공식을 외워라

“ 수학은 이해를 해야지 외우면 어떡해요” 이런 말들로 자신의 게으름과 타협해서는 안된다. ABC를 알아야 영어를 읽을 수 있듯이 구구단을 외워야만 곱셈, 나눗셈 계산을 한다. 마찬 가지로 중, 고등학교에서 필수공식들은 문제를 풀기 위해서 반드시 외우고 있어야 하는 “구구단”과 다름없다. 수학을 여러 학생들에게 가르쳐 봤지만 수학을 못하는 학생들의 공통점은 단 한 가지 공식을 못 외우기 힘들어 한다는 점이다.

공식은 반복해서 외워야한다. 잊어버렸다. 생각되면 다시 찾아보고 외워야 한다.

당장 눈앞에 있는 문제는 못 풀어도 좋으니까 그 문제에 나왔던 공식은 외우고 넘어 가야 한다.

수학공식들은 다른 교과의 암기 사항보다 쉽게 잊어버리고 잘외워 지지 않는다.

그 이유는 두가지 이다.

첫째는 무의미 문자이다. 즉 BOY 라는 단어는 잘외워지지만 YKL 같은 단어는 잘 외워 지지 않는 이치와 같다. 두 번째는 길다는 것이다.

그렇다면 외우는 좋은 방법은 없을까? “나만의 말하기 방법으로” 이빨이 나쁜 사람은 딱딱한 음식을 갈아서 먹거나 부드럽게 해서 먹는다. 마찬가지로 딱딱한 언어로 쓰여진 수학공식을 내가 흡수하기 쉽게 바꿔서 머릿속에 넣는 것이 최선의 방법이다.

이차방정식의 근과 계수의 관계를 보자.

이차방정식 ax²+ bx + c = 0에서 두근은 (알파)와 (베타)라고 할 때 (알파) +(베타) = -b/a 이고 (알파) * (베타) = c/a 이다. 이것을 이대로 외우지 말고

“두 근의 합은 일차항계수 나누기 이차항의계수에 마이너스 붙은 것 이고”

“두 근의 곱은 상수항 나누기 이차항계수” 이다.

이렇듯 비슷하게 최대한 한글을 많이 섞어서 a,b,알파,베타, 이런 문자들을 최대한 없애서 외우면 잘 외워지고 문제 풀이에도 도움이 된다.

한편, 그 공식이 왜 그렇게 되는가에 대한 것, 즉 증명을 꼼꼼이 챙기는 것도 공식과 친해지는데 도움이 된다.

사실 공식은 하늘에서 뚝 떨어진 것처럼 느껴질 때가 많다. 이차방정식의 근의 공식이 아주 복잡하고 외우기도 어렵다. 하지만 그 근의 공식이 결국은 이차방정식의 완전제곱식을 고쳐서 차근차근 풀어보면 쉽게 유도 할 수 있다.

만약 갑자기 근의 공식이 생각나지 않는다면 그것이 완전제곱식으로 변형해서 유도 하더라는 사실만 기억 하고 있어도 약간의 계산으로 근의 공식을 찾아 낼 수 있다.

이렇게 자신이 직접 공식을 유도해 내는 경험을 하면, 그 공식은 자신에게 아주 특별하게 다가오고 좀더 기억에 남을 것이다.

예제 문제, 반드시 풀 수 있어야

예제는 한마디로 말하면 “ 공식을 그대로 적용해서 풀 수 있는 문제 ”를 일컫는다.

다음 과 같은 문제 들이다.

예제1 ) 두근이 3, -2 인 이차방정식 5x²+ ax + b = 0 에서 a,b의 값은?

예제2 ) 직각삼각형의 빗변이 아닌 두변의 길이가 5,12 일 때 빗변의 길이는?

이와 같이 공식하나 또는 두 개 정도를 이용해서 이 문제를 푼다. 첫번째는 근과 계 수의 관계를 이용 하는 것이고, 두 번째는 피타고라스를 이용 하는 문제이다. 예제보다 수준이 높아지면 공식을 한 개 이상 이용하게 되고, 단원을 넘나드는 융합문제가 된다. 하여튼 풀이가 복잡한 융합문제라도 문제를 조각조각 내 보면, 결국은 예제 수준의 문제가 되기 때문에 예제를 완벽하게 풀 수 있어야 한다.

예제를 통하여 연습하여야 할 것들은..

1) 공식을 양방향으로 자유롭게 활용 할 수 있어야 한다.

예를 들어 3x - 2 = 16 이런 문제가 있으면 x = 6이라고 답을 낼 수 있다.

이제 똑같은 문제인데 ax - 2 = 16 의 해가 6이다. a의 값을 구하여라.

이런 문제가 “양쪽 방향” 의 한 예이다. 똑같은 문제라도 보통 공식을 한쪽 방 향으로 외우기 때문에 방향을 바꿔서 문제를 출제 한다면 익숙하지 않아서 문제 를 푸는데 많은 어려움을 격는다. 이런점들은 많은 예제를 통해 극복해야 한다.

2) “발견법” 을 연습하라.

이렇게 해서 예제를 완벽하게 풀수 있으면 되는가? 이정도 수준이면 창의력문제나 심화 경시문제를 어느 정도는 풀수 있을것이다. 하지만 최대고민은 “ 문제를 봤 을때 무슨 공식을 이용해서 풀어야 하는것인가 ?” 가 떠오르지 않는 다는것이다. 다시말해서 “손도 못 대는 문제” 이다.

그러나 이런 학생들도 손도 못대는 문제의 답안지를 보면 술술 이해가 된다는 것이다. 당연히 실력은 갖추고 있기에 해답을 보면 이해가 잘 된다. 하지만 비슷한 문제를 다음에 풀면 또 여전히 손도 못 된다는 것이다. 많은 학생들이 이런 경험을 하고 있다. 결국 문제를 보고, 어떤 공식을 어떻게 이용해서 풀어야 할지, 어떻게 시작해야 할지를 ‘발견’해야 한다.

이런 발견법이 머릿속에서 정리되어 있어야 수학에서 좋은 점수를 얻을 수 있다.

예제를 이용한 발견법훈련은 각 예제를 풀 때 마다 “왜 하필 그 공식을 이용하는 이유가 무엇인가” 에 대해 스스로 정당화 시키는 훈련이 필요하다.

네모수학학원

김태수 원장

오답노트를 활용하라.

수학에서 틀린 문제는 지금 자기것으로 확실하게 만들어 놓지 않는다면 다음번에도 유사하거나 같은 문제가 나온다면 해결하지 못한다. 이런 문제의 해결을 위해 반드시 오답노트를 작성하는 습관을 가져야 한다.

예를 들어서

1. 처음본 문제(개념부족, 지식부족)라서,

2. 문제의 의도를 잘못 이해(해석력 부족)해서,

3. 도표/공식을 제대로 이해하지 못해서(이해력 부족)

4. 건성으로 읽어서(실수/착각)

문제를 틀렸다면 오답노트를 작성하고 이를 통해 자신의 취약점을 찾는다면 그것만으로도 의미가 있다.

그렇다면 어떻게 만드는 오답노트가 좋을까?

1. 왜 틀렸는지를 찾아내고 명시한다(문제 이해 능력 여부, 지식 부족, 그림(사진·도형·도표·지도 포함) 이해 부족, 원리 및 공식 적용 오류, 개념 부족, 혹은 긴장감에서 비롯된 실수와 속단 등)

2. 틀릴때 상황과 나름대로의 해결 방향도 정리하면 좋다.

( ‘이런 문제는 보기부터 읽는게 좋음’, ‘지문을 똑바로 읽어야’ 등)

3. 답만 쓰는 것보다는 풀이과정을 정리하는게 좋다

(답은 별도로, 아니면 제일 밑에)

4. 틀린 문제 뿐만 아니라 찍어서 맞춘 문제도 기록한다.

5. 보기 좋고, 한눈에 볼 수 있도록 정리한다.