김필립수학만의 특별한 ‘초집중 수업’은 단 한방의 망치로 두더지를 완전히 제압하듯 수학을 완벽히 정복할 수 있도록 이끌어 낸다. 노력과 시간이 끝없이 반복 투입되어야 하는 대부분의 수학공부는 더 이상 공부가 아님을 명심하라. 그것은 영원히 잡을 수 없는 의미 없는 무한 ‘두더지 잡기’일 뿐일 테니.김필립수학김필립 원장 2016-10-15
- 세상을 움직이는 비밀, 수와 기하 ‘문명과 수학’ (1) 여러 수상이력이 있는 동명의 EBS 다큐시리즈를 도서화한 ‘문명과수학’은 수학역사에 관한 내용이다. 교과서적인 역사책이 아니기 때문에 빠진 문명(바빌로니아,중국문명)들도 있지만, 수학사의 전반적인 주인공격인 이집트문명, 그리스문명, 인도-아랍문명에서 발생한 수학의 기원과 미적분을 비롯한 근현대 수학의 발전상을 꽤 흥미진진하게 풀어나간다. 그리고 교육적인 측면을 위해서 역사적인 내용속에 수학적으로 구현될 수 있는 요소들을 꽤나 포함시켰고, 또한 부록을 통해서 각 장에서 언급하는 수학적인 내용들을 한번 더 보충해가기도 한다. 이 책에서 수학은 인류가 자연현상을 이해하고 표현하는 언어의 역할을 한다고 말한다.1부에서는 먼저 수의 개념은 이집트 문명에서 시작된다. 생존의 필요에 의한 막연한 셈의 단계를 넘어선 수를 의미한다. 왕의 무덤에서 발견된 파피루스는 왕국 경영에 필요한 지식이 수학이었음을 보여준다. 기원전 1650년경 이집트의 서기 아메스는 견습생을 위한 기하, 산술문제집을 파피루스에 필사했다. 이는 왕국의 모든 문제를 해결할 수 있는 2000년 전부터 내려온 것들이 적혀있다. 바로 수학으로 각종 다각형과 원 등 도형의 넓이와 부피를 구하는 법 그리고 단위분수의 계산과 일차방정식 풀이 등을 포함해 모두 84개의 문제가 담겨있다. 당시 수학은 고위 관리자들의 전유물이었다. 고대 이집트의 신들 중 나일강의 여신 히피는 인간에게 수학을 하도록 만든 신이다. 그녀는 비가 거의 오지 않는 이집트에 홍수를 일으키는 신이다. 상류의 퇴적물을 하류로 옮기기에 땅이 비옥해지지만, 그 경계는 다 허물어진다. 파라오에겐 백성들한테 그들의 땅을 다시 찾아주어야 하는 책임이 있다. 경계를 다시 짓는 건 수학의 문제인데 그중 원의 넓이를 구해야 하는 일이 종종 발생한다. 이집트인들이 원의 넓이를 구하는 방법은 지름을 9등분하여 그중 1을 버리고 남은 8을 한 변으로 하는 정사각형의 넓이를 원의넓이로 구했다. 이는 작은 돌멩이 64개로 정사각형을 만들과 다시 배열하여 원의 넓이를 만들었을 때 지름을 이루는 돌멩이의 수가 9가 되는 식으로 실증했다. 다양한 도형의 넓이를 구하기 위해서 곱셈을 만들었고, 피라미드를 건설한 노동자들에게는 월급이 지급됐는데 화폐는 아직 없어서 빵이나 보리 등 곡식으로 지급됐다. 이를 분배하기 위해서 나눗셈을 만들었다. (물론 현대적 방식의 곱셈과 나눗셈은 아니다.)이들에게 중요한 것은 원리와 치밀한 증명이 아닌 현실문제의 해결이었다. 이는 이집트수학이 오랜 역사를 거치면서도 거의 답보상태로 놓인 원인이기도 하다. 다각형들을 이용해 곡선의 면적을 구하는 착출법(소진법)이 나온 건 그 이후 17세기 미적분학의 탄생에 영향을 미쳤다. 2부는 고대 그리스 문명으로 넘어간다. 피타고라스와 플라톤이 산술과 기하를 논했고, 2000년동안 기하학의 핵심이었던 유클리드 기하학이 만들어진 건 모두 고대 그리스였다. 고대의 경험적이고 실용적인 차원의 수학을 흡수한 그리스인들은 이집트와 바빌로니아 서기들이 사용한 원리들을 명증한 언어로 끌어냈다.(증명 또는 연역) 주어진 해법에 따라 문제를 푸는 것과 그 안에 내재된 보편적 원리를 규명하려는 태도사이에는 커다란 차이가 존재한다. 유클리드의 원론은 그리스적 사유체계를 예증하는 상징이다. 원론은 당시 왕이 배웠던 수학책이다. 피타고라스는 예언자이며 신비론자로 탈레스의 제자였다. 그는 대장간의 망치소리에서 길이가 2/3를 이루는 쇠막대에서 화음을 이룬다는 것을 발견하고 이 세상은 정수의 비로 이루어졌다고 생각했다. 피타고라스 정리의 숫자들은 그 이전 바빌론과 이집트사람들도 알고 있었지만, 피타고라스가 증명을 통해 법칙을 만들었기에 그의 이름이 붙은 것이다. 하지만, 이후 그의 제자 히파수스가 무리수를 발견함으로써 피타고라스의 정수체계가 무너졌다. 그가 보이지 않는 무리수를 발견한 것도 증명의 힘이었다. ‘이세상은 무엇으로 이뤄졌을까?’ 에 대한 답으로 그리스인들은 자기들만의 이야기 방식을 만들어냈는데 이것이 바로 증명이다.기하는 쪼갤 수 없는 점에서 출발한다고 유클리드는 원론에서 시작한다. 이렇게 시작해서 23가지 정의를 나열하고 다음으로는 증명이 필요없는 자명한 명제인 공리가 나온다. 원론은 초등수학 입문용으로 만들어진 교재인데 한편으로는 체계적인 이론서이자 이후세대의 학술서와 선언문의 구성방식을 제시한 본보기이기도하다. 자명한 공리에서 출발해 부정할 수 없는 결론에 이르는 방식이다. 미국의 독립선언서, 뉴턴의 프린키피아, 스피노자의 윤리학등 많은 책이 이러한 형식을 따르고 있다.이집트문명과 그리스 문명의 대조는 수학의 양면성을 명쾌하게 보여준다. 즉 현실세계의 필요에 답하는 유용성의 측면과 우주질서에 대한 추상적이고 사변적인 질문에 답하는 철학적 측면이다. 두 문명의 수학이 이리도 다른 이유는 전자는 측량이나 상업거래와 같은 구체적인 것이었고, 후자는 우주에 대해 이해하고자 한 갈망이다. 3부는 신을 사랑하고 영원을 믿었던 나라, 인도문명이다. 그들이 만든 숫자 하나가 인류의 역사를 바꿨다. 존재와 부재를 넘나드는 기묘한 숫자, 0은 수학을 무한의 세계로 뻗어 나가게 만들었고, 과학에게 우주를 상상할 수 있는 힘을 주었다. 종교의 나라 인도에서 인류 최고의 발명품 0이 탄생한 내력을 추적한다. 인도는 건물에 0층이 존재하는 나라 0의 고향이다. 인도수학은 천문학적 지식이 발전하면서 엄청난 진전을 보였는데 천문학에 필요한 큰 자릿수 계산 때문에 수의 계산방법이 발달했다.계산법뿐만 아니라 산술삼각법, 대수학, 기수법등으로 확대된다. 그중 삼각법이 가장 중요한 업적이다. 삼각법은 직접 잴 수 없는 길이를 잴때 편리하다. 삼각법의 기본개념은 고대 그리스에서 시작되었지만 그들은 몇 개의 특정한 각만 알고있었다. 하지만 인도인들은 훨씬 더 많이 알고 있었다.인도인들이 만든 수가 얼마나 위대한지를 알려면 다른 문명에서 사용되던 숫자를 살펴보면 된다. 이집트, 그리스, 로마 모두 수가 커짐에 따라서 문자를 계속 만들어 사용했다. 그리스는 계산술을 천시하여 큰수에 연연해하지 않았다. 중국은 두자리마다 새로운 수를 만들었다. 바빌로니아는 두 개의 쐐기문자만 사용해서 60진법을 사용하였다. 60이 넘어가면 문자 사이를 띄어서 표기했지만, 이 역시 불완전했다. 약 1200년 전 인도에서 0이 발명되었는데 이것이 현대적 위치기수법을 만들어진 순간이 된 것이다. 우선 인도는 1부터 9까지 다른 수를 쓰고 새로 숫자를 만들지 않고 수하나를 덧붙였다. 이는 아라비아를 거쳐 유럽으로 가서 아라비아숫자라는 이름이 붙었다.7세기 브라마굽타는 인도 천문학의 중심지 우자인에서 천문관장을 했다. 당시 인도천문학은 서양을 훨씬 앞서 있었는데, 그들은 이미 지구가 둥글다는 것을 알았고 지구둘레를 실제와거의 비슷하게 계산했다. 수학은 당시 천문학의 보조수단이었는데 브라마굽타는 수학자체에 고민을 시작했다. 그가 쓴 ‘브라마스푸타시단타’에는 음수와 양수,0에 대한 사칙연산, 거듭제곱, 제곱근 구하기가 담겨있다. 대수학의 도약이다. 0이 최초로 수학에 쓰였고 0이 독립적으로 쓰인 것은 계산속에 포함되면서이다.* 다음호에 이어집니다.크림슨수학이진혁 원장 2016-10-13
- 비중 높아진 수학, 최고난도 문제를 정복하라 입시변화에 따라 수학실력이 더 중요해졌다. 여기에 개정된 교육과정에서는 수학을 통한 각 과목의 창의사고력과 융합능력까지 요구하고 있다. 하지만 자녀의 수학을 초등부터 기초를 잡지 못하면 수학포기 현상을 빚곤 한다. 중학교와 고등학교 수학을 어려워하는 이유도 이 때문이다. 수학적 사고력 기르기와 학교 내신 및 특목 입시를 위한 공부 방법에 대해 알아보았다.부천 중동에서 10년간 수학 지도 노하우 결과부천중동지역에서 초중고 내신수학을 기본으로 특목과 대입을 지도한 실력수학학원이 올해로 개원 10주년을 맞았다. 그 동안 이곳에서는 소수정예반을 구성해 완전학습을 실시한 결과, 놀랄만한 내신 상위권자와 상급학교 진학실적을 기록했다.먼저 실력수학학원은 중동지역을 기본으로 부천시내 중등과 고등에서 학교 내신 상위권자가 정기고사 때마다 배출되어 관심을 모으고 있다. 특히 시험을 치르지 않는 초등생이 처음 치르는 중학교 정기고사에서도 계남중을 시작으로 부명중과 심원중 등에서 다수의 내신상위권 학생이 배출된 바 있다.또한 고교 역시 계남고, 부천여고, 원미고, 부천고, 심원고, 부명고, 중흥고, 중원고 등에서 내신 1등급은 물론 함현고와 경기외고, 과천외고 및 북일고 등의 내신1등급을 배출하고 있다.이밖에도 원광대 한의대와 연세대 및 서울시립대 등의 대학 진학자 역시 우수한 수학실력을 기반으로 배출되어 화제를 모으고 있다. 그렇다면 실력수학학원의 수학 지도 노하우는 어디에 있는 것일까.초등부터 수학을 전문적으로 배워야 중등과 고등수학 가능부천 중등과 고등내신은 물론 특목과 대입에서 수학 실력을 발휘하는 실력수학학원의 노하우는 먼저 알 때까지 지도되는 자기주도학습 기반 완전학습 시스템에 있다. 이를 위해 이곳에서는 입학테스트를 통해 수준별로 반 배정을 한다. 한 반 정원은 4~6으로 소수정예이다.실력수학학원 전대준 원장은 “실력수학학원에서는 완전학습을 기본으로 창의사고력 훈련으로 지도한다. 특히 학생들이 고전하는 서술논술형 문항 지도는 다양한 풀이방법과 훈련을 통해 사고력을 키우고 확장하는 기회”라고 말했다.특히 최고난도 서술논술형 문항 정복을 위한 창의사고력 훈련은 학생들에게 고득점을 통해 자신감을 주고 있다. 학교 내신에서 만점자들이 특목고와 대입에서 좋은 결과를 내는 것도 탄탄한 수학실력에 따른 자신감의 결과이기 때문이다.각종 입시에서 더 중요해진 수학비중최근 수능변화에 따라 수학이 더 중요해졌다. 따라서 수학을 초등부터 더 비중 있게 공부해야 한다고 한다. 과연 입시전략에서 수학 비중은 예전보다 얼마나 높아지고 달라진 것일까.전 원장은 “영어가 절대평가로 바뀌면서 수학의 비중은 늘어났다. 특히 특목고는 물론 대학 측에서는 우수학생 선발의 기준 중 하나를 수학적 능력으로 평가하고 있다. 하지만 수학은 초등부터 꾸준히 관리하지 않으면 중등과 고등에서 기피과목으로 전락되고 만다”고 지적했다.특히 최근 들어 초등과정이 과정중심 평가로 바뀌면서 시험을 치르지 않게 되었다. 때문에 중학교에서 치르는 수학 시험은 생소하고 어렵게 느껴진다. 여기에 초등 고학년 과정은 중등과 고등수학과 유기적으로 연계되어 있다. 따라서 수학을 초등부터 전문적으로 학습해야 하는 가장 큰 이유도 이 때문이다. 2016-10-13
- 대치동 수학 전문 에이펙스수학학원 예비중등부 및 예비고1*2*3 설명회 * 대치동에서 탁월한 실적과 빈틈없는 관리로학교 선생님, 학부모, 학생들이 인정한 수학 전문 학원* 개인별, 수준별 맞춤수업으로 학생들의 실력을 끌어올려 많은 최상위권 학생들을배출하고, 중상위권 학생들 또한 최상위권으로 성장시키는 학원[ 에이펙스수학학원 설명회 일정 ]*사전예약 필수(방문 또는 전화)문의 02-501-3541강남구 대치동 977-12번지 리치몬드상가 2층블로그 http://blog.naver.com/kmjgate 2016-10-13