'#수학' 검색결과 총 1,100개의 기사가 있습니다.
- 학종 합격 자기소개서 문항별 작성법 이제 기말고사가 끝나서 본격적으로 수시 지원 준비가 시작되는데 수시의 대부분을 차지하는 학생부전형에서 가장 중요한 준비 요소가 자기소개서다. 많은 학생들이 고민을 토로하고 있어 본란에서는 추상적인 작성법보다는 문항별 구체적 작성방법을 순차적으로 제시하여 실질적인 도움을 주고자 한다문항 3. 학교 생활 중 배려, 나눔, 협력, 갈등 관리 등을 실천한 사례를 들고, 그 과정을 통해 배우고 느낀 점을 기술해 주시기 바랍니다. (1,000자 이내)3번 문항은 공부만 잘하는 학생이 아니라 인성과 사회성도 두루 갖춘 인재를 선발하려는 취지로 제시된 것이다. 따라서 이러한 취지를 이해하고 자신이 타인을 배려하고 존중하며 공동체적 가치를 실천하는 인간임을 입증하는 내용으로 작성해야 한다. 배려, 나눔, 협력, 갈등관리라는 4가지 핵심 사례를 모두 작성하는 것은 분량상의 문제도 있고 산만한 느낌을 주기 때문에 가급적 2개 이내로 작성하는 것이 바람직하다. 일반적으로 나눔과 배려, 협력과 갈등 관리를 묶어서 서술하는 것이 효과적이다.사실, 사이코 패스가 아닌 이상 주변 사람과의 협력 경험은 누구나 한 번 이상씩은 지니고 있다. 또한, 이기적인 사람이 아니더라도 다양한 개성을 지닌 개인들이 어울려 살아가는 사회에서 갈등은 불가피하다. 따라서 갈등은 숨길 문제가 아니라 적극적으로 해결해야 할 문제이며 합리적으로 해결할 경우 발전의 계기가 된다는 것은 역사를 통해 잘 알 수 있다. 결국, 갈등 상황에서 합리적으로 대처하여 긍정적인 결과를 이끌어 낸 경험을 서술하고 그 과정에서 배우고 느낀 점을 진솔하게 피력하면 된다.또한, 나눔과 배려 역시 자기중심적인 독불장군이 아닌 이상 한 번씩은 경험하였다고 볼 수 있다. 타인에 대한 존중을 바탕으로 이루어지는 배려는 자연스럽게 나눔으로 이어지기에 이를 실천한 사례는 누구나 갖고 있는데 다만 그것을 기억하지 못할 뿐이다. 곰곰이 3년을 되돌아보며 기억을 되살려 적절한 사례를 찾아보도록 하자.** 3번 문항 작성 시 고려 사항1) 학교 공부만 잘 하는 학생이 아니라 인성적으로도 다른 사람들과 어우러지는 학생이라는 것을 보여 주는 것이 중요하다.2) 4가지 덕목이 한 가지의 사례에서 모두 드러나기는 어렵다. 그 중에서 2 가지 덕목 이상이 발휘된 사례를 찾아 서술하면 된다. 하나의 사례로 설명해도 괜찮고 두 사례로 서술하는 것도 나쁘지 않다.3) 봉사활동뿐만 아니라 학교생활에서 이루어진 활동도 가능하다. 많은 학생들이 저는 봉사활동이 변변치 않아서 작성할 내용이 없다고 어려움을 토로하는데 나눔과 배려는 일반적으로 모든 인간관계에서 나타나는 것이다. 학급 생활에 적응하지 못하는 친구들을 도와주거나 성적이 부진한 친구들을 도와준 내용도 스스로의 공부시간을 할애한 것이기에 긍정적으로 평가될 수 있다.4) 협력, 갈등관리는 학급 활동과 동아리 활동의 사례로 제시하되 학교생활기록부에 기재된 사항을 가지고 서술해야 한다,5) 다른 문항처럼 사례보다는 그 과정에서 배우고 느낀 점을 부각시켜 작성하되 가급적 전공과 연관지어 마무리하는 것이 바람직하다.(원본) 1학년 때 저는 농촌 지역의 삶을 직접 경험하고, 또 그 지역주민들과의 교감을 할 수 있는 ‘농촌체험’이라는 프로젝트를 계획했습니다. 전교생 수가 60명 밖에 되지 않는 양서초등학교 학생들은 정말 순수했습니다. 저는 자기장에 대해 초등학생이 이해하기 쉽게 설명한 뒤, ‘자석팽이 만들기’ 실험을 했습니다. 그런데 실험 도중 한 아이가 제게 “왜 고무는 자석에 안 붙어요?” 라고 질문해서 저는 자성을 지닌 물건과 없는 물건을 분류하여 자세하게 설명해 주었습니다. 고래실마을 아이들은 저에게 큰 보람을 주었고 평생 잊지 못할 추억을 남겨주었습니다. 넉넉하지 않은 환경 속에서도 서로 도와가며 공부하는 아이들을 보며 이것저것 따지며 공부하며 늘 불평했던 제 자신이 부끄러웠습니다. 짧지만 이틀간 농촌에서 생활하며 조금씩 성장하는 제 모습을 발견할 수 있었고 소수의 학생들과 매일 지내는 아이들을 가르치며 함께 더불어 생활하며 남을 배려하는 마음도 배웠습니다. ‘농촌체험 프로젝트’는 여러 가지 깨달음을 주었을 뿐만 아니라 열정적이고 적극적인 학습태도를 지니도록 저를 변화시켜준 소중한 경험입니다. ☞ 평가 : 배우고 느낀 점이 진부함(첨삭 및 수정)학원 한 번 다녀본 적이 없는 농촌 아이들의 배움 의지는 어릴 적 내 모습에 비추어 보았을 때 도시 아이들보다 더 순수하고 적극적이어서 오히려 제가 그 열정에 전염이 되었습니다. 아이들에게 적은 지식이나마 전하러 갔던 제가 오히려 그 아이들에게서 지적 호기심이 공부의 원천이라는 것을 배우게 되었습니다. 자연 속에서 즐기며 공부하는 아이들을 보며 과학이란 주변에 대한 관심에서 출발한다는 것을 깨달았습니다. 짧은 2일간의 경험으로 저는 편리한 환경에서 관성적으로 살아온 안일함을 반성하게 되었고 주변 사물과 현상에 대해 관심을 갖고 생활하겠다고 다짐했습니다.조재필수학학원 김정년 컨설팅팀장문의 02-2091-1002 2020-08-06
- 코로나 이후의 대학 입시 변화에 대하여... 얼마전 평택에 살고 있는 지인의 소식을 듣게 되었습니다. 작년 말까지 화성에서 마스크 관련 제조업을 하시던 분이었는데, 악성 재고가 많아 공장 문을 닫을 위기에서 코로나 사태로 인해 살림이 활짝 폈다는 소식이었죠. 전 세계적인 재앙이 누군가에게는 기회가 된다는 생각에 복합적인 감정이 들더군요. 그리고 며칠 지나지 않아 인터넷에서 눈에 확 들어오는 기사를 보게 되었습니다.‘10년간 의대 4000명 더 뽑는다’, ‘현 고2부터 약대 통합 6년제로...’2022학년도 입시는 한마디로 '큰 장'이 열립니다. 약대의 6년제 전환과 의대 정원 확대로 선발 인원이 2천명 증가하게 되었기 때문이죠. 대략 2천 명이면 서울대, 연세대, 고려대 공대 라인 정도의 교체가 일어납니다. 중위권 학생들이 소위 SKY 대학을 채우게 되는 것이죠. 당장 대한의사협회가 철회를 않으면 총파업을 하겠다고 나섰지만 국민적 공감을 얻기는 힘들고 결국 받아들이게 될것이라고 생각됩니다.입시가 시작된 이후 전례 없는 이 갑작스러운 변화는 안타깝게도 자연계열 학생들에게만 호재로 작용하게 됩니다. 현 고2 학생들은 코로나로 불행한 학년인 줄 알았는데, 행운의 학년이 될 수도 있을 것 같습니다. 현 고3 학생들 중에서 입시에 실패한 경우 재수하는 학생수가 늘것으로 예상됩니다. 앞으로도 학령인구 감소와 수시 전형의 강세로 꾸준히 감소하던 재수생이 정시확대라는 현 교육부의 정책 방향과 이번 변화로 꾸준히 증가될 가능성이 높습니다. 현 고1들의 경우, 자신의 적성이나 진로가 확실치 않다면 자연계열을 선택하는 것이 유리할 것이 분명해 보입니다. 중3 이하의 학생들은 수능 준비에 강점이 있는 특목고와 자사고를 선호하는 경향을 보이게 될것이라는게 전문가들의 중론입니다.대학들은 코로나 사태로 인해 당분간 학생부에서 비교과 영역의 가중치를 줄이겠다는 발표를 내놓고 있습니다. 결국 교과영역 성적이 입시 결과를 결정합니다. 어지러운 상황에서도 흔들리지 않고 공부하고 있는 존경스런 학생들에게 공정한 결과를 안겨주는 변화가 되기를 희망해봅니다.XY수학학원 이상언 원장 2020-08-06
- 상동지역 내신과 수능 1등급을 위한 국어와 수학 학습법 부천상동지역에서 오랫동안 국어와 수학을 한 곳에서 효율적으로 지도해 학교 내신관리는 물론 특목 및 주요 대학 입시에서 우수한 성과를 내고 있는 글벗국어&혜윰수학의 입시전략에 대해 들어보았다.글벗국어논술 정은화 원장‘중등부터 통합적 이해력 꾸준히 길러야’글벗국어학원의 정은화 원장의 국어논술지도는 목동에서부터 시작되었으며 목동입시경험의 노하우는 상동지역에서 글벗국어논술학원을 개원하면서 그 힘을 더욱 발휘했다. 특목입시가 한창이던 당시, 글벗국어논술의 상동중, 덕산중, 상일중 재원생들은 고양외고, 김포외고, 안양외고 등지로 진학하였고 이어 2012년에도 상동중을 시작으로 상일과 심원중 재원생들은 공주한일고, 고양외고, 김포외고, 안양외고 등으로 진학했다.특목고뿐만 아니라, 상원고와 부천고 재원생들은 성대와 숭실대 및 한양대 등 서울 주요 대학진학 성공의 첫 테이프를 끊어 주위를 놀라게 했다.정 원장은 “지난 2019 입시에서는 부명고 김준교 학생이 서울대에 진학해 모두에게 기쁨을 선사했다. 목표한 대학진학에 성공한 특목고나 부천지역 일반계고 출신 학생들의 공통점은 중학교부터 국어공부를 꾸준히 했다는 점”이라고 말했다.부천지역 중고생을 위한 국어의 입시 전략에 대해 정 원장은 “내신은 물론 수능 상위등급과 특목 입시에서는 학생의 통합적 이해력을 요구한다. 여기에 학년이 높아질수록 과학과 기술, 경제 등 다양하고 복합적인 이해능력은 필수”라고 전제했다.이에 따른 국어전략으로, 비문학 외에도 문학은 다양한 작품을 접하도록 중등부터 차분히 시작한다. 또한, 고학년으로 올라갈수록 타 과목들의 학습 능력도 영향을 받기 때문에 단순히 국어를 공부하기보다는 전반적인 관리를 통해 통합적 이해력을 기르는 공부 습관이 필요하다.혜윰수학 한길재 원장‘수학은 생각의 힘으로 나만의 풀이법을 즐기는 과목’일반적으로 수학이 타 과목에 비해 딱딱하고 까다로운 이유는 수학문제를 이해하고 해결하는 방식이 종합적 사고력을 바탕으로 관련 수식들을 정확히 사용해 답을 최종적으로 도출해 내는 과정이기 때문일 것이다.이런 맥락으로 혜윰수학에서는 ‘생각하는 수학의 힘’을 강조하며 수학 공부방법의 특징을 2가지로 제시하고 있다.첫째, 읽는 능력이다. 수학 언어의 글자인 수식들을 익히고 그 수식들의 사용법을 정확히 익히는 것이다. 풍부한 배경지식을 바탕으로 한 재밌고 쉬운 기본 개념 설명과 정확한 이해를 통해 읽기 능력 안에 이해의 능력의 씨앗을 심어 주는 것에 혜윰수학은 방점을 두고 있다.둘째, 이해능력이다. 사실 이 부분은 수학의 전문 개념과 다양한 배경 지식을 통한 종합적이고 추론적 사고력을 발휘해야 하는 것으로 수학이 어렵다는 얘기가 여기서 나온다.혜윰수학 한길재 원장은 “보통 수학시험에서 변별력을 갖는 문제들은 추론능력, 내적 및 외적 해결력 등 이해 영역이다. 수학을 잘하려면 처음 수학언어의 읽기 단계부터 이해단계까지 생각하는 힘에 바탕 한 공부법이 매우 중요하다. ”고 말했다.혜윰수학은 답지보다 때로는 조금 길거나 짧을 수는 있지만, 답지 없이 오롯이 자신의 언어로 자신만의 풀이법을 만들어 갈 수 있도록 학생들을 지도한다. 2020-08-06
- 현강·인강·질의응답으로 심화까지 한번에 코로나19가 가져간 1학기를 뒤로하고 여름방학이 시작됐다. 학생들이 온라인강의를 진행하면서 스스로학습의 중요성은 더욱 대두되었고 거꾸로 학습(플립러닝)을 진행하고 있는 학원들에 대한 관심도 높아졌다. 안산수학학원 구장명품은 10년째 플립러닝(flipped learning)과 매쓰홀릭 시스템을 접목하고 있는 곳이다. 이광석 대표 원장은 매쓰홀릭 시스템을 만드는 데 참여한 장본인이다. 이 대표를 만나 수학공부의 방향을 어떻게 잡아나갈지 궁금증을 해결하고 15년차 대표강사로서의 강의 지론도 함께 들었다. 구장명품은 한양대 에리카 영재교육센터장 출신 이광석 대표와 한양대학교 수학과 강의전담 교수인 장학진 강사 그리고 온라인수업을 감독하는 박은정 원장 체제로 운영되고 있다.플립러닝에 현강과 시스템을 더하다플립러닝은 판서수업을 뒤집은 거꾸로 교육이다. 학생들은 현강을 듣기 전에 먼저 스스로 개인별 태플릿 pc로 자신이 배워야 하는 범위에 대한 동영상을 시청한다. 개념정리가 끝난 학생들은 본인의 진도와 수준에 맞춰 개념·응용·심화문제를 푼다. 학생들은 개인별 수준별로 진도가 다 다르며 매 수업마다 본인의 정답과 오답 내용이 매쓰홀릭 시스템으로 정리되면서 구멍 난 부분 없이 모든 단원을 꼼꼼히 채워나간다. 구장명품의 수학시스템은 방송사에서 ‘개별맞춤형 수학학습’이라는 주제로 소개되었는가하면 중국 유학원에서 시스템을 체험하고 갈만큼 노하우를 인정받았다. 한편 수업 시스템에 대한 오해도 있다. 단순히 인강과 자기주도 학습으로 진행되는 것으로 알고 있다는 것. 하지만 제대로 수업을 들여다보며 이곳의 수업은 현강과 인강 그리고 실력 있는 교수에게 묻고 답을 듣는 질문 수업으로 완성된다. 이광석 대표는 말한다. “영재센터에서 수학강의를 시작한 것이 계기가 되어 수학 강사의 길을 걷게 되었다. 수학 전공자로써 학생들에게 수학을 가르칠 때 어떻게 하면 혼자공부 할 수 있는 학생으로 성장시킬까를 고민했다. 그것이 계기가 되어 ‘매쓰홀릭’과 ‘플립러닝’시스템을 만드는데 동참하게 되었고 오늘까지 왔다.”수학 한 과목만으로 대학을 가는 아이들학원 입구에는 2017년부터 오로지 수학 한 과목으로 대학에 입학한 학생들 명단이 붙어 있다. 실제로 2017년도에 고잔고 학생이 서울 한양대학교 산업공학과에 합격하기도 했다. 이 학생의 국어영어 등급은 6등급이었다. 이후 인하대를 비롯해서 여러 대학에 원생들을 수리논술로 합격시켰다. 이 대표는 말한다. “특이하게 우리 학원은 중학교 때 만나 대학까지 입학하는 학생들이 대부분이다. 고등학생들을 거울삼아 중학생들의 미래를 계획하고 때로는 중학생들을 보면서 고등학생들을 가르친다. 그래서인지 중학교 1학년이 들어오면 더욱 반갑고 잘 성장시키고 싶은 욕심이 생긴다. 학원 강의는 그런 이유로 중학생부터 고3 이과 수리논술까지 전부 직접 강의 한다.” 이 대표는 본인이 욕심도 많고 소위 말하는 잔소리도 많은 선생이라고 자신을 소개했다.그렇다면 수학공부 어떻게 하면 될까? 이 대표의 답이다. “수학 문제를 푼다는 것은 이 문제의 답을 맞추는 데 의미가 있는 것이 아니다. 문제를 풀면서 개념을 확장해나가야 한다. 다시 말해서 문제는 개념을 완성하는 수단이어야 한다는 거다. 1등급의 키워드는 문제를 많이 푸는 데 있는 것이 아니라 어떤 문제를 만나도 다 풀 수 있는 문제 해결력과 집착에 있다. 그 부분을 원생들이 중학교 때부터 훈련될 수 있길 바라고 그것이 대입은 물론이고 대학을 가서도 활용될 것으로 믿고 가르친다.” 2020-08-06
- 짧아진 2020 여름방학 수학공부법 안 그래도 겨울에 비해 짧은 여름방학이 더 줄었다. 이 기간 동안 2학기 과정을 예습하려는 학생들에게 ‘그저 열심히’라는 말은 너무 무성의 하다. 학기 중 내신(시험) 준비가 장거리 레이스 였다면, 여름방학의 예습은 100m 단거리 레이스에 비유할 수 있다. 같은 육상종목이더라도 달리는 거리에 따라 준비과정이 다르듯이 내신준비와 여름방학을 활용하는 공부법 사이에는 차이가 존재한다.수학이란 과목은 이해를 필요로 하기 때문에 아무리 빠르게 진도 나가려해도 마음대로 되지 않는다. 결국 한 과정을 다 끝내지 못한 채 2학기를 맞이하게 될 가능성이 높다. 다그친다고 이해의 속도가 올라가지는 않으므로 방학을 이용하여 수학공부를 하려는 학생들에게는 새로운 전략이 필요하다.우선순위를 정하고, 핵심내용을 중심으로 학습하자!먼저 각 단원의 가장 중요한 핵심내용을 파악하고 그것을 우선순위로 공부해야한다. 바로 이 때 선생님의 역할이 중요하다. 원리에 대한 이해는 학생의 몫이지만 어떤 원리를 왜 우선적으로 이해해야 하는지 길을 제시해주는 것은 선생님의 몫이기 때문. 부수적인 내용들은 과감히 미뤄두자. 예습의 목적은 미래를 준비하는 것이지 당장의 시험점수가 아니기 때문이다.이 후 핵심문제를 통해 학습한 개념들을 사용하는 연습을 해야 할 것이다. 이 때 주의해야 할 것이 있다. 각 유형마다 문제를 풀 수 있는 특수한 공식이나 접근법이 존재할 수 있다. 만약 핵심개념을 이용한 문제풀이 연습을 하지 않고, 특수 공식을 사용하는 문제풀이에 맛들이게 된다면 결국 모든 유형을 머릿속에 담아야 한다. 이는 학습량 증가로 이어질 뿐 아니라, 각 유형들이 독립적으로 인식되어 내용의 연계성을 해치는 결과를 초래한다. 그러니 수학의 큰 줄기가 핵심내용들을 중심으로 이어지게 학습과 문제풀이를 해야 한다.이렇게 여름방학동안 공부한 핵심내용을 확장시켜나간다면 단순한 나열식 학습보다 시간적, 개념적으로 훨씬 효율적인 학습을 할 수 있다. 짧은 방학이지만 올바른 방법으로 공부하여 오히려 다른 학생들과 격차를 벌릴 수 있는 전화위복의 기회가 되길 바란다.목동 멘툴스수학전문학원 고형근 부원장문의 02-6953-8778 2020-08-06
- 초등 사고력 수학과 중·고등 수학의 연계성 - ① 초등과정에서 산수가 수학으로 불리게 된 시점은 1992년부터이다. 사칙연산 외에 수학적 논리, 확률, 집합론 등 수학을 통해 가르치고자 하는 가치가 산수로는 표현하기가 부족했던 것 같다. 패턴 또한 음악이나 미술 그리고 디자인 등에 필요한 부분인줄 알았는데 수학에서도 패턴을 알지 못하면 분류하고 이용하는 방식을 몰랐을 것이다.그렇다면 수학을 왜 배우는 것일까?수학은 참과 거짓을 구별하는 힘을 길러 준다.수학에서 다루는 문제는 참 아니면 거짓인 명제만 취급한다. ‘저 여자는 아름답다’라는 명제는 보는 사람에 따라서 예쁘게 보일 수도 있고 그렇지 않을 수도 있다. 이런 명제는 수학에서 다루지 않는다. 예를 들면, 시나 수필 등은 읽는 독자에 따라서 느낌이 다르다. 그러니 정확한 답이 없다. 그러나 수학문제는 어느 누가 풀어도 정확한 답은 한 가지 입니다. 그러므로 수학의 눈으로 엄밀하게 분석하면서 사물을 관찰하고 말과 글을 읽으면, 그들의 참과 거짓을 정확하게 판별할 수 있는 힘이 생긴다.수학은 말과 글의 논리성을 길러 준다.유클리드의 기하와 같이 수학은 엄밀한 논리적 구조로 이루어져 있다. 즉, 분석적이고 단계적으로 전제나 선행 명제로부터 후속 명제가 정당하게 이끌어내어지고 있는 것이다. 예를 들면, ‘A이면 B이고 B이면 C이다’ 증명과정이 깨끗하다. 문제풀이 과정이 뒤죽박죽이 되면 정확한 답을 이끌어 낼 수 없다. 따라서 수학문제를 생각하다 보면, 우리도 모르는 사이에 사고의 논리성과 엄밀성이 생긴다. 말을 할 때도 상대방에게 자기의 뜻을 정확하게 전달하려면 간단명료하면서 논리 정연하게 말을 해야만 상대방이 나의 말을 잘 이해할 수 있습니다. 그러므로, 수학 없는 논술 공부는 큰 효과가 없다고 생각한다. 예를 들면, 쾌니히스베르크의 일곱 개의 다리를 거닐던 것을 생각해 보자. 보통 사람들은 기분 좋은 산책 정도로 기억할 것이다. 그러나 수학자 오일러는 거기서 논리를 찾아내어 새로운 수학의 한 분야를 개척할 수 있었다. 물론, 논리적으로 문제를 해결하는 과정에서 어떤 명제의 참과 거짓을 정확하게 판단할 수 있는 힘도 자연적으로 길러진다고 생각한다.수학은 사고의 집중력을 길러 준다어떤 일이나 공부의 성과는 집중력에 달려있다고 생각한다. 집중력이란 하나고 모아진 사고의 힘일 뿐 아니고, 자신의 의지에 따라 정신을 하나로 모을 수 있는 힘을 말한다. 수학문제를 풀 때 잡다한 생각을 하게 되면 정확한 답을 이끌어 낼 수 없다. 복잡한 수식 등을 계산할 때 약간이라도 정신집중을 하지 않으면 정확한 답을 얻을 수 없다. 한 치의 오차라도 생기면 답은 엉터리가 된다. 이렇게 복잡한 정리의 증명과정이나 많은 수학 공식을 유도하다보면, 우리도 모르는 사이에 사고의 집중력이 저절로 생기게 되는 것이다. 사고의 집중력이 떨어지면 모든 과목의 학습효과가 반감 된다. 그들에게 수학을 체계적으로 배우다 보면 집중력 향상에 아주 큰 효과가 있으리라 생각된다.수학은 문제 해결력을 길러 준다.이 세상을 살다 보면 여러 가지 어려운 문제에 부딪히게 된다. 어떤 사건이 발생하면 우리는 어떻게 대처하여야 하는가? 먼저, 다음의 세 가지를 생각하여야 할 것이다. 첫째, ‘사건의 해결책이 있는가?’ 존재성에 관한 것이다. 다음은 ‘어떻게 해결할 것인가?’ 해결 방법에 관한 것이다. 마지막으로 ‘제시한 해결책이 바른가?’ 해결한 것을 최종 검증하는 과정이다. 수학에서 어떤 문제를 해결하기 위해서는 이 세 가지 과정의 훈련을 해야 한다. 이러한 과정을 사회의 여러 곳에서도 적용할 수 있다.수학은 창의력을 높여 준다.창의력이란 ‘새로운 의견을 생각해 내는 힘’을 의미한다. 즉, 이미 알려져 있지 않은 참신한 아이디어나 또는 그러한 아이디어의 복합체를 생산해 내는 능력으로 정의한다. 새로운 수학문제를 풀기 위해서 그 문제를 어떻게 풀어야 할 지 우리는 많은 생각을 하게 된다. 이런 저런 수학의 이론들을 총 동원해서 그 문제를 풀려고 한다. 이렇게 하다 보면 자기도 모르는 사이에 그 문제를 해결하는 새로운 방법을 찾아내게 된다. 이런 새로운 아이디어나 방법들을 찾아내는 반복 작업을 통해서 새로운 창의력이 자연스럽게 길러지게 되는 것이다.목동 씨엠플러스수학학원 박준호 원장문의 010-8861-4499 2020-08-06
- 수학적 자존감을 높이자 학생들은 수학이 어렵다고 말한다. 아니 좀 더 정확하게 이야기 하면 수학이 어려운 게 아니라 공부를 아무리 많이 해도 성적이 잘 나오지 않는 다는 말이 맞을 것이다. 운동을 잘 못하는 학생이라고 하더라도 체육이 어렵다는 말은 하지 않기 때문이다. (그래서 필자가 생각하기에 만약에 수학시험을 보지 않는다면 전 세계에서 수학을 잘 하는 우리나라가 좀 더 잘 하게 되지 않을까 싶다. :) )다시 원점으로 돌아가 보자. 왜 수학성적이 잘 나오지 않을까? 아니 왜 아무리 공부를 해도 수학은 학생과 멀게 느껴지는 걸까에 대한 고민이 필요하다.익숙하지 않은 언어로 표현되어 있다일단 수학은 수학에서만 사용하는 기호 및 단어를 사용한다. 이 부분이 학생들에게는 가장 어렵다. 익숙한 것은 생각보다 쉽게 답을 찾아낸다. 예를 들어 갑자기 배가 아파서 화장실에 간다고 생각해보자. 생전 처음으로 가는 곳이라면 어떨까? 매우 난감한 상황이다. 하지만 만약에 위치가 자주 지나다니던 상가 주변이라고 생각해보자. 그러면 문제는 쉽게 해결된다. 어떻게 하면 저기에 빨리 갈 수 있을지도 이미 머릿속에서 생각을 했을 것이다.즉 수학에서 사용하는 언어가 익숙하지 않기 때문에 학생들이 일단 어렵게 생각한다.그러면 어떻게 해야 수학에 익숙해 질 것인가?자주 사용해야 한다. 그것도 자신의 언어로3+4= 이라고 물어봤다면 학생들은 코웃음을 치며 답은 7이라고 말 할 것이다. 이 문제가 어렵지 않다. 왜냐면 일상생활에서도 사용하는 것이니까. 그리고 그 계산하는 원리에 대해서는 고민을 하지 않아도 다른 사람에게 설명할 수 있다. 심지어 예를 들어가면서도 설명이 가능하다. 그렇다. 자신이 이해를 했다면 타인에게 설명을 할 수 있는 것이다.즉 수학의 개념을 학습한다함은 다른 사람에게 설명할 수 있어야 한다는 것이다. 말할 수 있을 만큼 익숙해져야 적재적소에 사용할 수 있고, 자유자재로 활용할 수도 있는 것이다. 실제 학원에서 수업을 할 때 수학적 개념을 자신만의 언어로 이야기를 해보는 연습이 매우 중요했다. 학생들에게 자신의 언어로 개념을 설명하게 했을 때, 개념에 대한 이해는 깊어졌고, 망각하는 주기도 길어졌다. 또한 개념을 다시 학생에게 상기시킬 때 역시 어렵지 않았다.다시 익숙함으로학생들이 좋아 하는 게임으로 예를 들어보자. 영웅의 특성이나 스킬 또는 총의 사거리, 특성, 반동의 형태 등은 매우 잘 외우고 있다. 공부를 해서 외운 것이 아니고, 또래친구들과 대화를 하고, 그것을 직접적으로 활용해 보면서 몸으로 익힌 것이다. 수학의 익숙함도 이것과 다르지 않다.수학도 손으로 써가며 머릿속으로 생각을 하고, 그것을 다른 사람에게 설명해 봄으로써 몸에 익숙하게 만들어야 한다.선생님은 너(학생)를 믿는다위에서 설명한대로 개념을 쓰고 말로 설명해 보는 것이 중요하다는 것은 알지만 모든 학생들이 단번에 이 방법을 사용할 수 는 없다. 이를 실현해 내기 위해서는 선생님의 열정적인 도움, 학생의 의지 그리고 학부모의 전적인 신뢰가 필요하다. 다년간의 개인수업과 학원을 통해서 배운 것은 이 세가지중 어느 하나라도 충족되지 않으면 만족스러운 결과를 얻지 못했다.이 셋 중에 가장 중요한 것은 역시 학생의 의지였다. 학생 스스로 나는 할 수 있다는 생각을 항상 가질 수 있게 해야 한다. 최근에 받은 수학점수로 수학을 잘함과 못함을 구분하지 말아야 학생의 성적향상을 기대할 수 있다. 즉 수학적 자존감을 높여야 한다.어제 보다 나은 오늘, 내일을 위해 선생님은 너를 믿는다.엠앤제이(M&J)수학 정현 원장 2020-08-05
- "수학이 필요하냐고 묻는 어린 친구에게“ 선생님~~ ‘수학’을 배우면 뭐가 좋아요? 어디에 사용하는 거예요? / ‘방정식’을 모르면 사는 데 지장이 있나요? / ‘구구단’ 정도만 할 줄 알면 되는 거 아니에요? / 선생님~~ ‘수학’을 꼭 해야 해요? 어렵고 짜증나요~~ ㅜㅜ학생들을 가르치며 늘 받는 질문들이다. 거의 울상이 되어 건네는 아이들의 이 질문은 항상 한결같다.“수학이 필요한가”, “수학을 해야 하는가”수학을 가르치는 선생님으로서 이 질문과 그 대답은 숙명처럼 느껴진다.아이들 말대로 구구단을 알고 돈 계산 정도만 할 수 있다면, 어찌 보면 살아가는데 큰 문제가 없을 수도 있다. 하지만 아이들이 질문할 때마다 나는 이렇게 답한다.“장래희망이 뭐니? 지금은 장래희망이 없을 수도 있어. 장래희망이 현재 없다는 건 창피한 일이 아니야. 그렇지만 중요한 건, 점점 네가 하고 싶은 일이 생겨날 것이고, 바로 그 일을 하기 위해서는 엄청난 노력이 필요하다는 거야. 그리고 그 노력에는 수학뿐만이 아닌 여러 분야의 공부가 함께 이루어져야 한단다.”우리들은 누구나 수많은 선택의 순간을 맞이하게 되는데, 그 중 가장 중요한 선택은 자신의 진로를 결정하는 일일 것이다. 그리고 그 선택은 준비된 자에게, 실력을 갖춘 자에게는 선물과도 같은 행복함을 주지만, 그렇지 못한 사람에게는 좌절과 슬픔을 안겨주게 된다. 인생에서 가장 중요한 그 선택을 타당하고 합당한 것으로 만들기 위해서, 우리는 미리 준비를 하며 자신을 다져나가야 한다. 그리고 그 준비의 핵심이 바로 공부인 것이다.1. 잘하지 못한다면, 즐겁게라도 배우자.아이들을 지도하며 ‘수학’ 과목을 좋아하는 아이들이 있는지 물어보면 항상 극소수의 아이들만 손을 든다. 인생에서 가장 치열하게 공부하는 학창시절에 가장 빈번하게 접하게 되는 과목을 실제 아이들은 가장 싫어한다. 참 아이러니한 상황이 아닐 수 없다. 그렇다면 왜 이런 현상이 나타날까? 왜 아이들은 수학에 흥미를 느끼지 못할까? 가장 큰 이유는 아마 “어렵다”라는 고정관념에 있을 듯싶다. 이 고정관념이 수학에 쉽게 접근하지 못하는 울타리를 쳐놓았음을 학생들을 만날 때마다 어렵지 않게 느낄 수 있다.수학을 공부할 때는 자신의 능력에 맞게 공부해야 한다. 주변 아이들과 비교하며 조급한 마음에 무리하게 선행학습을 하는 것은 소위 ‘수포자’로 가는 위험한 길을 걷는 것과 같다. 자신의 실력에 맞게 계획을 세우고 이를 차근차근 따라가는 것이 핵심이다. 수학의 매력은 정확한 답의 존재다. 정답을 도출할 때 느끼는 성취감은 모든 과목에 견주어 봐도 단연코 수학이 최고다. 그 성취감은 과목에 대한 흥미로 이어지게 되어 있다. 이것이 바로 수학 공부의 열쇠!!!2. 세 살 버릇 여든까지 간다.성적이 우수한 아이들의 학부모님들과 상담을 해보면 특별한 공통점을 찾을 수 있다. 바로 자녀들의 공부 습관이다. 공부 습관이라고 해도 거창하거나 엄청난 스킬이 있는 것은 아니다. 학교와 학원에서 공부한 내용은 그날그날 바로 숙제 등을 통해서 복습을 한다는 것이 그 아이들의 공통점이었다.대부분의 아이들은 학원에 다녀온 것을 그날 공부의 완료라고 생각하며 숙제를 다음날 등으로 미룬다. 이는 좋은 학습태도가 아니다. 다른 과목도 비슷하겠지만, 특히 수학은 개념과 적용의 반복 학습으로 시너지를 일으켜야 한다. 새로운 개념을 배웠을 경우, 바로 그날 복습을 통해 그 내용을 자기의 것으로 만들어야 한다. 특정한 시간이 되면 배가 고파 밥을 먹고, 여가의 시간에 스마트폰을 하고 TV를 보는 것도 일종의 습관이다. 익숙해지면 대단한 의지나 노력 없이도 일상이 된다. 학습도 그러하다. 이제부터 그날 배운 건 그날 확인하는 복습의 습관을 들이자. 그것이 일상이 되는 순간, 놀라운 변화가 나타날 것이다.3. 잘하는 것과 좋아하는 것을 차차 구분해가기아이들에게 장래희망을 물어보면 아직 없다고 답하는 아이들이 많다. 없어도 좋다. 그러면 자신이 잘하는 것과 좋아하는 것을 적어보자. 잘하는 것이 반드시 과목이 아니어도 좋다. 그림 그리기, 노래 부르기, 맛있게 먹기, 잠 오래자기 이런 것이어도 좋다. 또 좋아하는 것에도 색깔, 친구, 심지어 애착 이불을 적어도 좋다. 잘하는 것과 좋아하는 것을 조금씩 구분해나간다면 그래서 구분할 줄 안다면, 아이들이 멀지않은 미래 자신의 장래희망을 생각하게 될 때도 스스로 하고 싶은 걸 찾을 수 있을 것이고, 잘할 수 있는 것을 찾을 수 있을 것이다.하나 팁을 주자면, 무언가를 좋아하면 그것을 잘하게 될 가능성이 매우 높아진다. 먼 미래에 대한 고민을 지금부터 하는 것보다는 자신이 무엇을 좋아하는 지 조금씩 조금씩 찾아가는 것을 추천한다. (좋아하는 것 = 배우고 싶은 것 / 잘하는 것 = 남들이 인정해주는 것)4. 독서도 “국·영·수”만큼이나 중요초등학생 아이들에게 수학을 가르치면서, 시간이 날 때마다 책을 많이 읽으라고 이야기한다. 내 경험을 이야기하자면, 나는 어렸을 때부터 독서를 좋아하지 않았다. 그래서인지 국어 과목이 항상 내 발목을 잡았다. 지금도 후회가 많이 되는 부분이다.예전과 다르게 요즘은 다양한 정보가 다양한 매체를 통해 넘쳐난다. 하지만 요즘 아이들은 자신들이 좋아하고 관심을 가진 분야에 대해서만 집중한다. 하지만 분명히 짚고 넘어가야하는 것은, 우리를 둘러싼 세계는 다양한 모습들과 가치들로 이루어져 있고, 이들은 복합적으로 우리의 삶에 관여한다는 것이다. 우리가 직접적으로 세상의 다양한 면을 접하기를 쉽지 않다. 하지만 우리에게는 책이 있다. 다양한 분야의 독서는 우리의 경험치를 한껏 높여줄 것이고, 이는 “자기화”를 통해 우리들의 내면을 풍부하게 가꾸어줄 것이다. 교육의 다양한 패러다임에서 “통합”과 “융합”의 중요성이 점점 커지고 있다. 개별 교과의 특수성만이 아닌, 여러 교과의 통합을 통한 융합적 사고가 강조되는 지금의 시대에, 독서는 방향키가 되기에 충분하다.5. 현재 점수에 연연하기 보다는 도전해보는 시간과 경험에 의미를 두자대내외적으로 다양하고 많은 수학경시대회가 있다. 지금 받는 그 당장의 점수로 아이들의 인생이 좌우되지 않는다. 어려운 시험에 응시했다는 그 용기만으로도 아이들은 칭찬과 격려를 받는 게 마땅하다. 그 시험에 응시하기 위해 아이가 쏟았을 노력과 시간은 당장 보상받을 수 없는 더 큰 가치를 지닌다. 실패보다 중요한 건 좌절하지 않는 것이다. 좌절하지 않는다면 또 다른 도전으로 이어질 것이고, 이는 자신을 성장시키는 원동력이 될 것이 분명하다.6. 쉬운 문제 10문제 보다는 어려운 문제 1문제 푸는 시간이 더 귀하다가끔 아이들이 “1시간동안 틀린 문제 고치는데 시간을 다 썼어 ㅜㅜ”, “1문제밖에 풀지 못했는데 시간이 다 지났어요. ㅜㅜ”라며 속상해할 때가 있다. 하지만 나는 오히려 그 시간이 그 아이게 너무나 귀중한 시간이었음을 분명히 인지시켜 준다. 아직 실력이 부족한 아이들은 자신의 실력에 맞는 학습을 하는 것이 맞다. 하지만 매일 풀어본 문제, 쉽게 해결할 수 있는 문제만을 풀며 자기만족에 빠져있는 것은 좋지 않다. 오랜 시간이 걸린다할지라도 자신의 능력으로 이를 해결해나가려는 노력의 시간은, 그 학생이 쉬운 문제 10문제 아니 100문제를 푸는 것보다 소중하다. 수학의 세계에는 여러 계단이 가로막고 있다. 작고 좁은 계단, 크고 높은 계단... 큰 발걸음으로 한 달음에 그 계단을 올라갈 수는 없다. 더디지만 포기하지 않고 나 2020-08-05
- ‘직보’를 통해 보는 기말고사 승리 비법 학원을 다니는 사람은 ‘직보’라는 단어를 잘 안다. 시험 직전 수업인 만큼 아이들의 집중력은 어느 때보다도 높다. 겨우 하룻밤이 지나면 성적이 정해지기 때문이다. 사실 수학은 직보의 영향력이 미비하다. 벼락치기가 불가능하기 때문이다. 평소에 실력을 완성시켜 놓아야 한다. 직보 때는 꼭 봐야할 내용만 정리하면 된다. 직보 날 여유롭게 복습을 하는 학생이 있는 반면 개념도 기억이 안 나서 울상인 아이들도 있다. 그렇다면 직보 날 까지 어떻게 공부해야 기말고사를 잘 볼 수 있을까?공부의 시작은 방학이다.수학 공부법의 정석은 존재하지 않는다. 하지만 수많은 수학을 잘 했던 사람들을 보면 보통 한 번에 4~5시간은 수학에만 시간을 투자한다. 수학은 깊은 생각과 오랜 고민이 필요한 과목이기 때문이다. 수학 개념 공부를 하다 보면 내용이 이해가 안 돼서 막히게 된다. 그럴 때 누군가의 도움을 얻어서라도 반드시 이해를 하고 넘어가야 한다. 즉, 내용에 대한 ‘납득’의 시기가 필요하다. 예를 들어, 정적분의 값을 구할 때, 왜 미분을 거꾸로 한 뒤 x값을 대입해서 빼기만 하면 되는지를 알고 나아가야 하는 것이다. 납득과 이해를 하기까지 얼마나 많은 시간이 필요한지는 아무도 모른다. 즉, 많은 시간이 확보되어야만 한다. 따라서 수학 공부는 방학 때 제대로 할 수 있다. 다가올 학기 및 그 다음 학기 내용까지 보면서 이러한 ‘이해의 과정’을 미리 겪어야 한다. 그래야만 시험 기간에 문제만 풀어도 상관없어지게 되는 것이다. 방학을 잘못 보내면 그 해 수학 공부 농사는 힘들어진다.바쁜 학기 중엔 문제만 풀자.일단 학기가 시작하면 학교에 가게 되고, 수행평가 준비를 비롯해 수많은 요소들이 우리의 에너지와 시간을 빼앗는다. 정말 바빠진다. 만약 당신이 고등학교 내신이 정말로 중요한 학생이라면 학기 시작과 동시에 선행은 중단해야 한다. 할 것이 많은데 선행까지 하면 집중과 체력이 분산되기 때문이다. 학기 중에는 내신만 준비하는 것이 낫다. (단, 정말 열심히 공부할 자신이 있고 체력도 많다면 선행 및 수능 공부 등을 병행해도 좋다.)학기 중에는 중간고사와 관련 심화만 공부하는 것이다. 수학 공부는 끝이 없다. 심화 내용을 아무리 공부해도 당신이 못 풀 문제는 반드시 존재한다. 만약 미적분이 중간, 기말 범위면 미적분의 끝을 보는 식으로 공부하는 것이다. 이미 개념은 방학 때 다 공부한 상태이다. 유명한 시중 문제집, 수능 특강, 수능 완성, 수능 기출, 평가원 모의고사 기출, 교육청 모의고사 기출, 각종 사설 모의고사, 경찰대 및 사관학교 문제, 본고사 문제 등등 풀어야 할 것들에는 끝이 없다. 미적분과 같이 내용이 많고 어려운 과목은 사실 문제풀이까지 방학 때 어느 정도 끝냈어야 한다. 이처럼 개학 이후에는 문제풀이만 계속 반복하면서 실력을 쌓는다는 느낌으로 공부해야 한다. 이것은 고3 뿐 아니라, 고2, 고1에게도 해당되는 말이다. 만약 당신이 고1이라면 기말고사를 위해 수학 상 뒷부분을 정말로 깊게 공부해야 한다. 모의고사 기출은 물론, 유명한 사설 문제집들, 어려운 강남 내신 기출 등등 풀 문제는 어느 정도 정해져 있다. 시간 계획을 잘 짜서 이 중 상당수를 소화만 해도 실력이 급격하게 늘 것이다. 그러면 시험 기간에 수학에 대한 부담은 한결 줄어들 것이다.시험이 다가오면 맞춤식으로!평소 실력을 쌓다가도 시험이 2~3주 남으면 자신의 학교 시험에 최적화 된 스타일로 공부해야 한다. 수능 및 모의고사 기출을 많이 출제하는 학교라면 기출 분석을 쉬지 말고 해야 한다. 계산이 복잡한 문제들이 출제된다면 비슷한 문제들을 찾아 풀어야 한다. 문제가 쉽게 출제되는 학교라면 쉬운 문제 위주로 실수 없이 푸는 연습을 해야 한다. 서술형 비중이 높은 학교면 서술 연습을 해야 한다. 이럴 땐 교과서 내용들을 모조리 증명하는 훈련도 해보면 좋다. 이처럼 자신의 학교 수학 시험 스타일을 파악하고 그에 맞게 공부해야 한다. 학생들은 전문가가 아니므로 이 부분은 사교육의 도움이 분명이 필요한 부분이다. 만약 학교 시험이 평이하게 나오는데 실력을 쌓겠다고 어려운 문제만 풀면 오히려 시험을 못 볼 수 있다. 어려운 문제를 고민하는 습관보다, 유형을 암기해서 빠르게 푸는 게 이득이기 때문이다.사실 시험의 난이도와 관계없이 내신 시험은 유형 암기를 통해 문제를 빠르게 풀어야만 잘 볼 수 있다. 학교마다 다르겠지만 대체로 고등학교 수학 시험은 50분간 시행되며 20문제 정도 나온다. 한 문제를 푸는데 3분이 넘으면 안 된다. 개인적으론 수학 시험은 오랫동안(3시간 이상) 봐야 하고 문제도 모두 서술형이어야 한다고 생각한다. 하지만 현실이 그러한 것을 어쩌겠는가? 시간 안에 빠르고 정확하게 푸는 사람이 승자가 된다. 따라서 기계처럼 빠르게 푸는 훈련이 무조건 필요하다. 수학 실력이 좋으면 당연히 속도가 빨라진다. 하지만 속도만을 위한 훈련을 따로 해야지만 시간관리가 가능하다. 시험장에서의 시간은 내 생각보다 훨씬 빠르게 흐르기 때문이다. 시간을 재고 모의고사를 보며 시험에 대한 감을 반드시 익혀야 하는 것이다.직보는 ‘하루만’ 진행된다. 하지만 방학부터 시작된 반년 동안의 공부 내용이 머릿속을 스쳐 지나가야 한다. 사실상 반 년 동한 공부한 내용을 평가 받는 시간인 것이다. 혹시 그동안 놀기만 했는가? 너무 우울해하지는 말자. 끝까지 최선을 다하는 것이 좋다. 그래야 말도 안 되는 운도 생기게 된다.일산 아이디(id)수학전문학원 전인덕 원장031-919-8912 2020-07-31
- 개별 역량에 따른 집중 트레이닝, 수학 정복의 지름길 1:1 과외식의 개별 학습으로 최대한의 실력 향상 도모후곡 학원가에 위치한 ‘공감수학’은 초, 중등 전문 수학 학원으로 개인별, 수준별 학습에 초점을 두고 최상의 성과를 이룰 수 있도록 돕고 있다.한인경 원장은 “칠판식 강의의 장점도 있겠지만 학생들의 수준이 다른 만큼 개별적인 역량에 맞춰 학습을 진행하는 게 중요하다”고 강조한다. 그래야만 수학의 기본이 탄탄해지고, 이는 한 단계 발전을 위한 밑거름이 되기 때문이다. 이를 위해 공감수학에서는 한 반 5명의 정원을 유지하며 개별 진도 수업을 진행한다. 한 원장은 “이 같은 1:1 과외식 학습의 장점은 학생 각자의 취약 부분은 보완하고 장점을 최대한 끌어올리는 데 효과적이다”라며 “상위권 학생들은 나름의 실력에 맞게 진도와 심화를 병행함으로써 더 높은 실력 향상을 꾀할 수 있고, 다소 수학 실력이 부족한 학생들은 더욱 꼼꼼한 학습과 기초 쌓기로 수학 실력을 다질 수 있다”고 설명했다. 무조건 식의 진도 빼기나 학생 역량을 고려하지 않은 과제 등은 오히려 수학 실력 향상에 방해가 되기 때문이다.공감수학에서는 학생 각자의 역량을 최대한 끌어올릴 수 있도록 다양한 반을 구성함으로써 향후 진학에도 도움이 되도록 하고 있다. 심화학습은 물론 경시대회 수준의 콘텐츠를 익히는 초등 3학년~6학년 대상의 영재반, 중등 대비를 위한 내실을 다지는 초등 고학년반을 비롯해 중등반 등 다양한 초, 중등 집중반을 운영한다. 중등 과정에서는 각 학교 내신 대비를 위한 체계적인 학습이 진행되는 것은 기본이다.초등 고학년, 집중적인 심화학습이 중요한 시기아울러 한 원장은 특히 중학 진학을 앞둔 초등 고학년부터 수학 학습의 중요한 시기임을 간과해서는 안 된다고 강조한다. 한 원장은 “개인적 수준에 따른 차이가 있겠지만, 초등 5학년이라면 중학 수학을 대비한 심화학습을 반드시 병행해줘야 한다”고 강조했다. 중학 수학은 초등 수학과 달리 서술형 문제처럼 높은 문제 이해도와 체계적이고 단계적인 풀이과정을 중시하는 수학 수준으로 확실히 높아지기 때문이다. 가능하다면 보다 심화된 문제를 통해 이해하고 생각하고 풀어낼 수 있는 능력을 충분히 연습하는 게 무엇보다 중요하다고 한다. 한 원장은 “현실적으로 목표는 성공적인 수능이라고 할 수 있다. 수학은 단기간에 이뤄내기 어려운 과목인 만큼 초등 고학년부터 착실히 준비돼 있어야 중학을 거쳐 고등 수학에 가서도 어려움을 겪지 않는다”고 말했다. 학습뿐만 아니라 학생들과의 소통도 중요시한다. 특히 오랫동안 공감수학에서 공부해 온 학생들이 많은 이유에 대해 한 원장은 “한창 사춘기를 겪는 아이들에게 열린 소통은 중요하기에, 학생들의 소리에 귀 기울이고 받아주며 즐거운 학습이 이뤄지도록 항상 노력하고 있기 때문인 것 같다”고 전했다.위치: 고양시 일산서구 일산로 576 대성프라자 501호문의: 031-912-2774 2020-07-31