교육기고

수학공부의 정석 - 본질에 충실한 수학 공부

지역내일 2019-05-22

성경 구약에 보면 이런 구절이 등장한다. 누구는 누구를 낳고 누구는 누구를 낳고…. 현대적인 관점에서 보면 제대로 된 단락도 없는 만연체이다. 리그베다(Rigveda)가 그렇고 천자문을 외우던 우리 선조들도 유사하다. 수학에서도 이런 장면을 찾아볼 수 있다. 이집트의 파피루스 문서를 비롯해 전통 수학의 문헌들에는 말로 기술된 방정식을 쉽게 찾아볼 수 있다.

고대 그리스 기하학은 대상을 설명하는 방식 자체를 바꾸었다. 공리가 있고 여기서 대상 하나를 정의하고 증명해 가는 과정이다. 엄밀해지기는 했지만 설명은 매우 복잡하다. 중학교 기하파트가 많은 집중력을 요구하는 이유가 여기에 있다. 기호와 표 그래프가 등장하면서 인간이 대상을 포현하는 방식에 획기적인 발전이 일어났다. 가장 중요한 것은 기호와 표, 그래프가 등장한 것이 얼마 되지 않았다는 점이다. 기호는 15세기 비에트, 표는 나이팅게일과 연관되어 있고 그래프도 17세기 데카르트와 페르마에 뿌리를 둔다.

1. 수학도 암기과목이다?
숙련과 암기가 갖는 의미. 돼지 저금통을 갈랐다. 수북이 동전이 쏟아진다. 100원짜리 동전은 모두 몇 개일까? 누구라도 10개씩 묶어 셈을 한다. 7개씩 묶어서 셈을 할 수도 있다. 우리가 10개씩 묶어 셈을 하는 관습은 손가락이 10개있기 때문이다. 7개씩 4묶음이 있고 동전 4개가 있다면 100원짜리 동전은 총 74+4=32개이다.

이 문제를 해결하기 위해 필요한 건 구구단이다. 지금은 모든 학생들에게 구구단을 강제로 외우게 하여 대중화했다. 마치 천연두를 퇴치화한 것처럼 신속하고 단호하게 진행되었다. 구구단의 개념이 없다면 74+4=32를 계산할 수 없다. 아니면 하나씩 세게 될 것이다. 이 차이는 단순한 양적 차이가 아니라 지식의 레벨을 결정하는 근본적인 차이이다.

이것이 가능하려면 강제로 외울 필요성이 있다. 덧셈을 거듭하면 곱셈이 나온다가 아니라 곱셈이라는 개념을 외우고 숙련하여 세상을 그런 시각에서 재구성할 수 있어야만 동전 더미는 새롭게 보인다. 암기와 숙련이 없으면 지적 도약도 없다.

2. 개념에 대한 이해 - 백지테스트로 확인
개념이 정리되지 않은 상태에서 많은 문제를 풀어본다고 해도 이것은 사상누각(砂上樓閣)에 불과하다. 그러므로 개념이나 원리 등을 정리해 두는 것은 무엇보다도 우선시 되어야 한다. 교과서-숨마쿰라우데와 같은 교재로 개념정리를 한 후 본인이 알고 있는 개념을 백지에 확인하는 작업이 필요하다. 자주 사용하는 기초적인 개념이나 원리를 제시하는 것으로 그치지 않고 각각의 공식을 증명해둠으로써 쉽게 이해하고 오래 기억할 수 있어야 한다. 주어진 명제의 가정에서 결론을 이끌어 내는 유도과정을 직접 해 보는 경험을 통해서 여러 가지 증명 문제, 또는 서술형 문제에 대처하는 힘을 키울 수 있다. 이 부분에서 논리적으로 사고하는 힘을 향상 시키는데 중요한 역할을 한다.

3. 유형분석
서술형 주관식에서는 그 풀이 과정을 논리적으로 요약정리하며 서술해야 하는 것이 가장 중요하다. 이 단계에서는 서술형 답안 작성에 익숙해질 수 있도록 문제 분석 및 모범답안, 그에 따른 점수를 두어 꼭 기재해야 하는 요인들을 분석해 놓을 필요가 있다.

4. 기출문제 풀기
지피지기(知彼知)면 백전백승(百戰百勝)이라는 말이 있다. 시험을 준비하는 학생들에게 있어서 무엇보다 중요한 것은 그동안의 기출문제를 접하고 그 유형을 파악해 두는 것이다. 실제 시험에 임했을 때, 만약 당황하거나 긴장한다면 그나마 알고 있는 지식마저도 제대로 펼칠 수 없을 뿐만 아니라 최상의 결과를 기대하기란 힘들 것이다. 따라서 이러한 부분을 부족함 없이 해결하기 위하여 학교별 기출문제를 시험시간과 동일한 조건으로 여러 번 연습해 놓는 것이 중요하다.

중간고사 성적이 좋다고 해서 기말고사 성적을 보장할 수 없고, 수능 모의고사 결과가 1등급이라고 해서 학교 내신점수가 우수하다고 말하기 어렵다. 어떤 시험에도 흔들림 없는 수학 성적은 오랜 인고의 시간과 힘든 과정을 거쳐 이뤄져야 하기 때문에 몇 달 학원 수강을 한다고 해서 실력 향상이 되기는 어렵다. 각자 학생의 현재 역량에 맞춰 위에 조언한대로 꾸준한 시간 투자와 성실함만이 그대의 단단한 실력으로 만들어 질 것이다.


김지선 원장
그수학학원

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