유한집합은 원소의 개수를 말하기 어렵지 않습니다. 직접 세어보면 되니까요. 그렇다면, 무한집합은 어떨까요? 직접 세어보는 것은 불가능합니다. 그렇다면, 원소가 무한한 무한집합들 사이에도 원소의 개수가 더 많고 더 적은 것이 있을까요?
다음은 칸토어(1845~1918)의 집합론의 논리를 바탕으로 한 내용입니다. 서강대, 카이스트 등 많은 대학에서 유사한 문제가 출제되었습니다.
자연수의 집합은 정수의 집합과 크기(원소의 개수)가 같다고 볼 수 있습니다. 자연수 1개와 정수 1개를 일대일로 대응시키는 함수를 만들 수 있기 때문입니다. 칸토르의 논리인, ''두 집합의 원소 사이에 일대일 대응관계를 만들 수 있다면 그 원소의 개수가 같다''를 논리적으로 받아들일 수 있습니다. 0은 ①에, 1은 ②에, -1은 ③에, 2는 ④에 그리고 -2는 ⑤에 ……이런 식으로 차례로 대응시키면 모든 정수를 건너뛰지(빠뜨리지) 않고 자연수와 일대일로 대응시킬 수 있습니다.
응용하면, 양의 짝수의 개수는 자연수의 개수와도 그 크기가 같다고 할 수 있습니다. 이렇게 우리는 일대일 대응함수 만들기를 통해서 두 무한집합이 원소의 개수(집합의 크기, 농도)가 같은지 다른지 판별할 수 있습니다.
그렇다면, 유리수의 집합은 어떨까요? 유리수의 원소의 개수는 정수나 자연수보다는 많지 않을까요? 직관적으로는 그럴 것 같지만, 위의 논리대로라면 그렇지 않습니다. 유리수도 빠뜨리지 않고 자연수 혹은 정수에 대응시킬 수 있기 때문입니다. 저는 여기서 ‘번호를 매길 수 있다’라는 표현을 쓰겠습니다. 무한집합의 원소들을 1번부터 차례대로 번호를 붙일 수 있다는 것은 자연수에 일대일로 대응시킬 수 있다는 말과 같은 의미입니다.
다음과 같은 유리수의 수열을 만들어 봅시다.  ......
분모와 분자의 합이 1, 2, 3, 4….. 가 되도록 군을 나누어, 빠뜨림 없이 0과 양의 유리수를 나열하였습니다. '' / '' 기호는 그룹(군)을 나누는 역할을 할 뿐, 콤마를 통해서 번호가 매겨진다고 보면 됩니다. 중복되는 숫자는 제외하였습니다. 이렇게 하면, 첫 항에서부터 1번, 2번, 3번 등 순서대로 번호를 붙일 수 있게 되어, 유리수도 자연수 및 정수와 그 크기가 같다는 것을 알 수 있습니다.
그러면 음수는? 음의 유리수들은 단지 번호 하나씩 만 더 대응시키면 되기 때문에 ‘번호를 매길 수 있느냐 없느냐’의 핵심 논리에는 큰 역할을 하지 않습니다.

미르아카데미학원 조형진 원장

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