수학 공부를 잘하고 싶으면 ‘개념’있는 학생이 되자!

- ‘개념’ 이란? 우리는 흔히 수학에서 가장 중요한 것으로 ‘개념’을 꼽는다. 그런데, 막상 ‘개념’이라는 단어의 뜻을 생각해보면 참으로 막연하다. ‘개념’의 사전적 의미는 ‘사물 현상에 대한 일반적인 관념이나 지식. 다시 말해서 개개의 사물로부터 공통적, 일반적 성질을 뽑아내서 이루어진 표상(表象)’ 이다. 어른들도 이해하기 힘든 참으로 추상적이고 모호한 단어이다. 필자는 수학에서의 ‘개념’을 ‘정의+성질’로 간단히 정의한다. ‘정의’란 수식이나 용어의 뜻을 의미하고, ‘성질’이라고 하는 것은 정의로부터 비롯된 여러 사실을 말한다. 예컨대, ‘덧셈’이라는 단원에 대하여, 덧셈의 정의는 ‘하나의 수에 다른 수를 첨가하는 계산’ 이고, 성질에 해당되는 것은 ‘교환법칙 성립’ ‘결합법칙 성립’ ‘항등원이 0 이다.’ 등이다.

-‘개념’을 이용하는 수학 공부법이란? ‘개념 = 정의 + 성질’ 이므로 당연히 정의와 성질만 제대로 알면 개념은 정복된다. 매우 쉬운일일 것 같은데 왜 학생들은 어려워하는 걸까? 바로 한국에서의 잘못된 교습법 때문이다. 정의와 성질에 대한 충분한 이해만 있으면 문제풀이는 저절로 이루어지는데, 대부분의 학생들은 정의와 성질은 뒷전으로 하고 정의와 성질에서 파생된 새로운 공식이나 유형별 문제풀이만을 반복학습하기 때문에 외울 것은 많아지고 이를 문제에 어떻게 적용할 것인지 고민만 늘어나는 것이다. 인수분해를 예로 들자. 인수분해의 정의는 ‘주어진 식 또는 정수를 몇 개의 인수의 곱으로 변형하는 일’이며 이에 대해 모르는 학생은 거의 없다. 문제는 인수분해의 성질부분이다. 대한민국의 많은 교재 그리고 많은 수의 강사나 교사들은 인수분해의 성질 대신에 공식을 20여개 정도 외우게 한다. 그러나 실제의 인수분해의 성질은 두 가지 뿐이다. ‘ 최고차의 차수가 2차 이하인 미지수가 있으면 내림차순’ , ‘ 모든 미지수의 최고차가 3차 이상이면 인수정리’ 이다. 예를 들어 대부분의 교재에서는




의 인수분해를 다음과 같은 방식으로 공식화 한다.




그러나, 이것을 위에서 언급한 성질 중 ‘a에 대한 내림차순’을 이용하면 다음과 같이 간단히 인수분해 된다.




또한, 공식화 되어있는




도 ‘




에 대한 내림차순’을 이용하면 다음과 같이 인수분해 된다.




공식화 되어 있는




역시 인수분해의 성질 중 ‘ 인수정리’를 이용하면, 좌변의




대신




를 대입하면 ‘좌변




’ 가 성립하므로 좌변이




로 나누어떨어진다는 것을 이용하여 좌변을




로 나누면 공식으로 푼 것과 같이 인수분해가 된다. 이처럼 2개의 성질로써 해결될 인수분해를 20여개의 공식과 수많은 반복학습으로 해결하려고 하니 첫째로는 필요이상의 공부시간이 소요되고, 둘째로는 너무 많은 공식 암기로 인해 어떤 문제에 어떤 공식을 적용시킬 것인지 선택하기가 어렵고, 셋째로는 빠른 시간 내에 많은 것을 잊어버리게 되어 좌절감을 맛보게 되는 것이다. 나무에 있어서 ‘정의와 성질’이 굵은 가지라면, ‘공식’은 곁가지에 불과하다. 굵은 가지를 꺽으면 곁가지는 저절로 나무에서 떨어지듯이 ‘정의와 성질’을 제대로 익히면 ‘공식’은 저절로 따라 오게 된다. ‘정의와 성질’이 총론이라면, ‘공식’은 각론에 불과한 것이다. 필자는 이제부터라도 학생들이 상실한 ‘개념’을 되찾아 재미있고 쉬운 수학 공부를 통해 성적이 수직상승하기를 기원한다.

타잔수학 
배수근 원장

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