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- 예비고1(현 중3) 영어 공부법 ① : 문법과 어휘 중학교 3학년은 매년 2학기 기말고사를 고등학교 진학에 필요한 내신 산정을 위해 조금 일찍 치른다. 기말고사까지 마치고 나면 자율적으로 쓸 시간이 늘어난다. 그리고 중등 3년을 마쳤다는 조금 이른 해방감에 젖을 가능성도 크다. 코로나 때에 성적 편차가 커졌듯이, 일상이 평온할 때보다 변화의 시기에 성적도 요동친다. 지금 이 시기 느슨해져 허송세월을 보낸다면 더욱 치열하게 보내야 할 고등 3년의 첫 단추가 어긋날 수 있다. 대신 이 시기를 내 학습역량 다지기에 잘 활용한다면 고등 1학년 적응은 물론 고등 3년 내내 큰 버팀목이 될 수 있지 않을까? 예비고 1의 영어 공부법에 대해 말하고자 한다. 기본이 튼튼해야 한다고등과정은 중등과정보다 양과 질 모두 높아진다. 각자 사정이 있겠지만 많은 고등학생들이 중등영어 과정을 충실히 다지지 않고 올라와 고전 하는 모습을 자주 본다. 그러니 현 중 3은 지금부터 방학을 거쳐 고 1 입학 전까지 고등과정에 적응할 준비를 마쳐야 한다. 고등과정을 예습하는 것보다는 이미 배운 것을 완전히 내 것으로 만드는 것이 우선이다. 기초가 되어 있지 않으면 마음을 잡고 공부해도 극적인 성적 향상을 이루기는 어렵다.중등과정에서 해놓아야 할 부분은 누적이므로 출발 선상이 달라지는 것이 냉혹한 현실이다. 문법과 어휘 공부법에 대해 알아보자.문법에서 부족한 부분을 파악하고 바로 집중학습하기초등학교 때에는 여러 가지 방식으로 영어 공부를 한다. 보통 4 영역이라 말하는 듣기, 쓰기, 말하기, 읽기 등. 초등학생들이 가장 많은 영역을 공부한다고 해도 과언이 아니다. 하지만 이 모든 것들이 영어의 문법에 맞춘 정확한 문장이 아니면 소위 시험 영어에서는 강점이 되지 못한다.영어를 매우 잘 하는 예비중 1 학생들의 탑클래스반을 문법 특강반에서 지도했을 때이다. 회화실력과 독해력, 듣기 능력이 정말로 뛰어났다. 그러나 브레이크가 걸렸던 부분은 의외로 정확한 문장을 쓰는 영작 부분이었다. 워낙 책을 많이 읽고 문장을 많이 봐왔기에 익숙한 문장의 형태로만 문장을 쓰는 습관이 있었다. 목적어를 that 절을 넣어서 쓰는 것은 익숙했지만, 가목적이 it과 진목적어 to 부정사를 넣어서 5형식으로 쓰는 문장은 익숙하지 않아서 연습을 했다. 물론 금방 마스터 했으나 ‘뜻만 통하면 그냥 내가 편하게 쓰면 안 되는가’ 라는 생각을 바꾸는데 설득이 필요했다.고등내신영어 시험은 문제에서 내는 조건에 맞춰서 영작하기를 원한다. 의미만 같으면 되는 시험이 아니다. 같은 의미도 문법 조건에 맞춰서 쓰는 능력을 길러야 영어시험에서 점수를 받을 수 있다. 학생이 that절을 알고 있는지, 가목적어와 진목적어를 알고 있는지를 구분해서 질문하기 때문이다. 특히 고등 내신 서술형에서 이런 구분 실력은 더욱 중요해진다.문법을 배우는 이유는 정확한 해석과, 정확한 영작을 위함문법을 예전 방식의 영어 학습이라고 생각하는 것은 오판이다. 예를 들어 우리말은 보통 앞에서 수식을 한다. 하지만 영어는 수식어가 짧으면 앞에서 수식하지만(이런 문장은 아이들은 쉽다고 생각한다) 수식어가 길어지면 뒤에서 수식(우리말에는 후치수식이 없으므로 이럴 경우 많은 훈련을 해야 이런 문장이 익숙해진다)을 한다. 이것을 아는 것이 독해에서도, 문장 쓰기에서도 중요하다. 문법용어를 아는 것이 핵심이 아니다. 그 문법을 기반으로 해석과 영작을 하기 위해서는 문법 사항을 익히면서 계속 정확한 문장을 쓰고 해석하는 연습을 해야한다.어휘 : 단어책 많이 사는 것 보다 한 권의 책 반복 학습하기내신과 수능 모두 1등급을 받는 학생들의 특성을 보면 조급하게 난이도를 올려 공부하지 않는다. 교재에 대한 파악 능력도 뛰어나다. 이 교재는 ‘앞부분은 쉽지만, 뒷부분은 어려운 어휘책이구나’ 라는 판단 하에 ‘앞부분은 복습으로 생각하고 철저히 마스터하고, 뒷부분은 모르는 단어가 많으니 최대한 이 단어들을 내 것으로 마스터 하자’를 목표로 학습을 한다.그런데 단어책 앞부분이 쉬우면 조급한 마음에 바로 더 어려운 책으로 바꾸는 친구들이 있다. 이런 경우 어휘 실력이 생각만큼 쌓이지 않는다. 어휘책은 아는 것과 모르는 것이 같이 들어가 있는 것이 자신에게 맞는 책이다. 1단원부터 아예 모르는 단어가 나오는 책은 아직 들어가기에는 이른 책이다. 단어 책 한권을 공부한 것 같으면 어려운 단계의 책으로 넘어가고 또 더 어려운 책으로 넘어가고... 물론 어휘력이 풍부하고 외운 것을 잘 안 잊어버리는 학생들은 이 방법도 좋으나, 고등가기 전 난이도 중 정도의 수능 기본 단어 책을 2번 정도 반복하고 난이도를 올리기 바란다.오늘은 문법과 어휘 위주의 학습 방법을 서술해 보았다. 이제 시작이다. 위 두 영역은 영어 실력 향상의 토대이니 그 토대를 탄탄하게 만들자. 다음에는 고등영어의 핵심 독해력 향상 방법에 대해 기고 할 것이다.일산 후곡 중등부, 고등부 영어 전문학원 체리수능영어 김서희 원장문의 031-912-1624 2020-11-06
- 예비고1 수학, 잘 짜여진 계획과 관리가 중요하다 두 달 후면 중학교 3학년이 끝나고 다시 새로 시작하는 고1의 초입 겨울방학이 다가온다. 그간 잘해왔던 학생들과 앞으로 잘하기 위한 학생들을 위해 몇 자 적고자 한다.수학 공부를 하는 목적이 무엇인가? 사실 우리 아이들이 수학 공부를 하는 이유는 대부분 명확하다. 좋은 대학을 가기 위함이다. 수학 공부를 너무 하고 싶어서 밥을 안 먹고 잠도 안 자고 하는 아이가 주위에 몇이나 될까? 제발 아이에게 공부에 흥미를 가지라는 말은 하지 말자. 내가 그렇지 못했다면!우선 이 지점에서부터 예비 고1 아이들이 올겨울에 해야 하는 한 가지는 분명 해 진다. 해야 하지만 하기 싫은 일을 하는 방법은 잘 짜여진 계획과 관리이다.계획과 관리대부분의 아이들이 겨울 방학이 시작되면 꽤 나 열정적으로 변한다. 하루 정도는 ^^. 그리고 나서 얼마안가 역시 사람은 변하면 죽는다는 진리를 깨우친 사람들처럼 예전의 삶으로 연어 마냥 회귀해서 그냥 저냥 학원가고 적당히 자리 지키다가 집에 와서 놀다가 늦은 밤까지 숙제 하고 다음 날 학원가고 하는 생활을 한다. 내가 위에서 열정적으로 변한다는 것의 의미는 자기 주도적 학습 습관을 갖는다는 것이다.어떤 학생도 자신이 취약하고 싫어하는 과목이 있고 그것을 깨기 위한 자신만의 노력이 필요하다. 허나 대부분의 학생들은 학원 생활에 취하여 학원 커리에 맞추다 보니 결국 자신의 약점을 놓치는 경우가 종종 있다. 계획을 세우는데 있어 가장 중요한 것은 너무도 당연하겠지만 학생 본인이다. 취약한 과목과 싫어하는 과목, 집중이 안 되는 과목들을 적절히 자신의 가장 컨디션이 좋은 시간대에 배치하고 계획을 짜면 된다. 절대로 ‘학원을 가는 것이 공부다’라는 생각을 하면 안된다. 학원이나 학교는 수업을 듣고 제대로 공부가 되었는지 체크를 하는 곳이다.배우는 것을 익히는 시간 필요결국 다시 배운 것을 익히는 시간이 필요하다. 학원에서 남겨서 모든 것을 끝내고 집에 보낸다는 곳이 많은데 개인 복습을 하는 건지 그저 또 문제 풀고 체크만 하는 것인지 확인할 필요가 있다. 국어 수학 영어 과학 사회는 방학 동안 다 학원을 다닐 건지 아니면 필요 부분만을 다닐 것인지 결정한다. 이 결정에는 학원에서 배운 만큼 다시 복습 할 시간 (숙제를 하는 시간이 아닌)을 충분히 잡는 것이 중요하다.관리, 부모와 학생 그리고 선생과 학생 간의 기나긴 인내심의 시험장겨울 방학 동안 모든 과목을 준비 하는 것이 좋겠지만 아이들 마다 할 수 있는 능력이 다르다. 가장 취약한 과목을 기준으로 공부의 양(학원을 다닐지 인강을 할지 자습서를 개인적으로 볼지의 결정 포함하여)을 정하고 부득히 하게 시간을 많이 투자 못하는 과목은 교과서 중심으로 한 단원 정도만 준비하고 개학을 맞이해도 된다. 계획 이후에는 관리가 필요하다. 이는 학생 부모 선생 모두의 책임이다. 어떻게 크로스 체크를 할 건지 서로 간에 충분한 대화가 필요하다. 부모는 조금만 더 하기를 학생은 조금만 덜 하기를 (물론 안 그런 학생도 있다!!!) 바란다. 그러기에 사전에 충분히 계획에 대한 이야기가 오가고 못할 경우 어떤 불편함이 있을지를 정하는게 좋다. 그래도 제대로 안 된다면 학원에 길게 있는 곳을 선택해야겠지만 실상은 집에서 공부를 안 하는 걸 장소를 바꿔 학원에서 대충 시간을 보내는 아이들도 더러 있다. 결국 관리는 부모와 학생 그리고 선생과 학생 간의 기나긴 인내심의 시험장이다. 그러나 어쩌겠는가?일산 후곡 수박수학학원 박형록 원장031-922-0979 2020-11-06
- 영어내신과 수능영어 학습법 대부분의 중,고등학교가 2학기 중간고사를 마쳤다. 휴식도 잠시, 2학기 마지막 지필평가, 기말고사가 12월 중순으로 예정되어있다. 중학교 2,3학년부터 고등학교 1,2학년까지 영어내신 대비 학습법과 학습태도 그리고 수능영어에 대하여 조언을 드리고자 한다.중학교 영어내신과 영문법 공부방법무엇보다도 고등학교 진학 전에 문법 실력을 탄탄하게 다져두는게 가장 중요하다. 중학교때 문법실력이 그대로 수능시험까지 이어지는 점을 잊지 말아야 한다. 영어문법은 16에서 17단원 정도로 분류되어있고, 각 단원은 공부하는 순서가 있다. 또한 영어공부는 학년과 별로 관계없이 학습할 수 있다. 우선, 기초가 부족한 학생이라면 문법 내용으로 들어가기 전에 문법 용어부터 이해하는게 필요하겠다. 예를들어 ‘명사’라는 품사의 쓰임을 잘 이해했다면 명사구, to부정사의 명사적 용법, 동명사, 명사구, 명사절을 공부하는데 쉽게 이해가 될 수 있다.통문장 암기- 서술형 시험의 특효두 번째로, 문법 내용을 한가지씩 공부할 때는 꼭 문법이 들어간 문장을 암기하는 것이 매우 효과적이고, 시간이 지나도 기억이 오래간다. 특히 중학교 서술형 문제는 문법 사항을 묻는 것 이므로 이 공부방법이 그대로 영어점수에 직결된다고 하겠다. 시간이 걸리고, 힘들더라도 문법완성의 정도임을 알아야하겠다. 또한 이러한 문법 실력이 구문독해로 이어져서 어려운 문장을 읽을 때 큰 도움이 되는 건 두말할 필요도 없다. 문법 문제를 풀기에 앞서서, 그리고 교과서 본문을 외우려고 하기 전에 꼭 실천해야하겠다. 영어시험 성적 향상의 지름길이다.예비고1- 영어 정복 최고의 시기중3에게 남은 2학기 기말고사 준비보다는 고등학교 영어교과서와 수능 모의고사 유형을 시작하라고 조언하고 싶다. 지금부터 내년 2월말, 고교입학 전까지는 대학입학을 결정하는 매우 중요한 시기이다. 대입에서 영어 절대평가가 시행되었지만, 영어의 중요성이 떨어진 것도 아니고, 영어공부가 쉬어졌다는 의미도 아니다. 매년 고1 학생들을 지도하다보면 예외없이 고1 첫 중간고사를 마치고 거의 맨붕을 겪는 학생들을 보게된다. 그만큼 중학영어와 고교영어 과정의 난이도 차이가 크다는 말이다. 고교입학 전에 고1에서 다루는 단어부터 이 시기에 먼저 공부해두자. 그리고 무엇보다도 문법을 문장 속에서 바르게 쓰는 ‘어법’공부를 시작해야 한다. 어법은 고등학교 영어내신에서 객관식으로 가장 많이 출제되고, 교과서 지문을 바꿔서 출제하는 경우가 많으므로 중학교때처럼 교과서를 외우려하지 말고 구문독해와 문장연습을 반복해야한다. 아울러 70분간 시간을 정확히 재보면서, 고1 수능 모의고사를 풀어보도록 권하고 싶다. 대부분의 학원에서 시행하겠지만, 해석이 아니라 전체 글의 주제를 따라가며 문맥을 파악하는 연습을 하기바란다. 번역이 아니라 읽고 이해하는 것이 ‘독해’ 이다.예비 고2,고3- 영어내신과 수능영어를 동시에이맘때 쯤이면 수시 학생부 내신인지, 정시 수능인지를 심각하게 고민하는 줄 안다. 정시에올인하기로 한다면 수시원서 6장을 그냥 버려야한다는 것일까? 해마다 수능영어에는 영어교과서에서 다루는 어휘,구문,유사한 주제가 출제된다. 그리고 고3때는 EBS 연계교재를 수업하며, 내신 시험범위이다. 영어는 내신공부가 수능준비라는 이야기이다. 수시든 정시든 내신공부에 전력을 다해야한다고 본다. 이번 학년 마지막 기말고사가 남아있다. 지난 중간고사 시험지를 꼼꼼이 분석해보고, 놓친 문제를 다시보며 곧 다가오는 기말 대비 방향을 잡아보자. 권하고 싶은 공부방법으로, 교과서, 부교재 또는 모의고사 지문을 학습하면서 무엇에 중점을 두고 읽을지를 명확히 하기바란다. 즉 어휘공부를 마친 후, 처음 읽을때는 단락별 주제, 요지를 중심으로 읽고, 두 번째 읽을때는 각 문장의 연결과 구조 중심으로, 그리고 마지막으로 각 문장을 어휘와 어법 중심으로 읽기 바란다. 모든 객관식 문제가 여기에 포함된다. 서술형 준비는 앞서 말했듯이 통문장 암기이다. 각 단원의 주요 문법이 포함된 문장을 해석만 보고 써보기 시작하기 바란다. 이때 학교에서 나눠준 학습 프린트를 잘 활용하면 도움이 된다.그동안 일선 학원현장에서 여러분 선배들을 지도해오며 하고싶었던 말을 생각나는대로 써봤다. 여러분의 건투를 빈다.일산 후곡 필 인문학원 영어팀 장상열 원장문의 031-921-1318 2020-11-06
- 대입 정책 변화, 어느 고등학교가 유리할까? 교육부에서 대입제도 공정성 강화 방안 발표를 통해 2024학년도(현 중3)부터 변경되는 내용을 발표했다. 그 내용의 핵심은 첫째, 정규교육과정이 아닌 비교과 활동은 대입에서 폐지, 둘째, 자기소개서 및 고교 프로파일 폐지, 셋째, 서울 소재 16개 대학(서울대, 연세대, 고려대, 서강대, 성균관대, 한양대, 중앙대, 경희대, 한국외대. 서울시립대, 건국대, 동국대, 숙명여대, 숭실대, 서울여대, 광운대)에 수능 위주 전형을 40% 이상 확대 요청으로 요약할 수 있다.교과와 세부능력 및 특기사항 중요해져좀 더 상세히 들여다 보면, 학생부에서 변별력을 가지는 부분은 4.수상경력, 7.창체활동(자율, 동아리, 봉사, 진로활동), 8.교과학습발달상항(세부능력 및 특기사항 포함), 9.독서활동 이다. 이 중 수상경력, 개인봉사활동실적, 자율동아리, 독서활동이 빠지게 된다. 이렇게 되면, 창체활동은 정규 교육과정에서 편성된 것만 반영되고, 개인의 우수성을 입증할 수상경력과 독서활동을 표현할 수 없으므로, 풍선 효과로 교과와 세부능력 및 특기사항이 아주 중요해진다.또한, 대입에서 출신고교의 후광 효과를 차단하기 위해 블라인드 평가를 대입전형 전체(현재는 면접에서만 실시하는 것을 서류평가까지)로 확대하고, 고교프로파일을 폐지해서, 학교의 차별화를 배제하겠다는 것이다. 만일, 이론적으로 완벽한 블라인드로 진행이 된다면 확실히 고교 후광 효과는 차단될 것이다. 이 때, 교과 편성만으로 학교가 미루어 짐작되는 특수목적고는 예외가 될 것이다. 그러면 이러한 블라인드로 가장 큰 피해가 예상되는 학교는 일반고와 교과 편성이 같지만 내신 경쟁은 치열한 학교들이 될 것이다. 물론 완벽한 블라인드가 진행된다는 것을 전제로 했을 때이다.학종 모집 인원 크게 줄어이 중 ‘수능 위주 전형 40% 이상 확대’와 관련해서는 이미 대학들이 2022학년도 시행계획을 통해 선제적으로 대응하고 있다. 아래 표를 보면, 이미 2022학년도 논술 전형과 정시 전형의 모집 인원의 비율이 전체 모집인원의 49.4%이며, 수시 이월 인원을 감안하면, 학생부와 관련없는 전형의 비율이 55~60%를 예상케 한다. 2024학년도 모집인원의 구성도 비숫할 것이다. 2022학년도부터 그동안 교과 전형이 없던 건국대, 경희대, 동국대, 서강대, 성균관대, 연세대가 학교장 추천 교과 전형을 신설해서 학생을 선발한다. 이 때 대부분의 대학은 수능 최저학력기준을 적용한다. 논술 전형을 실시하는 2/3 대학도 수능 최저학력기준을 적용하므로, 수시에서 수능의 영향력이 커져가고 있다고 볼 수 있다. 진학하고자 하는 고등학교를 결정할 때 대학의 전형 중 출신고교의 후광 효과가 크게 작용하는 학종 전형의 모집인원이 크게 줄어들었다는 사실에 주목할 필요가 있다.[표] 주요대학(공정성 강화 16개 포함) 유형별 인원 및 비율 변화현재 예비고1 학부모님들은 “어느 고등학교로 우리 아이를 진학시키는 것이 대입에서 유리할까”라는 고민을 많이 하시지만, 실제로는 어떤 고등학교를 진학하든지간에 고1, 2 과정에서는 교과가 중요해졌다는 것과 수능의 비중이 증가했기 때문에 내신을 대비하면서도 수능 대비를 함께해야 한다는 사실은 다르지 않다. 어느 고등학교로 가는 것이 유리하냐의 문제는 결국 우리 아이가 그 고등학교로 진학해서 어떻게 적응하느냐에 달려 있지, 고등학교가 어디냐의 문제는 아니라는 것이다. 만일, 중학교 때처럼 내신 대비에 치중하다가 원하는 교과 성적이 나오지 않은 상태에서 수능 대비도 제대로 되어 있지 않은 상태가 되면, 수능 공부를 위해 또 다른 시간을 내야 하므로 결국 자신의 목표 대학을 진학하기 위해 재수를 하게 되는 것이다. 목표한 교과 성적을 받지 못한 경우라도 수능 대비가 잘 되어 있으면, 학생부 중심이 아닌 전형으로 가면 되고, 그 정도의 모집 정원이 2024학년도에는 존재한다는 것이다. 따라서, 어느 고등학교를 가느냐가 중요한 것이 아니라 어떻게 학습하느냐가 더 중요하다. 대입 전략을 각 학년별로 잘 세우고, 항상 B 플랜을 가지고 있다면 자신이 목표로 하는 대학의 진학이 가능할 것이다. 그래서, 예비고1은 기말고사가 끝난 시점부터가 중요하다. 겨울방학동안 고1 내신 대비는 철저히 준비하되, 중학교 시절의 관성적인 내신 대비 습관을 버리고, 수능 준비도 함께 할 수 있는 학습 프로그램이 필요하다.고등부 수학과학전문 일산 위너스학원 박재홍 대표백마 031-932-0852 후곡 031-912-0092 2020-10-30
- 누구나 수학 1등급 해낼 수 있다 수학 1등급을 가로막는 것은?수학 1등급 학생들은 강의 시간에 적극적이다. 잘 모르는 부분은 그냥 넘어가지 않는다. 과제에 대한 집착도 남다르다. 잘 안 풀리는 문제는 집요하게 물고 늘어진다. 끝내 안 풀릴 때 비로소 질문을 한다. 이런 점에 볼 때 일방적 주입식 강의야말로 수학 1등급의 가장 큰 적이라고 할 수 있다. 기본 원리부터 시작해서 거기서 파생되는 공식들이 강사의 입에서 끊임없이 흘러 나온다. 그것을 적용하는 문제 풀이의 세세한 부분까지 모든 것을 강사가 가르쳐준다. 이 과정에서 학생들의 생각이 끼어들 여지는 없다. 그저 들은대로 암기할 뿐이다.학원과 강사에 대한 의존도는 점점 높아진다.기본 문제들은 암기한대로 풀 수도 있다. 하지만 문제가 조금만 변형되어도 대책이 없다. 생각이 쌓여야만 키울 수 있는 수학적 사고력은 제자리에 멈춰 있기 때문이다. 높은 단계의 응용 문제나 고난이도 심화 문제는 손도 댈 수 없다. 결국 해설집을 보거나 고민도 안해본 채 강사의 도움을 청하게 된다. 다시 강사가 일방적으로 설명하고 그것을 암기하여 반복하는 문제 풀이는 언제 끝날지 알 수가 없다. 이제 수학 1등급은 물 건너 간 것이다.수학 공부에 대한 고정 관념에서 벗어나야그동안 너무도 오랫동안 잘못된 수학 공부 방법이 유지되어 왔다. 부모님들도 그렇게 공부했고 선생님들도 마찬가지이다. 하지만 창의성의 시대에 맞게 자율성을 중시하는 학생들의 정서는 더 이상 낡은 공부 방식을 인내하지 않는다. 학습 의지가 강하고 능력이 뛰어난 극소수의 학생들은 잘못된 학습 환경에도 불구하고 스스로 수학 1등급의 길을 찾아나가기도 한다. 하지만 이들이 올바른 공부 방법을 만난다면 지금보다 훨씬 적은 시간과 노력으로 더 많은 성과를 올릴 수 있을 것이다.수학 공부의 새 컨텐츠 필요누구나 수학 1등급을 받을 수 있는 올바른 수학 공부 방법에는 세밀한 준비가 따라야만 한다. 먼저 학생들과 소통하는 새로운 수학 강의의 필요성에 공감하고 오랜 동안의 풍부한 경험을 통해 검증된 강사가 있어야 한다. 다음으로 학생들의 적극적인 참여를 유도할 수 있는 여러 가지 강의 교재와 강의 시스템이 정비되어 있어야 한다. 덧붙여서 학생들의 정서에 맞는 체계적인 학습 관리와 복합적인 평가 과정들이 준비되어야 한다. 마지막으로 각종 수학 시험에서 실질적인 성적 향상을 이끌어내는 빈틈없는 프로그램이 필요하다.수학 1등급 1단계 - 원리 이해 및 응용력 배양수학 공부는 기본 원리에 대한 이해에서 시작한다. 각 소단원의 핵심 내용은 기본 원리에 전부 담겨 있다. 이것을 강사가 일방적으로 설명해버리고 지나가면 수학 공부는 첫 출발부터 어긋날 수밖에 없다. 그 상태에서 문제 푸는 기술을 쌓아봐야 모래 위에 짓는 집과 같다. 조그마한 난관에 부딪쳐도 쉽게 무너질 수밖에 없다. 기본 원리에서 파생되는 주요한 법칙이나 공식은 반드시 스스로 증명해봐야 한다. 이것을 통해 수학자들이 밟았던 사고과정을 따라할 수 있다. 공식이 나오는 여러 단계중 한 곳을 비틀어놓은 것이 바로 응용 문제이다. 따라서 증명과정을 세심하게 되짚어보는 과정을 생략한 채 결과로서 나온 공식을 암기하여 문제 푸는 것을 되풀이해봐야 응용력은 생기지 않는다.수학 1등급 2단계 - 체계적 복습을 통한 장기 기억화독일 심리학자 헤르만 에빙하우스는, 새롭게 알게 된 것은 10분이 지난 후부터 잊기 시작하여 1일 후 절반 정도를 잊어버리고 2일이 지나면 10%의 기억밖에 남지 않는다고 한다. 그런데 그 날 복습한 것은 기억 지속 시간이 일주일간으로 늘어나고 일주일 후 복습한 것은 일개월로 연장되며 일개월 후 복습한 것은 6개월동안 기억된다고 한다. 이를 위해 이러닝(e-learning)을 적극 활용해야 한다. 학원에 오기 전 정해진 시간까지 답안 입력을 해야 하고, 그것이 끝나자마자 자동 채점이 되고, 틀린 문제에 대해서는 해설 강의를 무한정 반복해서 들을 수 있다. 학원에 오면 채점 및 해설 강의 없이 바로 오답 시험부터 실시할 수 있으므로 제한된 강의 시간의 효율성이 두 배 이상 늘어난다.수학 1등급 3단계 - 성적과 직결되는 실전 모의고사올바른 공부 방법에 의해 수학적 사고력을 키웠다고 해도 치밀한 시험 대비가 뒤따르지 않으면 최고의 성적을 얻을 수는 없다. 수학 시험 1등급 준비의 마지막 단계는 실전 모의고사이다. 그런데 몇몇 학생들은 실전 모의고사를 소홀히 한다. 시간 배분도 제대로 안하고 검산도 안 한다. 이래 가지고는 절대로 실력 발휘가 안된다. 현재 우리나라에서 시행되고 있는 수학 시험은, 짧은 시간에 다수의 문제를 실수없이 해결할 것을 요구한다. 따라서 알고 있다고 해서 당연히 제한된 시간 안에 풀 수 있는 것은 아니다. 안타깝지만 현실을 인정하고 그에 맞는 준비를 할 수밖에 없다. 또한 시험 시간 내내 긴장감을 유지하여 실수를 범하지 않는 것도 훈련이 되지 않으면 실제 시험에서 실현되지 않는다.악순환에서 선순환으로학생들은 능동적인 참여를 통해 스스로 생각하고 또 생각한다. 그에 따라 수학적 사고력과 문제 해결력이 향상된다. 결국 성적은 올라갈 수밖에 없다. 해보니까 된다는 자신감으로 더 노력하게 되어 수학 학습 능력은 비약적으로 성장한다. 드디어 수학 1등급이 눈앞에 보이기 시작한다.일산 후곡 수학전문 베리타스최재용 원장031-911-0796서울대 졸업28년간 대입수학 지도17년간 베리타스 원장 2020-10-23
- 고2 - 대입을 결정하는 마지막 시간 고등학교 1학년 때는 모두가 열심히 수학 공부를 한다. 그리고 높은 등급을 기대한다. 하지만 시험을 치를수록 자신이 생각했던 것과 다른 결과를 얻게 된다. 많은 학생들의 목표는 상위권이지만, 안타깝게도 입시는 상대평가다. 따라서 절대 다수는 자신의 성적에 만족하지 못하게 된다. 문제는 고2때 시작된다. 이때부터 슬슬 정시와 수시 중 어느 것이 나을지 고민하게 된다. 1학년 때 내신 성적이 안 좋았다면 수능 쪽으로 눈을 돌리게 될 것이다. 내신이 좋은 편이라면 계속해서 내신에 올인 하는 게 좋다. 어느 쪽으로 입시 전략을 정하느냐에 따라 공부 방법도 달라진다. 고1과 고3을 연결해주며 가장 갈팡질팡할 수 있는 시기가 바로 고 2인 것이다.다행히도 수학은 그 고민의 폭이 좁다. 고2때 배우는 수학Ⅰ 및 수학 Ⅱ가 수능에서도 필요한 과목이기 때문이다. 수능과 내신을 한 번에 잡을 수 있는 시기가 바로 고2인 것이다. 그렇다면 고2때는 어떻게 공부를 해야 할까?우리 학교는 내신이 쉽게 나온다?학교마다 다르지만 대부분의 학교에서는 수학 시험을 쉬운 난이도로 출제한다. 또한 학생들이 다 같이 잘 하는 게 아니라서 90점대 후반의 점수라면 상위권이 될 수 있다. 아이들은 보통 자신의 학교 시험의 난이도에 맞춰서 공부하게 된다. 문제는 고2때부터 배우는 수학은 직접적인 수능 출제 범위라는 것이다. 즉, 수능 기출문제를 풀어봐야 한다. 고1때는 다양한 시중 내신 문제집을 풀어도 학교 시험을 잘 볼 수 있다. 하지만 고2때는 더 많이 더 다양한 문제를 풀어봐야 하는 것이다.나는 고2 수업을 할 때 수능 스타일의 어려운 문제들을 많이 풀린다. 일부 아이들은 '우리 학교 시험은 쉽게 나와요. 이렇게 어려운 문제까지 풀 필요가 없어요.’라고 말한다. 이는 굉장히 위험한 생각이다. 실제로 이러한 안일한 생각에 젖어 얕게 공부하다가 큰 코 다친 사람들을 많이 봤다. 고2 내신시험에서는 예전 수능 기출문제들이 그대로 나오기도 한다. 또는 고난도 문항이 등장하며 1학년 때와 다르게 시험이 어렵게 출제 되는 경우가 많다. 고2때부터 수능 문제를 많이 풀어보고 어려운 난이도까지 대비를 해야 한다. 그래야 당황하지 않고 시험을 잘 볼 수 있다.수학 시험은 지식만으로는 잘 볼 수 없다. 직접적인 계산을 통해 답을 내야 한다. 즉, 집중력이 중요한 시험이다. 집중력은 적절한 긴장이 있을 때 발휘된다. 수학 시험은 항상 어렵게 출제될 것이라는 마인드를 가져야 한다. 그래야 철두철미하게 시험을 준비할 수 있다.학생은 시험을 예측할 수 없다.앞서 말한 대로 학교 시험이 쉬울 것이라는 예측은 굉장히 위험하다. 두 번째로 위험한 것은 섣불리 문제를 거르는 행동이다. 물론 굉장히 어렵다거나, 내신스럽지 않은 문제들은 거르는 것이 낫다. 하지만 내용을 함부로 건너뛰면 안 된다.수학Ⅰ에서 수열 파트를 공부한다면 수학적 귀납법에 대해 배우게 된다. 실제로 제자 중 한 명이 수열 시험공부를 하던 중이었다. 그 학생은 ‘학교 선생님이 수학적 귀납법 부분을 매우 조금 수업하셨고 강조도 안하셨으니’시험에 안 나올 것이라고 말했다. 하지만 시험범위는 수열 전체였다. 나는 수학적 귀납법은 무조건 서술형에 나올 것이니 유형별로 대비해야 한다고 말했다. 그리고 당연히도 서술형으로 수학적 귀납법을 이용해 명제를 증명하는 문제가 출제되었다. 그 학생은 나와 준비한 덕분이 시험을 잘 볼 수 있었다.이처럼 학생들은 자신의 학교 시험에 무슨 문제가 나올지 예측하곤 한다. 나올 문제를 예측하는 것은 괜찮다. 하지만 나오지 않을 문제를 예측하는 것은 굉장히 위험하다. 학생들은 전문가가 아니기 때문이다. 시험 문제를 함부로 예측 하지 말고 범위 내의 모든 것들을 철저하게 준비해야 한다.개념은 고2때 완성해야 한다.고2 때 배우는 내용들은 수능에서도 나온다. 따라서 고3때 같은 내용을 반복하게 된다. 고3 때 어려운 문제를 위주로 문제풀이에 전념하고자 한다면 고2 때 개념을 완성시켜 놓아야 한다. 설령 수능에 더 치중해서 공부한다고 해도 내신 시험은 잘 준비해 보는 것이 좋다. 어차피 같은 범위이기 때문이다. 고2 내신 기간에 2학년 수학을 철저하게 기초부터 심화까지 다져 놓아야 한다. 그래야지 고3때 편하게 공부할 수 있다. 만약 고2때 공부를 게을리 한다면, 수능이 코앞인 시점에서 개념서를 계속 들여다 볼 수밖에 없는 자신을 발견하게 될 것이다. 과거의 부족함을 채우는 것도 중요하다. 고1 과정은 수능 시험의 직접적인 출제범위는 아니지만 사실상 시험에 나온다고 생각해야 한다. 고2, 고3 수학의 기초가 되는 부분이기 때문이다. 고1 수학이 중요하지 않다고 생각하는 건, 곱셈은 초등학교 때 배우니까 고등학교 때 필요가 없다고 말하는 것과 같은 수준이다. 고2부터는 고1 수학을 안다는 가정하게 내용이 전개된다. 고1 수학 개념이 부족해서 문제가 막힐 경우 반드시 돌아가서 공부해야 한다. 고3 때 이 과정을 진행하기엔 너무 늦다. 예를 들어‘방정식의 근의 분리’, ‘절댓값 함수의 그래프 그리기’들 고2, 고3 때 계속 필요한 내용들은 꼭 복습하고 넘어가는 것이 좋다.고2는 고1때와는 상황이 많이 다르다는 것을 빠르게 인지해야 한다. 그리고 그에 맞는 공부법대로 공부해야 한다. 시험에 대한 시행착오는 고1때 마무리해야 한다. 이미 학교 시험을 1년이나 경험한 상태이다. 과거의 경험을 토대로 영리하게 공부해야 한다.고2 시간을 잘못 보내면 고3 때 고생할 수밖에 없고 이는 재수로 이어진다. 고3때는 다 같이 열심히 공부하기 때문에 전세를 뒤집는 것이 쉽지 않다. 남들보다 더 열심히 치고 올라가기 위해선 2학년 때 기초를 탄탄히 다져 놓아야 한다. 수능과 내신은 한 뿌리라는 마인으로 내신 준비를 해보자. 절대로 방심하지 말자. 그렇다면 시험 기간 후에 웃는 자신을 발견하게 될 것이다.일산 후곡 아이디수학학원 전인덕 원장031-919-8912 2020-10-23
- 수포자가 되는 학생들의 수학공부 유형 ② 문제를 제대로 읽지 않고 문제를 푸는 아이들수학을 들여다보면 기본적인 연산연습과 간단한 약속들이 있으며 이 두 가지의 활용이 엄청나게 어려운 문제를 만들어 내기도 한다. 이런 것들을 해결하기 위해서는 당연히 연산연습과 간단한 약속의 의미를 파악하고 이를 활용하기 위한 기본적인 적용 연습이 필요하다.허나 수학을 좀 한다는 많은 학생들은 어려운 문제풀기에 급급하여 연산연습은 지루하고 기본문제 풀이는 쉽다고 대충한다. (물론 이렇게 해도 되는 아이들도 있다.)쉬운 문제들을 원활하게 풀 수 없는데 어려운 문제를 어찌 잘 풀 수 있겠는가? 그렇다고 쉬운 문제를 잘 푸는 아이들이 어려운 단계의 문제를 잘 푸는 것은 아니다. 왜 이런 일이 벌어질까? 흔히들 출제자의 의도를 파악하라는 말들을 하지만 내가 누군가의 의도를 파악한다는 게 쉬운 일은 아니다. 의도를 파악한다는 것은 아마도 이런 말은 듯 하다, 주어진 문제에서 숨겨져 있는 조건을 찾아 그 의미를 알고 문제를 푸는 것 인데 사실 대부분의 아이들은 단지 수학문제를(심지어 한 장을 가득 메운 국어지문을 독해 할 수 있는 아이들이 길어봤자 다섯 줄 정도인 수학문제를) 제대로 읽지도 않고 문제를 푼다. 여기서 말하는 제대로 읽는다는 뜻은 당연히 수학문제에 나와 있는 조건을 보지 않는 것인데 실상은 그러한 조건을 찾고 의미를 파악하는 훈련이 부족하다고 볼 수 있다.수식과 글에 대한 독해력이 중요하다수학문제에서의 조건이란 무엇인가? 수식이다! 물론 난이도가 높아지면 수식과 수식을 연결하는 한글로 된 문장도 읽는 연습이 필요하다. 문제를 푼다는 행위가 제대로 된 결과를 나타내려면 이러한 수식과 글에 대한 독해력이 중요하다. 그러기에 아무리 쉬운 단원이라도 관련된 연산을 잘 하는지 확인해봐야 한다. 또 수학의 약속(지금 공부하는 단원의 내용 – 굉장히 많은 아이들이 자신이 공부 하는 단원의 제목도 모른다. 독서할 때 목차를 한 번 보는 것이 얼마나 도움이 되는지 모르는가?)을 제대로 이해하고 있는지 확인해봐야 한다. 이후에 다양한 문제를 풀게 하는 게 순서 일 것이다.그래서 어떤 선생님들은 아이가 스스로 파악 할 때까지 얼마나 시간이 걸리든 놔둔다고 하기도 하고 어떤 선생님들은 풀이를 보여주고 다시 풀게 하기도 한다. 당연히 이런 방법은 아이 들마다 다르게 적용되어야만 한다. 어떠한 방식이든 개개인의 관점에서는 다 좋은 방법일 것이다. 다들 읽기를 중요시 하고 의미를 파악하여 문제를 풀어야 한다는 것에는 동일하다. 단지 나는 어떠한 선택을 할 것이냐는 학생의 상태와 비용 대 효과의 문제라고 생각한다. 초등학교처럼 학습량이 많지 않은 경우라면 당연히 아이가 할 수 있는 만큼 시간을 주어도 된다. 하지만 학년이 올라 갈수록 학습량이 많아진다면 당연히 문제를 풀 때 한 없이 시간을 줄 수 없는 노릇이다. 다른 공부를 해야 하기 때문에... 이때는 선생님들의 지도가 필요하다. 틀리는 것을 싫어하는 아이들또 한가지의 문제점은 대부분의 아이들이 연습할 때 틀리는 것을 싫어한다는 점이다. 부끄러워하고 심지어 학원에서나 학교에서 틀린 것(학교 중간고사 기말고사 시험지나 모의고사 시험지를 제외하고)을 부모님이 체크하고 혼내기까지 한다. 시험이 아닌 공부를 하는데 틀린 것은 오히려 자신의 약점을 판단하는데 아주 좋은 기준이 되고 앞으로 틀릴 것을 알려주는 좋은 지표인데 말이다. 위대한 실패라는 말도 있지 않은가. 오답의 중요성은 말로 할 필요도 없다. 아이들이 서술형 풀이를 한 것을 보고 있으면 아이들의 현 상황을 잘 알게 된다.수학 학원을 다니는 대부분의 학생들은 수학 공부를 잘 하기를 원한다. 그렇다면 수학 학원을 다니는 학생들은 현재 나오는 자신의 성적에 만족할까? 부모님은 만족할까? 당연히 아니다. 그렇기에 학생은 더 많은 시간을 학원에서 보내야 하고, 학원에서는 더 많은 시간을 아이들 잡아두기도 한다. 그리고 부모님들은 많은 시간을 학원에서 보내는 것에 대하여 너무도 당연하게 여기고 있다. 물론 이러한 방법이 틀린 방법이라는 건 아니다. 강사 생활을 하면서 수 많은 학생들을 보면서 느낀 점은 공부에는 이렇게 해야 한다는 정답이 없다는 것이다. 학생들의 경우의 수가 너무 많아 각각의 특성을 파악하고 거기에 맞는 커리큘럼을 만들어 주는데에도 시간이 걸린다. 우리의 아이가 어떤 상태인가 하는 것을 판단하는 것은 굉장히 어렵고 중요한 일이다. 수학 공부는 잘하긴 어려워도 못하긴 참 쉽다.앞서 말한 다섯가지에 내가 어디에 해당하는지 생각해 보고 자신의 상태를 주위에 선생님들에게 빨리 찾아가 말하고 필요한 처방을 받는 게 중요하다. 환자가 자신이 아픈 걸 굳이 숨길 필요는 없다.그래도 한가지 꼭 알아두셔야 할 부분은 아이가 어떤 상태인지 개의치 않고 무조건 많이 풀고 오래동안 남겨서 시키는 그런 곳을 보내는 것은 다시 고려해 볼 필요가 있다. 숨돌릴 틈도 없이 만들면 수포자가 될 확률이 높다는 것이다.일산 후곡 수박 수학학원 박형록 원장031-922-0979 2020-10-23
- 수포자가 되는 학생들의 수학공부 유형 대학입시에서 수학의 중요성이야 설명할 필요가 없을 것이다. 초등학교때부터 시간과 돈을 엄청나게 투자 하지만 결과에 만족하는 경우는 사실 많지 않다고 볼 수 있다. 오랫동안 수학을 지도한 경험자로서 본다면 수학에서 좋은 성과를 얻지 못하는 유형의 학생들이 있다.첫 번째- 연산연습을 하지 않는 것!수학 공부를 하는데 있어서 가장 중요한 첫 번째 능력이 연산 능력이다. 운동을 할 때도 기초체력이 중요한 것처럼 수학도 기초 체력이 중요한데 그것이 바로 연산 능력이다. 그런데 그 연산 능력을 기르는 작업이 너무 힘들고 지루하다. 반복된 계산을 하여야 하니 더 그렇다. 하지만 꼭 필요한 준비 중에 하나이다.두 번째- 해설지를 자주 보는 습관!문제풀이를 할 때 어려운 부분, 막히는 부분이 나오면 바로 설명을 듣거나 해답을 보는 것이다. 항상 바쁜 아이들이 있다. 대부분은 지금 이걸 빨리 풀고 쉬고 싶다는 마음이겠지만...세 번째- 문제를 꼼꼼하게 읽지 않는다!두 번째의 습관 덕분에 문제를 잘 읽지 않는다. 이런 습관은 학년이 올라 갈수록 난이도 높은 문제에 대한 이해도가 떨어지는 결과를 초래한다. 흔히들 이런 상태의 아이들이 하는 말이 있다. “전 응용문제가 어려워요!” 학원에서 꽤나 많은 숙제를 주어도 다하는 아이들 중에서 혹시 학원서는 잘하는데 시험 보면 영 아니라는 생각이 들면 한 번 쯤 아이가 습관적인 문제풀이를 하는 것은 아닌지 볼 필요가 있다.네 번째- 틀린 문제를 다시 보지 않는다!당연히 틀린 문제를 다시 풀어봐야 하지만 선생님의 설명만 듣고 다시는 보지 않는 학생이 꽤 많다. 공부에서 복습은 굉장히 중요한 요소 인데도, 자신이 틀리거나 자신의 약점을 그대로 나둬 버린다. 사실 이건 공부 시스템의 문제일 가능성도 있다. 학원에서는 끊임없이 과제를 주고 그걸 풀어야 하는데 문제를 다시 볼 시간이 얼마나 있을까? 과제를 안주니 공부를 안 한다는 말도 일리는 있다. 학생들 중 공부를 재미있어 하는 아이들이 도대체 몇이나 있을까? 결국 이는 학원이나 학교에서 어떻게 학생에 대한 계획을 세워 주는가의 문제일 뿐이다.다섯 번째- 과도한 선행 학습!선행이야 많이 할수록 좋겠지만 학생마다 각각의 선행 소화량은 개개인의 능력이나 상황에 따라 어느 정도는 정해져 있다. 한 번쯤은 현재 자신의 수학 실력을 생각해보고 그것이 선행을 하지 않아서 인지 아님 지금 현재에 충실하지 않아서인지 생각해볼 필요가 있다. 사실 중학교에서 해야 할 양이 많지 않아 조금만 노력하면 진도를 끝내는 것은 일도 아니다. 그러다 보니 아이들의 선행 학습이 그 결과인데 몇 명에 맞춰진 선행은 결국 공부에 대한 아이들의 피로도로 나타나는 듯하다.(드디어 고등학교 1학기 중간고사 이후에 수포자들이 우후죽순처럼 나타난다.) 고등학교에서 수학 못 하는 학생들이 하는 공통된 말이 하나 있다. “ 샘 그래도 저 중학교 때는 수학 좀 했어요”작은 양의 진도와 징글징글 할 정도로 수학 문제만 풀게 되면 비슷한 문제가 시험에 나오는 건 당연한 것이고 그러니 생각 안하고 문제만 풀어도 답이 나온다. 수학을 잘 한 게 아니라 암기를 잘 한 거다.일산 후곡 秀박수학 박형록 원장031-915-0979 2020-10-16
- 이러닝 활용한 100% 학습 관리 강의 시간에는 문제를 잘 풀어개념 설명을 하고 관련된 문제를 풀어주고 나서 비슷한 유형의 예제를 제시하면 대부분의 학생들이 잘 풉니다. 중간에 막히더라도 간단한 도움을 주면 금방 정답에 도달합니다. 그런데 며칠이 지나 학원에 다시 오면 상당수의 내용을 잊어먹은 상태입니다. 토일반 학생들의 경우에는 5일이 지나 학원에 다시 오기 때문에 망각의 정도가 더 심합니다.에빙하우스의 망각곡선독일 학자 헤르만 에빙하우스의 연구에 따르면 새로 알게된 내용은 몇 시간이 지나면 잊기 시작해서 하루가 지나면 절반밖에 남아있지 않는다고 합니다. 며칠이 지난 후 기억이 안나는 것은 머리가 나쁘기 때문이 아니라는 겁니다. 따라서 5일이 지난 후 학원에 와서 그 전 주에 배운 것을 그대로 풀 수 있다는 것은 불가능한 일이겠지요.망각 주기 안에 “복습”이 필수한번 풀었던 문제를 다음에 또 풀 수 있으려면 잊기 전에 복습을 해야 합니다. 그러면 기억 주기가 길어집니다. 길어진 기억 주기 안에 재차 복습을 하는 식으로 반복합니다. 결국 한 달 이상의 장기 기억이 가능해 집니다. 이렇게 되면 두 달 간격으로 치러지는 학교 내신 시험에서 좋은 성적을 얻을 수 있습니다. 이러한 과정을 좀더 강화하면 수능 시험을 잘 볼 수 있는 준영구적인 기억이 가능해집니다.학원에 남아서 과제를 끝내고 갈 수 있다면강의가 끝난 후 그 날 배운 것은 과제를 통한 복습을 완료한 후 귀가하는 것이 좋습니다. 또 틀린 것은 오답노트까지 완료하고요. 하지만 현실은 만만치 않습니다. 학교나 다른 학원에서 수업을 하고 와서 2,3시간 강의를 수강하고 나면 대부분의 학생들은 파김치가 됩니다. 더군다나 토일반 학생들은 빈틈없이 짜여진 학원 일정들 때문에 학원에 남아 자습할 시간이 없습니다.학원에 오기 직전에야 과제를 풀어그 날 배운 건 그날 복습하는 습관이 들지 않았으므로 며칠이 지나 다시 학원에 오기 직전에야 비로소 과제를 시작합니다. 이미 거의 다 잊은 상태이니 제대로 복습이 될 리가 없지요. 학원에 열심히 다니는데도 불구하고 성적이 안 나오는 이유가 바로 이것입니다. 이 점을 고치려고 하지 않고, 수학 머리가 없다느니 문과 체질이라느니 선행이 부족하다느니 하면서 엉뚱한 데서 원인을 찾아 헤매고 있는 겁니다.학원에 오기 전에 숙제 검사 끝내수학 이러닝(e-Learning)을 활용하면 해결책을 찾을 수 있습니다. 학생들은 정해진 시간까지 과제를 완료하여 답을 입력해야 합니다. 답안 입력 시간은 1,2분이면 충분하므로 전혀 번거롭지 않습니다. 직접 대면하지 않고도 원격으로 학습 여부를 관리할 수 있는 것입니다. 토일반의 경우 화요일까지 숙제, 목요일까지 숙제 등으로 세분화된 과제 부여가 가능합니다.틀린 문제에 대한 상세한 동영상 강의학생 한 명씩 옆에 앉혀 놓고 과제를 꼼꼼이 채점하여 틀린 것을 일일이 설명해주는 것이 가장 좋을 것입니다. 하지만 개인 과외가 아닌 이상 현실적인 제약이 따를 수밖에 없습니다. 그런데 이러닝 시스템을 도입하면 이것도 가능해집니다. 과제를 입력하면 자동채점이 됩니다. 강사는 학생별로 각각 틀린 문제들이 무언지 알 수 있습니다. 학생은 본인이 틀린 문제에 대해 상세한 동영상 해설을 들을 수 있습니다.무한정 자동 생성되는 오답노트한 번 틀린 것은 또 틀립니다. 그래서 학습 관리에서 가장 중요한 부분이 오답노트 작성입니다. 그런데 문제를 일일이 베껴 쓰거나 복사해서 오려 붙이는 등의 작업은 많은 시간과 노력을 필요로 합니다. 따라서 처음엔 의욕적으로 시작했다가 점차 흐지부지 되고 맙니다. 그런데 이러닝 시스템에서는 한 번의 버튼 조작으로 오답노트를 작성할 수 있습니다. 그날 그날의 오답노트는 물론이고, 일주일이나 한 달 동안 누적된 오답노트 작성이 가능하므로 100% 완벽한 학습 관리를 할 수 있습니다.대면강의와 이러닝의 환상적 조화대면강의와 이러닝의 환상적 조화를 위한 기술적 조건은 이미 충분합니다. 넘쳐나는 동영상 강의와 자료, 정보들을 취합하여 학생에게 꼭 맞는 효율적인 방법을 제시해줄 수 있으면 됩니다. 이를 위해서는 경험많은 노련한 코치가 꼭 필요합니다.일산 후곡 수학전문학원 베리타스최재용 원장031-911-0796서울대 졸업28년간 대입수학 지도17년간 베리타스 원장 2020-10-08
- 고2 수학공부법 - 수학Ⅱ로 최상위권이 되어보자 고등학교 수학에서 가장 중요한 과목이 미적분이라는 데에는 아무도 이의를 제기할 수 없다. 워낙 공부해야 할 게 많다보니 고등 교육과정에서는 미적분학을 둘로 쪼개놓았다. 다항함수의 미적분만을 다루는 ‘수학Ⅱ'와 초월함수의 미적분까지 다루는 ’미적분‘으로 나뉘어져 있다.미적분을 배우기 전엔 지레 겁부터 먹게 된다. ‘미분’과 ‘적분’ 이라는 이름만 들어도 무시무시하기 때문이다. 하지만 조금만 공부해보면 생각보다는 할 만 하다라는 느낌이 들게 된다. 고등학교 땐 미적분의 공식을 외워서 계산만 잘해도 많은 문제를 풀 수 있기 때문이다. 입실론을 이용한 엄밀한 정의와 증명은 대학교 때 배우니 한시름 놓아도 된다. 하지만 계산 문제도 충분히 연습하지 않으면 어려울 수 있다. 또한 시험은 상대평가이므로 우열을 가리기 위한 킬러문제들이 도사리고 있다.미적분 공부의 시작은 고 2때 배우는 ‘수학Ⅱ’ 과목이다. 추석이 끝나고 중간고사가 코앞인 고등학교 2학년 학생들은 지금 한창 미분을 하고 있다. 수학Ⅱ는 내년 수능에도 나오는 과목인 만큼 지금 첫 단추를 잘 꿰어야 한다. 2학년 학생들이 수학Ⅱ 시험을 잘 보려면 어떻게 공부해야 할까?개념은 누적되는 것이다수학Ⅱ 과목의 가장 큰 특징 중 하나는 개념이 누적된다는 것이다. 첫 단원인 ‘함수의 극한’을 알아야 다음 단원인 ‘함수의 연속’을 이해할 수 있다. 극한과 연속을 알아야 미분을 정의할 수 있다. 미분이 뭔지 알아야 적분을 할 수 있다. 게다가 수학Ⅱ는 함수를 다루는 과목이므로 고1 과정인 수학 상, 하를 정확히 알고 있어야 한다. 특히 ‘수학 하’에서 함수의 정의 및 그래프 그리기 능력을 기르지 않았다면 아무 것도 할 수가 없다. 안타깝지만 고1과정과 병행해서 공부해야 한다.고1과정이 잘 되어 있다면 본격적으로 수학Ⅱ 내용을 공부할 수 있다. 중간고사 범위에서 제일 중요한 것은 ‘미분가능성’이다. 미분가능을 판단할 땐 정의를 이용하거나 몇 가지 기술을 사용한다. 서술형까지 대비하는 차원에서 정의를 이용하는 방법을 정확히 쓸 줄 알아야 한다. 그 외에도 중간값 정리, 평균값 정리의 정확한 내용을 알고 자유자재로 다룰 줄 알아야 한다. 각 정리들의 조건을 정확히 숙지하자. 그리고 왜 그러한 정리가 필요한지 고민해보자.개념은 문제를 풀 때 완성된다미분을 처음 배울 때는 ox문제를 정확히 풀 줄 알아야 한다. 간단한 문제인 ‘함수 f(x)가 x=a에서 미분가능하면 연속인가?’ 라는 물음부터 답할 줄 알아야 한다. (정답은 당연이 ‘참’이다.) 이러한 기초적인 질문에 답을 할 수 있더라도 방심해선 안 된다. 조금만 꼬아서 명제를 만들면 여지없이 틀리게 된다. 문제를 하나 내보겠다.‘정의역이 실수집합인 함수 f(x)에 대하여, x가 0으로 갈 때, f(x)/x 의 값이 존재한다면 f'(0)이 존재한다.’정답은 ‘아니다’ 이다. x=0 에서는 1의 값을 갖고 그 외의 x에 대해서는 x를 함숫값으로 갖는 함수를 생각하면 된다.개념서를 백날 읽어도 개념을 제대로 적용하기란 쉽지 않다. 어느 정도 개념이 잡혔다는 생각이 들면 다양하고 많은 문제들을 풀어봐야 한다. 그리고 시행착오를 겪어야 한다. 특히 합성함수가 등장하는 극한 및 연속, 그리고 미분가능성과 관련해서는 나올 수 있는 모든 ox문제들을 꿰고 있어야 한다. ‘내가 모르면 남들도 모르고, 남이 몰라도 나는 모든 명제 및 증명법, 반례들까지 알고 있자’ 라는 마인드로 임해야 한다. 개념은 문제를 풀 때 완성이 됨을 명심해라.미분 근육을 단련시켜라시험은 보통 55분 내외로 시행된다. 그 안에 20문제 정도를 풀어야 한다. 평균적으론 한 문제당 3분을 넘기면 안 되는 것이다. 좋은 점수를 얻으려면 문제를 많이 풀어봐야 한다. 미분을 할 줄 알아도 빠른 시간 안에 계산하려면 숙달된 계산 연습이 필요하다. 머리가 좋지만 연습을 많이 안 해서 시험을 망친 아이들을 정말 많이 보아 왔다. 많은 문제를 풀어보는 것은 분명이 시험결과에 영향을 준다. 1시간이 안 되는 시간 안에 주어진 문제를 잘 풀려면 쉬운 문제들에서 시간을 절약해야 한다. 그래야 어려운 문제에서 충분히 고민하고 풀어낼 수 있게 된다. 난이도 중하의 문제들을 많이 풀어서 문제 푸는 폼을 길러야 함을 명심하자.수학Ⅱ의 정점에 올라서자앞에서 언급하지 않았지만, 가장 중요한 공부법은 당연히 ‘고민하기’이다. 미분의 정의를 곱씹으면서 문제마다 출제자의 의도를 파악해야 한다. 그리고 교육과정을 벗어나더라도 문제를 쉽게 푸는 방법이 더 있을지 고민해 보는 것이 좋다. 문제를 내려다보는 연습을 하는 것이다. 안타깝게도 혼자만의 노력으론 한계가 있다. 요즘은 수학Ⅱ 문제풀이에 관한 기상천외한 스킬들이 많이 개발되어 있다. 빼기함수, 삼차함수의 비율관계, 변곡점과 대칭성 등은 전 국민이 다 아는 상식이 되어 버렸다. 따라서 주변의 고수들에게 적절한 도움을 받으며 다양한 풀이 기술을 배우는 것이 분명 도움이 된다.수학Ⅱ 시험이 얼마 남지 않았다. 체계적으로 계획을 세워서 할 수 있는 것들은 다 해보자. 지금 잘 공부하면 2학기 내신 및 수능까지 한 방에 잡을 수 있음을 기억하자. 남은 시간 파이팅 하길 바란다.일산 후곡 아이디수학학원 전인덕 원장031-919-8912 2020-10-08
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