'#수학' 검색결과 총 1,108개의 기사가 있습니다.
- 수학 공부 제대로 하고 있나? 고등학교에 올라와서 일반적으로 가장 많이 떨어지는 과목.공부를 해도 점수가 쉽게 올라가지 않는 과목으로 뽑히는 수학공부 본인은 제대로 하고 있는지 짧게는 1년, 길게는 2-3년 남은 학생으로서 본인의 공부법을 한 번 되돌아 볼 필요가 있다. 모든 이에게 이 방법으로 했을 때 무조건 100점을 맞는다 라고는 말을 할 수는 없지만 적어도 제시 하는 방법을 따라 했을 때 도움이 될 것임은 분명하다.1. 나만의 개념노트를 만들자.문제만 많이 푸는 학습방법은 한계가 있다. 즉 완벽한 개념이 없이 많은 양의 문제만 푸는 것은 어느 정도는 성적 향상에 도움이 되지만 장기적으로 봤을 때는 도움이 되지 않는다. 따라서 본인 스스로 개념을 정리 할 수 있는 개념노트를 만들어 보는 것이다. 학교를 들어가면 누구에게나 나눠주는 교과서나 시중에서 파는 기본 개념서는 누구가 가지고 있을 것이다. 이를 가지고 본인이 문제를 풀면서 잘못 적용시킨 개념, 또는 완전히 잘못 알고 있는 개념을 기준으로 단원별로 또는 과목 별로 본인만의 개념노트를 만드는 것이다. 개념노트는 수시로 부족한 부분은 채워 넣어야 한다. 그러면서 문제를 틀리거나 해결 하려고 할 때마다 본인의 개념노트를 보는 것이 수학성적을 올리는 기본이라 할 수 있다.2. 수능 기출문제 분석하고 오답 정리를 하여라!수능이 가까워 올수록 “선생님 시중에 나와 있는 유명한 사설모의고사, 실전모의고사 저희는 안 풀어보나요? 다른 친구들은 다 풀고 있는데..” 라는 질문을 자주 받는다.간단한 비유로 축구 선수들도 공을 차려면 수많은 연습이 필요하고, 야구 선수들도 역시 좋은 공을 치기 위해 또는 던지기 위해서 수많은 연습을 한다. 수능은 사설 기관에서 출제하는 것이 아니므로, 철저한 수능 기출문제 분석을 우선으로 해야한다. 철저한 기출문제 분석이 있은 뒤에 사설모의고사나 실전모의고사 같은 난이도가 있는 문제를 봤을 때 비로소 의미가 있다.흔히 학생에게 ‘수능 기출문제를 분석해라. 오답 정리해라’ 라고 하면 다시 똑같은 문제를 풀어보는 정도에서 그치는 경우들이 많다. 왜 이런 문제가 나왔고 출제자의 출제의도를 파악하는 것이 우선이며. 그 내용이나 개념을 분석할 때 앞서 이야기한 개념노트를 활용하는 것이다. 수능 기출문제는 풀어보는 것이 아니라 분석을 해야만 하는 것이다.수능 기출문제를 분석하며 수능 또는 모의고사에 패턴이 있다는 것을 본인 스스로 깨닫고 본인이 알고 있는 개념을 어떻게 적용 시킬 것인지를 아는 것이 굉장히 중요하다.3. 본인 스스로 하는 시간을 늘려라!요즘에 수많은 학원과 인터넷 강의 속에서 공부를 잘 할 수 있는 조건은 갖춰져 있다. 하지만 내가 하지 않는데 무슨 소용인가. 인터넷 강의와 학원은 공부를 잘 할 수 있도록 도와주는 도구이지, 본인의 시험을 대신 봐주는 곳이 아니다. 학생들에게 항상 이야기하지만 학원 선생님이 수업하는 것은 선생님의 지식이지 학생들의 지식이 아니다. 학생들은 도구를 잘 이용을 해서 본인의 실력을 발전 시켜야 한다.‘요즘 유명한 강의를 들으니까, 일타 강사의 강의를 듣고 있으니 성적이 올라 갈 것이다?’ 천만의 말이다. 학생들의 성적을 80% 올려주는 선생님은 없다. 본인이 스스로 만들어 가는 것이다. 실제로 러닝 피라미드 표를 살펴보면 단순히 학습내용을 듣고, 읽는 것으로는 10% 밖에 기억하지 못하고, 시청각 자료를 이용해 학습하는 것도 기억을 20~30% 정도만 끌어올릴 수 있다. 즉 강의에서 얻을 수 있는 효율은 실제 공부 효율에 일부 밖에 되지 않는다. 수학 학습 효율을 높이려면 강의 중심의 수동적인 학습이 아니라, 학생 본인 중심의 수업이 이루어 질 때 효율이 극대화 된다고 볼 수 있다. 배운 내용을 가지고 본인 스스로 다시 보면서 공부를 해보고 실제로 해보는 것이 성적향상의 길이 될 것이다.4. 복습을 해라가장 중요한 공부 방법이며, 모두가 알고 있지만 실천으로 옮기지 못하는 것이 복습이다. 그날 배운 내용, 어려운 문제, 질문했던 것들을 자기 전에 반드시 복습하는 것이다.‘이미 들은 내용이 기억에 있는데 왜 굳이 하냐?’ 라고 하는 학생이 더러 있다. 이 학생은 절대로 시험에서 고득점을 맞을 수 없다. 사람의 기억력은 시간이 갈수록 희미해진다. 따라서 복습을 통해 본인이 놓치고 있는 부분에 대한 개념을 다시 확립을 하고 스스로 분석하는 시간을 늘림으로써 학생 본인 중심의 수업이 이뤄지도록 해야 된다는 것이다.학업 성적을 올리기 위해서는 본인 스스로 학습이 이루어져야 하며 수동적인 태도로는 절대로 좋은 결과물이 나올 수 없다.당장 오늘부터 배운 내용에 대한 복습을 시작하라! 또 스스로 하는 시간을 늘리도록 하라!매쓰플러스수학학원 고등부김국환 팀장 2017-12-22
- 학종시대, 호모 프로젝티쿠스(Homo projecticus)의 본성을 깨우자 장면 하나. 최근 객관이라는 공정함이 있는 수능중심 체제로 회귀하자는 목소리가 작지 않다. 하지만 상황은 간단치 않다. 이웃한 일본이 2020년도부터 우리나라 수능에 해당하는 객관식 평가방식의 센터시험을 폐지하는 교육혁명을 시도하고 있다. 일본도 우리 못지않은 학벌 중시 사회이고, 평가의 객관성이 중요할 수밖에 없다. 그럼에도 일본을 변화로 미는 힘은 4차 산업혁명의 압력이다. 4차 산업혁명의 총아중 하나인 인공지능의 등장에 맞서 인간의 영역을 지키려면, 혼란이 있더라도 평가방식을 바꾸고 거기에 걸맞은 교육의 변화를 추구해야 한다는 것이 일본 문부성의 입장이다. 그 변화 앞에 놓인 것은 일본만이 아니다.장면 둘. 지난 9월부터 최근까지 중계동 지역에서 고교진학설명회가 문전성시였다. 학종이 전면화되며 그 어느 때보다 고교선택의 문제에 신중해진 것이다. 고교별 진학실적을 따져보기도 하고, 어떤 고교에 가야 좀 더 내신 취득이 용이한지, 어느 학교의 비교과 프로그램이 우수한지를 꼼꼼하게 비교해보며, 어느 공간에서 내 가능성이 극대화 될 수 있는가 하는 전략적인 판단에 힘을 기울이는 모습이었다.장면 셋. 최근까지 출신 고교에서 취득한 학생의 내신 수준으로 학종 1단계 합격 가능성을 어느정도 가늠할 수 있었다. 투박하게 말하면 이전의 학종은 같은 값인가를 따지고, 그 다음 다홍치마를 찾는 방식이었기 때문이다. 그러나 올해 2018학년도 대학별 1단계 합격자들의 내신 스펙트럼이 이전년도에 비해 뚜렷하게 넓어지는 양상이다. 동일고교에서 동일한 상위권 대학 학과에 지원한 두 학생 가운데, 오히려 내신이 2등급 가량 낮은 학생이 1단계를 합격하는 사례들이 빈번해졌다. 바꿔 말하면, 대학들이 이제 내신에 덜 기대고도 세특과 수상, 창체활동과 독서를 연결하는 입체적 횡단평가 방식으로, 충분히 원하는 인재를 뽑을 수 있다는 점을 보여준 것이다.유발 하라리의 말을 빌자면 모든 것은 변한다. (Everything changes) 그것도 아주 빠르게. 학종의 확대는 되돌리기 어려운 흐름이고, 대학은 활동에서 디테일을 보며 확인 면접 질문도 한층 날카롭게 벼렸다. 변화를 보면서도 기존의 관성을 답습하는 것은 위험하다. 그래서 이제 어떤 고교에 들어가거나, 특정 영재반에 소속되어 마냥 열심히 참여하면, 학생부가 채워지고 꽃길이 펼쳐질 것이라는 환상을 거둬야 한다. 왜냐면 학교는 하나의 무대이고 장이지, 제작 기획 연출까지 전일적으로 해결해주는 곳은 아니기 때문이다. 결국 그 무대 위에 어떤 공연을 올릴지는 내 몫이다. 가뜩이나 고달픈 학생들에게 무엇을 또 얹자는 것은 아니다. 기왕 하고 있는 그것을 ‘잠깐, 멈춰서, 생각’을 해보고 하자는 것이다.가장 익숙하고 대중적 활동인 ‘봉사’를 통해 잠깐 멈춰서 생각할 것을 살펴보자. 최근에 만나게 된 예비 고1 학생들에게 개인 봉사활동을 하는지를 물었더니, 모두 손을 들었다. ‘왜 거기서’ 봉사활동을 하느냐고 물었을 때 대답하는 학생이 거의 없었다. 또, 무엇을 배웠느냐고 물으면 ‘뿌듯했다’라는 네 글자 외에는 달리 할 말을 찾지 못한다. 그리고 이 난감함을 고 3때 자기소개서의 ‘배우고 느낀 점’ 항목을 기술하며 다시 만나게 된다. 과거엔 내신 뒤에 살짝 숨을 수도 있었지만, 이제 그 생각의 빈자리는 나중에 치명적인 공백이 된다. 큰 고민 없이 행위에만 참여했을 경우 1차적으로 자기소개서에 담을 내용이 없고, 면접 때 답할 내용이 없다. 고생스럽게 무언가 실행은 했지만 거기에는 인간적인 성장도, 입시에서의 기술적인 장점도 없는 것이다.실컷 위협을 늘어놓았으니 이제 대안을 생각해보자. 모든 활동은 다음의 다섯 단계를 거치는 것이 좋고, 또 기록으로 남아야 한다. 최초의 계기(trigger)에서 어떤 목표(target)를 갖게 되고 그 목표나 목적을 실현할 계획(plan)을 구상하고 이를 실행(action)에 옮기고, 이를 최초의 목표에 비추어 평가(evaluation)하는 흐름으로 이어가야 한다. 이것을 ‘프로젝트 활동’의 한 사이클이라 할 수 있다. 소논문, 경시대회 참여, 독서, 혹은 내신 상승을 목표로 한 학습까지 모두 프로젝트라 할 수 있다. 프로젝트는 목표와 기한이 있고, 달성할 방법이 있는 일을 말한다. 그리고 또한 이 한 사이클은 그대로 자기소개서 작성의 원칙이기도 하며, 또한 이 다섯 단계를 거치는 ‘프로젝트 활동’은 학생의 고등 사고역량을 담아내는 그릇이기도 하다. 이는 다음 지면에 담기로 한다.학생들이 할 일은 끝없는 실행만 반복하며 자신을 혹사하는 것이 아니라, 자신 안에 잠들어 있는 호모 프로젝티쿠스의 본성을 일깨워 스스로 성장하는 기쁨을 느껴보는 것이다. 그런 3년의 누적이 곧 대입이다.생각의좌표학원양해성 원장 2017-12-22
- 2015 개정 교육과정 분석과 대비 (2) 지난번 글에 이어 교육환경 변화와 2015 개정교육과정의 정책의도를 분석해보고, 이에 대한 대응책을 말씀드릴 차례이다. 급격하고 본질적인 변화가 목전이다. 교육부에서 수능대책을 1년 후로 유예하면서 고교교육, 수능, 대입선발 등을 총체적으로 혁신할 것을 예고했기 때문이다.곧 시행될 것으로 예상되는 수능 절대평가제도는 학생 선발의 변별력을 수능에서 학생부 쪽으로 급격히 이동시킬 것이다. 이에 맞물려 현 중3부터 시행이 예정된 2015 개정 교육과정이 적용되기 시작하면 교육현장에 큰 변화가 생길 것으로 보인다. 교육부가 제시한 2015 개정 교육과정의 방향은 다음과 같다. 첫째, 미래 사회를 살아가는 데 필요한 능력 함양을 위해 자기관리역량, 지식정보처리 역량, 창의적 사고 역량, 심미적 감성 역량, 의사소통 역량, 공동체 역량을 교과별 수업을 통해 기를 수 있도록 한다. 둘째, 인문․사회․과학기술 기초 소양과 인성교육을 강화한다. 셋째, 배움을 즐기고 행복교육이 가능하도록 교과의 학습량을 적정화한다. 적은 양을 깊이 있게(less is more) 가르쳐 학습의 전이를 높이고 심층적인 학습이 이루어지도록 하여 학습의 ‘양’보다 ‘질’을 중시하는 교육을 구현하려고 한다. 넷째, 교수․학습 및 평가 방법을 개선하여 교실수업을 혁신하고자 한다. 이러한 2015 개정 교육과정의 기본방향을 살펴보면 미래 사회의 변화에 걸맞는 교육을 하고자 하는 제도개선의 의지가 강하게 옅보인다.수능이 절대평가제로 바뀌면서 학생 선발의 변별력이 수능에서 학생부로 넘어온다는 사실을 전제한 후, 2015 개정 교육과정의 적용 면에서 학부모님들이 주목하실 부분은 크게 두 가지이다. 하나는 평가방법이 달라진다는 점이다. 현재까지는 시험만 잘 보면 성적이 좋게 산출되는 지필고사 중심의 평가 방식으로 학생들을 평가하였다면 앞으로는 학생들이 학습과제를 수행하는 과정이나 결과를 보고 선생님이 학생의 지식, 기능, 태도 등을 평가하는 과정 중심 / 수행평가 중심의 평가 방식으로 변화하게 된다. 그러면 지금까지 학원에서 일방적으로 지식의 양을 늘리는 주입방식의 교육을 받을 필요가 더 이상 없어지게 된다.또 하나는 수학과목의 경우 현 중3 학생부터는 고1 때 국어, 영어, 수학, 한국사, 통합사회, 통합과학 등의 공통과목을 이수하고, 고2 때부터는 문/이과 구분 없이 자신의 진로와 적성에 따라 일반선택과 진로선택 과목을 공부하게 되는데, 이때 학생들마다 서로 다른 과목을 공부하게 되는 환경에서는 상대평가가 불가능해지기 때문에 내신도 절대평가의 방법으로 산출하게 될 것이라는 점이다. 내신을 절대평가로 산출하게 되면 학교별 선호도의 차이도 의미가 없어지게 되고, 교육의 수월성보다는 보편성을 위해 외고, 자사고를 폐지하여 기회의 균등을 높이고자 하는 정책과도 물려서 공교육 현장의 교육 내실화를 크게 높일 것으로 예상된다. 학부모님 입장에서는 고입에서 대학이 어느 정도 정해지던 교육기회의 불평등이 일정 부분 해소되고 중학교 시기에는 학생이 인문학적 소양과 독서/글쓰기 능력을 기를 수 있도록 하고 교과목 학습도 과정 중심 평가에 능하도록 주도적 학습을 해야 하는 교육 방법론의 대혁신이 필요한 상황이다.그러면 앞으로 어떻게 준비할 것인가? 함축적으로 자기주도성과 전공적합성을 살리는 교육방법론이 필요한 상황이 되었다. 학생부종합전형을 준비하려면 고1 시기에 원하는 진로와 학과를 구체화하고 이를 준비하는 과정의 이력을 기록으로 남겨야 하기 때문이다. 그러려면 중학교 시기에 본인의 인생의 목적과 행복의 정의, 삶의 방향 등을 고민하고 구체화하는 과정이 필요하게 된다. 그래서 진로에 대한 고민의 씨앗을 심어주는 자유학기제나 학년제는 그 의미가 매우 크다 할 수 있다. 수학학과 공부에 대해서도 수동적, 평면적인 판서수업보다는 역량의 성장을 확인하며 수업하는 소통형 맞춤수업이 절실해진다. 토론과 참여를 통해 역량을 평가받는 과정 중심 역량 평가를 대비하려면 본질적인 실력이 자라나게 하는 수업이 필요해지는데 지금처럼 획일적 일방전달 수업으로는 2015 개정교육과정의 바뀌는 평가방식을 따라가기 어려워진다. 수학교육에 대한 학부모님의 고민과 합리적인 선택이 중요한 시기가 아닌가 한다.매쓰코드수학학원이성규 원장 2017-12-22
- 고등학교 수학 교육 내용 자세히 보기 1학년 1학기에는 고등수학上을 배우게 되며, 주요내용은 아래와 같다.- 다항식, 나머지정리, 인수정리, 인수분해- 복소수, 일차방정식, 이차방정식, 이차함수, 삼차방정식, 연립방정식, 여러 가지 부등식- 도형의 방정식 : 평면, 직선, 원의방정식, 도형의 평행 이동, 대칭이동중간고사 범위는 ‘여러 가지 부등식’ 전후로 결정된다. 공부의 중요 포인트는 첫째, 식을 전개하고 정리하는 방법을 익히는 것이 중요하다. 곱셈공식이나 인수분해는 전개와 정리의 방법을 알게 되면 쉽게 풀어 나갈 수 있다. 손으로 연습장에 깨끗하게 써나가는 것이 가장 좋은 방법이다. 둘째, 왜 정리하고 전개하는지 목적을 이해해야 한다. 인수분해가 무엇이며 왜 하는지, 나머지정리나 인수정리가 무엇인지 개념을 이해해야 한다. 또한 방정식이 무엇이며 부등식과의 차이, 그리고 함수와의 차이를 구별할 수 있어야만 심화수학을 받아들일 수 있다. 셋째, 함수를 평면에 나타내는 그래프를 익숙하게 그려야 한다. 평면위에 직선, 이차포물선, 삼차곡선, 원등을 나타냄으로써 좀 더 쉽게 해결책을 찾을 수 있겠다. 여러 도형을 그릴 수 있다면 이들을 평행이동, 대칭이동 시킴으로써 문제의 요구에 대답할 수 있게 되는 것이다. 고등수학上은 문/이과 공통과목이며 대입수능에 직접 관련을 갖는 문제는 출제되지 않지만 이후 상위 수학을 배워 나가는데 있어 필요한 기초개념이므로 소홀히 하게 되면 차후 수학공부가 어렵게 느껴질 수 있다.1학년 2학기는 고등수학下를 배우게 되며 주요 내용과 목표는 다음과 같다.- 집합, 명제, 부등식의 증명, 유/무리식, 이차함수, 유/무리함수- 순열, 조합문과 수능 출제범위에 포함되므로 문과를 지망코자 하는 학생들은 심화문제까지 공부해 나갈 필요가 있다. 2학기 중간고사 범위는 주로 ‘유/무리함수’ 이다. 집합과 명제 파트는 순수 수학자 입장에서는 가장 어려운 분야이지만 학생입장에서는 제법 쉬운 파트일 수 있다. 집합과 명제에 대한 정의만 이해한다면 그다지 어렵지 않으나 향후 집합이 함수 혹은 수열등과 결합되면 심화문제로 발전할 수 있다. 유리식, 유리함수, 무리식, 무리함수는 기본꼴을 이해하면 된다. 아무리 복잡한 형태의 문제도 분해를 해보면 기본꼴이 다양하게 변형 되어 있음을 알 수 있다.순열/조합파트는 기존의 확률과 통계에서 전반부가 고등수학下로 이동 개편되었다.중학교 2학년 2학기에 수록된 경우의 수, 확률의 연장으로써 기호 P와 ㅠ,C,H를 이해하면 쉽고 재미있게 풀어 나갈 수 있다.2학년 1학기는 문/이과 공통으로 미적분1를 배우게 된다. 이과의 경우에는 1학기에 미적분1을 마치지만 문과는 2학기까지 배우게 된다.미적분1의 주요내용은 아래와 같다.- 수열의극한, 급수, 연속, 미분, 접선, 극대/극소, 부등식과미분, 속도/가속도와미분- 부정적분, 정적분, 여러가지 정적분, 넓이와 적분, 속도/거리와적분문과는 ‘미분’전후로 중간고사를 보며 이과는 ‘부정적분’전까지 중간고사 범위가 된다.관념적 기호인 리미트를 도입하여 수열의 무한대까지의 모습을 추정하는 수열의 극한, 무한대까지의 덧셈을 상상하는 급수를 공부하고 이를 적용한다. ‘연속(continuous)’을 정의함으로써 미분개념을 정립하고 다양한 곡선의 성질을 분석하는데 이용한다.미분개념의 유도와 그 정의를 이해하는 것이 가장 중요하며 일부 학생들은 이 부분을 재미있게 받아들이기도 한다. 미분의 역과정으로써 부정적분이 소개되고 다시 정적분의 개념이 구분구적법을 통해 새로이 제시된다. 정적분의 개념을 정확하게 이해한다면 이후 어려운 부분은 별로 없다. 넓이, 속도, 거리등과 관련한 적분 문제는 계산과정 만을 남겨 놓았기 때문이다. 역시 미분과정을 잘 알고 있어야 적분과정의 이해가 쉬우며 문제풀이 또한 용이하다. 적분과정에서 미분의 개념이 다시 결합되기 때문이다.지면이 유한한 관계로 확률과 통계, 미적분2, 기하벡터는 다음호에 기재하기로 한다.연세수학전문학원박정원 원장 2017-12-22
- 공부 잘하는 유전자? 필자가 학생들을 가르치면서, 혹은 심지어 학부모와 상담을 하면서 심심치 않게 듣는 말이 있다. “선생님, 저는 머리가 나쁜가 봐요”, “우리 애가 이해력이 딸리나 봐요” 라는 말이다. 진심으로 실망과 걱정을 담아 하소연을 한다. 이 말을 들으면 그 학생들의 실패와 답답함이 전해져 마음이 아프다.얼마 전에는 인터넷에서 선천적으로 ‘공부 잘하는 유전자’를 받고 태어나는 사람이 따로 있고, ‘공부 잘하는 유전자’가 없는 사람이 노력만으로 공부에서 성공하는 경우는 겨우 4% 정도 밖에 되지 않는다는 기사도 봤다. 이 기사를 읽고는 화가 났고 아직도 풀리지 않는다. ‘공부 잘하는 유전자’라니... 학창시절 나의 기억을 떠올려 보면 공부는 ‘머리’가 아니라 ‘성실’이다. 성실하기만 하면 대학은 간다. 나의 직접 경험과 내가 지도한 학생들을 통해 얻은 간접 경험이 이 사실을 뒷받침해준다.만약 지금의 고등학생들이 경시대회를 준비하고 있거나 나중에 박사과정을 밟게 된다면 그렇게 생각할 수도 있겠다. 짧은 시간에 고난도 문제를 풀어내는 TV 속 영재들을 보면서 부러운 마음에 이런 이야기를 한다면 그 역시 이해한다. 그러나 우리는 이미 알려진 수능 시험을, 좀 더 가깝게는 중간고사를 준비하는 정도의 공부만 하면 된다. 중간고사든 수능이든 혹은 논술시험이라도 출제 범위가 정해져 있고 문제 유형과 훈련방법이 이미 알려져 있기 때문에 제대로 학생을 이끌어 주는 선생님과 함께 훈련만 확실하게 한다면 그 어떤 대학의 기준이라도 충분히 넘을 수 있다.그렇다면 학생들은 왜 자신에 대해 ‘이해력이 부족’하다고 생각하는 것일까. 공부는 눈덩이를 굴리는 것과 같아서 기존 지식이 어느 정도 갖춰진 학생에게 새로운 지식의 습득은 그리 어려운 일이 아니다. 그런데 본인의 배경 지식이 부족한 상태에서 몰랐던 지식을 배우려니 시간도 필요하고, 또 기존 지식의 부족으로 인해 새로운 지식과 기존 지식의 네트워크를 제대로 만들지 못해서 그 지식의 이해와 활용에 어려움을 일시적으로 겪는 것인데, 안타깝게도 이 차이를 다른 사람보다 이해 능력이 떨어진다고 받아들여서 그렇게 생각하는 것이다. 이는 서두를 필요 없이 황소걸음으로 차근차근 해결해 나가면 곧 극복된다. 두세달 짧은 기간에 가능하지는 않겠지만 대학을 들어가는 정도의 공부는 성실과 훈련만 충분하다면 시간 문제일 뿐이다.이기성 원장기성쌤수학학원 2017-12-20
- 이해하기 쉬운 수학교과 개편 설명 아마도 요즘 학부모님들의 주된 관심사중 하나는 교과과정개편과 수능개편일 것입니다. 수능개편은 1년 유예되면서 아직 결정되지 않았습니다. 곧 있으면 2018년이지만, 2015년에 결정된 안이라서 ‘2015 개정 교육과정’이라고 합니다. 문이과 통합 수학이라고 흔히들 이야기 했지만 통합이라고 하기는 어려울 것 같습니다. 오히려 더 세분화가 되었다고 보는 것이 맞을 듯합니다.이 개정안의 목적은 수학 학습량을 줄이고 분야별 세분화를 하기 위함입니다.‘2015 개정 교육과정’의 수학과목 내용을 최대한 알기 쉽고 간단하게 설명 드리겠습니다.현재 수학 교과 과정과 비교를 해서 설명을 드리면 복잡해 보이므로 비교설명은 생략하고 간단한 평으로 대신하겠습니다.그럼 계열별로 자세한 내용을 보시죠.사실 조금 더 복잡한 과정 선택을 할 수 있지만 가장 보편적으로 선택할 과목 위주로 쓰겠습니다.어문·예체능·인문사회계열 수학 학습량이 가장 적습니다.고 1 : 수학 상,하 (공통수학에 해당)고 2, 3 : 수학Ⅰ(지수,로그,삼각함수,수열), 확률과 통계현재 문과에 비하면 학습량이 조금 줄었습니다.경상계열수학 관련성이 있는 계열입니다.위의 계열과정에서 확률과 통계 대신 수학Ⅱ(미적분 기본)와 진로선택이라고 하는 ‘경제수학’이 추가 된다고 보시면 됩니다. 아직 경제수학 교과서가 나오지 않은 상태라서 정확한 내용은 알기 어려우나 대학교 경제수학 교재는 함수,행렬,미적분 위주의 내용입니다.현재 문과에 비하면 학습량이 늘었다고 볼 수 있습니다.이공계열수학이 가장 중요한 계열입니다.위의 계열과정에서 확률과 통계 대신 수학Ⅱ(미적분 기본)와 이과미적분, 기하벡터, 수학과제탐구 과목이 추가된다고 보시면 됩니다. 여기서 기하벡터, 수학과제탐구는 진로 선택의 영역에 들어가 있는데, 학과별로 선택과목이 달라 질 수 있습니다.현재 이과에 비하면 학습량이 조금 줄거나 비슷하다고 할 수 있습니다.예비 고1은 바뀐 교과과정으로 학습을 하면서도 바뀌지 않은 수능체제로 수능을 봐야 하는 애매한 위치에 있습니다. 18년 2월에 여기에 대한 자세한 발표가 있을 예정입니다.정상수학학원이창헌 원장 2017-12-20
-
지적(知的)재미와 수학적 사고력
자문자답(自問自答), 최근 등장한 유명회사의 광고 카피이다. 스스로 알아서 온도는 물론 공기정화와 절전까지 관리하는 이 제품의 출발점은 바로 묻기! 즉 질문이다.고잔 신도시 학원가에서 수리논술과 수능수학 킬러문제를 동시에 잡게 한다고 알려진 히즈매쓰 이태우 원장은 ‘주고받는 질문수업은 학생들의 사고를 바꾸는 첫 단추임’을 강조해 왔다.“뭘 질문해야 할지 아예 모르는 학생은 교사가 왜 질문을 던지는지 파악하지 못한다. 궁금증이 생기도록 개념설명을 하면 질문을 던져오는 학생은 개념을 잘 이해한 학생이다. 마지막 단계는 스스로 궁금해하고 답을 찾은 후 옳게 찾았는지 되묻는 학생이다.”사교육의 효과보다 오히려 그 폐해가 커 가는 시점에 이 원장의 질문은 간과할 수 없는 무게가 있다. “너는 수학을 공부하며 지적 재미를 느끼는가?”실력 쌓이는 순간, 성적도 느는 중워터파크에 가면 조금씩 떨어지던 물이 고여 한꺼번에 왕창 쏟아지는 ‘해골폭포’라는 놀이기구가 있다. 이 원장은 수학실력과 성적에 대한 이해는 이와 비슷하다는 설명이다.“수학성적은 개인차가 있겠으나 계단식으로 성적이 나온다. 실력이 꾸준히 쌓이면 성적으로 쏟아내기까지는 시간이 걸릴 수 있다. 강사는 단기적인 성적만을 위한 문제풀이식 수업을 지양하고 부모와 학생도 실력을 쌓고 성적으로 나타나는 시기까지 잘 버텨야 한다.”물론 사교육을 시키는 부모의 입장은 조급하다. 학생들에게는 시기가 정해져 있기 때문이다. 하지만 수학자들이 몇 백년간 공들여 만든 수학개념을 이해하고 배우는 고등수학은 머리가 아프도록 궁금해야 답이 나온다는 설명은 앞으로의 교육정책과도 일치하는 부분이 많다.질문 던지는 순간, 정답으로 직진 중질문은 질문 그 자체만으로도 가치가 있다고 한다. 유대인의 전통적인 교육방식인 하브루타 교육법은 최근 교사들로부터 학교 현장에서 유용한 질문식 교육법으로 인정받고 있다.이 원장은 “질문을 받았을 때 사람의 뇌는 엄청나게 움직인다. 일정수준이 되면 질문이 생기는데 질문 자체만으로도 학습효과는 크다”며 “이때 지적호기심이 생기고 해결하는 재미 역시 알게 된다”는 것이다. 단순한 문제풀이에 길이 든 학생의 경우 맞고 틀리는 것과 문제집을 꽉 채워 많은 양의 문제를 푼 것이 좋은 학습이라는 생각은 버려야 한다는 조언이다.왜 이런 공식이 적용될지 호기심을 갖고 증명해 새로운 유형에 적용시키는 것, 무엇이 문제인지 새로운 궁금증을 유발하는 인재가 곧 4차 산업혁명을 준비하는 이들의 공통점일 것이다.질문하는 학생을 떠든다고 무시하거나 또는 답정너(답은 정해져 있으니 너는 동의차원에서 답만)부모 그리고 질문은 여러 사람의 ‘시간을 빼앗는 민폐’라는 사회.학생의 질문 자체를 소중히 여기는 교사와 부모와 사회가 어울린 교육! 교육의 본질을 다시 한 번 생각해 봐야 하지 않을까?관리 하는 순간, 자존감은 낮아지고이 원장의 고민은 학생들의 행동이나 숙제에 대한 관리이다. “수학은 암기과목이 아니다. 한번에 300개가 넘는 문제를 반복해 풀고 하나하나 채점해 오답을 정리케 하는 것이 과연 아이를 위해 옳은 사교육인가 생각해 보자.” 이 원장은 풀이하는 문제 수를 절반 이하로 줄이는 대신 개념과 증명 같은 생각해 나가는 단계에 집중을 한다, 학생의 수준에 적절한 문제를 선별해 주고 풀이공간을 넓게 해 답에 접근할 수 있도록 팁을 주는 것이다. 그의 숙제를 받아든 원곡고 H군은 “한 문제를 풀어도 여러 개념을 알고 넘어갈 수 있도록 하고 특히 ‘생각하게 하는 팁’은 문제를 재미있게 풀도록 유도한다”고 말했다.이 원장은 학부모와 학생과 강사가 함께 관리하는 프로그램을 운영하고, 채점과 실력의 변화를 체크하고 표시하는 것도 학생 스스로 하도록 재정비 중이란다. “최소한의 시간에 얼마나 경제적으로 실력을 올릴 수 있는지, 스스로 관리하도록 지도하는 것이 ‘사람을 바꾸는 것’이 아니겠는가? 언제까지 빨간색연필을 들고 학생들을 쫓아다니며 관리하려 하는가?”
2017-12-20
- 수학 100점! 성적 달성하는 수학 자신감! 해마다 확대되는 수시 입학! 학생부 비중이 커짐에 따라 고등학교 내신 관리는 더욱 중요해지고 이에 대한 경쟁 또한 치열해졌다. 특히 이과의 경우 대학 진학을 위해서는 수학은 필수! 아니, 절대적이라 할 수 있다. 수시든 정시든 더욱 중요해진 수학 과목에서 높은 점수를 얻기 위해서는 어떻게 공부해야 할까? 현장감 넘치는 강의는 물론 개인별 특성에 맞는 1:1 맞춤형 학습관리(Math-customizing)까지 학부모들 사이에서 높은 만족도로 입소문이 난 MBA 방용찬 수학전문학원을 찾아 수학 고득점을 얻기 위한 핵심 해법에 대해 들어봤다.수학 내신 및 수능 만점을 위한 해법지난 30년 동안 유수의 명문 학원에서 강사와 원장으로 활동했던 방 원장은 수업과 강의를 하며 현장에서 실제로 학생들이 알아야 할 학습 비법에 대해 설명했다. 수학 시험에서 100점을 받을 수 있는 구체적인 방법들을 설명하며 특히, 수학 시험은 문제 안에 답이 있다는 것을 강조했다.“처음에 학생들은 문제를 받으면 당황해서 문제 해결의 단서를 찾지 못하는 경우가 있는데 문제를 자세히 읽고 분석하면 문제 해결의 조건과 식을 도출하고 답을 찾을 수 있게 됩니다.” 또한 ‘순서대로 푸는 것보다 난이도별로 구분해 문제를 푸는 것이 효과적이라고 조언하며 '70%, 20%, 10%' 문제 해결법을 설명했다. 시험지를 받으면 먼저 쉽게 풀 수 있는 70%를 먼저 해결하고, 다음에 20%를 풀고, 난해하고 생각을 많이 필요로 하는 10%의 고난도 문제를 마지막으로 정리해 푸는 것이 좋다는 것. 이러한 방식으로 문제를 풀며 시간안배와 고득점 훈련을 꾸준히 연습하면 수학 시험에서 좋은 결과를 얻을 수 있다고 했다.학생 개개인별 수준에 맞는 1:1 단계별 학습수학을 가르치는 선생님의 역할도 중요하다. ‘학생 스스로 학습하는 것도 중요하지만, 좋은 선생님을 만나는 것도 중요하다는 방 원장은 ’수학은 학년별, 단원별 연계성이 높아 완벽하게 전체를 파악하고 있는 선생님만이 학생들의 학습 효율성을 높여줄 수 있다‘고 강조했다. 특히 최근에는 고등학교 내신도 수능기출문제나 평가원 모의고사 중심으로 출제 방식이 맞춰지고 있어 이를 철저히 분석하고 핵심 내용과 예상 문제를 제대로 선별할 줄 아는 선생님이 가르친다면 수학에서 충분히 상위권의 기회를 노려볼 수 있다고 강조했다.“학생 개개인별 수준을 정확하게 알고 이를 토대로 단계적인 학습을 체계적으로 가르쳐야 합니다” 방 원장은 ‘수학은 흔히들 타고난 머리가 있어야 한다고 말하지만 노력한다면 충분히 수학 내신은 물론 수능에서 100점도 가능하다‘고 힘주어 말했다. 모르는 것은 알 때까지 완벽하게 이해시켜 가르치는 것이 중요하며 학생들이 수학에 대한 흥미와 자신감을 잃지 않도록 하고 충분히 소통하고 긍정적인 마인드를 갖게 하는 것도 중요하다.새로운 교육과정에 맞는 전략적인 대비 필요새로운 2018 수학 교육과정을 배우게 되는 현 중3 학생들에게 방 원장은 ‘변경되는 고등 수학을 제대로 알고 전략적인 학습을 준비할 것‘을 조언했다. “새로운 교육과정은 연계성을 강조한 효율적인 학습이 절대적으로 필요합니다”라며 새로운 교육과정에서 삭제된 단원과 추가된 범위는 물론 자신의 진로와 적성에 따라 다양하게 세분화된 2018 새로운 수학 교육과정을 설명했다. 덧붙여 앞으로 발표되는 내용에 따라 철저한 준비를 미리 할 것을 조언했다.“수학은 억지로가 아닌 즐거운 마음으로 해야 하는 것이 정답입니다“라고 강조하는 방 원장은 이화여자대학교 평생교육원 창의수학 강사이자 주임교수이며 <공부의 모든 것>의 저자이기도 하다. 그는 ‘교육과정을 모르고서는 학생 지도가 안 된다’고 강조하며 수학 학습은 특히 연계성을 알아야 제대로 배우고 가르치게 된다고 거듭 강조했다.문의 02-543-8209(빨리공부)Tip 수학 시험 100점 정복 10계명 기본에 충실하라! 생각을 바꾸면 풀이가 보인다! 원리로 문제를 해결하라! 수학은 상식으로 푼다! 문제 안에 답이 있다! 수학은 단순화하여 풀이하라! 수학에 대한 자신감을 가져라! 등호, 부등호에 주의하라! 70%, 20%, 10% 사칙연산으로 문제를 해결한다! 2017-12-15
- 학생에 맞추어 이끌어주고 기다려 주는 수학 학습 수학 학습을 시키며 부딪치는 고민은 진도와 심화 학습 사이의 고민이다. 주변의 다른 아이들처럼 빠르게 앞선 진도를 학습하고 있는 학생들을 보며 우리아이는 이대로 괜찮은지에 대한 고민과, 진도는 빠르게 공부하고 있지만 과연 앞서 배운 것들을 제대로 이해하고 학습하고 있는지에 대한 불안이다.수학은 개인차가 가장 큰 과목이다. 같은 학원에서 같은 과정을 똑같이 공부해도 개인차가 가장 많이 나는 과목이다. 그렇게 때문에 진도, 심화에 대한 고민에 대해서 각 학생을 정확히 진단하는 것이 필요하다. 초등에서 중등, 중등에서 고등으로 넘어가는 학습의 시기마다 학생의 학습상황을 정확히 바라봐주고, 학생의 속도에 맞추어 맞는 학습계획과 학습량을 정해주는 것이 필요하다.중등과정을 학습하며 학생들이나 또는 강사들이 부딪치며 힘든 부분은 앞서서 배운 내용들이 충분히 학습되어지지 못해서 문제가 해결되지 않는 경우이다. 방정식, 부등식, 함수 등 개념적인 부분들을 잘 받아들이는 경우에도 연산과정들이 익숙하지 못해서 문제를 해결하는 방향은 잘 잡고도 반복해서 틀리며 자신감을 잃는 경우들을 종종 보게 된다. 이 같은 경우 개념은 어느 정도 잡혔다며 다음 과정으로 이어가게 될 경우 스스로 답까지 이르지 못하는 학습이 반복되고 더 늦어질 수 있다.기다려주는 것이 필요하다교과 초1~초4과정, 초5~초6과정, 중1~중2과정, 중3~고1과정을 범위로 각 과정의 내용들에 대하여 기본기에 밑그림을 그려주는 학습과, 각 과정에서 다음 과정으로 넘어갈지 아니면 시간을 조금 더 들여서 학생의 문제점을 해결하고 넘어가야 할지 학생을 정확하게 봐주고 학습방향을 정해주는 것이 필요하다.특히, 중등과정에서 고등과정으로 넘어가는 시기에 중등 2-1과정과 3-1과정에서의 내용이 충분히 능숙하지 못한 상태에서 고등과정을 서둘러 학습하게 될 경우 쏟아지는 오답과 스스로 문제가 해결이 되지 못하는 답답함을 경험할 수도 있을 것이다.수학을 학습하며 각 과정에서 잘못된 습관과 부족함들을 채워 간다면 수학이 어렵다는 생각에서 벗어나서 스스로 정답을 찾아가며 충분히 즐겁게 학습할 수 있는 과목이 될 수 있을 것이다.송석영원장아쿠아 수학 학원문의 02-3477-7677 2017-12-15
- 학생들과의 소통으로 성적도 향상시키는 시그마수학학원 3년 전 하계동 본원 개원 당시 학생 수 0명으로 시작해 6개월 후 60~70명, 그리고 지금은 200명(고 3 제외)이 넘을 정도로 폭발적인 성장세를 보이면서 3개관을 운영 중인 시그마수학학원.학원에 처음 등록할 때만 해도 3~4등급을 받던 학생들의 90%가 일 년 후에는 2등급을, 30%가 1등급을 받는다고 하는데, 이와 같은 학생들의 성적 수직향상에는 어떤 비결이 있는 걸까? 시그마수학학원 박병렬 원장을 만나 궁금증을 풀어봤다.겨울방학, 학습결손의 상태와 원인 파악해 각 학생 특성에 맞게 커리큘럼 다시 짜박병렬 원장은 “학생을 맡으면 포기하지 않는다. 처음 등록 후 1~2주 동안은 쉬는 시간이나 번외 시간을 활용해 잦은 대화로 소통하고, 교감이 형성되고 나면 학생들이 마음을 연다. 이때부터 학생별 케이스에 맞춰 공부가 본격적으로 시작된다”고 전한다. 예를 들어 노력이 없는 학생은 부단한 대화를 통해 목표의식과 대학에 대한 꿈을 심어주고, 머리가 좋지 않은 학생은 주말에도 나오게 해서 계속 반복학습을 통해 책 한 권을 이해할 수 있게 한다. 박 원장은 “수학은 책을 여러 권 풀리는 것보다 한 권이라도 제대로 이해할 수 있게 하는 게 중요하다”고 덧붙인다.시그마수학학원 하계관의 경우 고 1반이 7개 반으로, 고 1말에 처음 등록하는 학생들의 경우 4~5등급이 상당히 많다. 이러한 학생들의 학습상태를 보면 일 년 동안 제대로 배우지 못해 군데군데 학습의 구멍이 나있는 상태, 혹은 자신이 원하는 부분만 조금 잘하고 부족한 부분은 벌어진 상태, 수업이해와 상관없이 진도만 쭉 나간 상태 등 다양한 케이스가 있다.따라서 겨울방학이 되면 각 학생의 특성에 맞게 다시 커리큘럼을 짠다. 진도만 쭉 나간 상태는 다시 피드백을 시키고, 군데군데 학습의 구멍이 있는 경우는 그 구멍들을 채워서 시간을 낭비하지 않게 한다. 이렇듯 1학년 기초를 다시 다져 2학년이 됐을 때 성적을 향상시킬 수 있게 발판을 마련해 준다. 최근 2년 연속으로 시그마수학학원에서는 성적이 다소 부족하지만 성적을 올릴 의지가 있는 학생들로 따로 반을 구성, 거기에 맞는 커리큘럼을 구성해 운영해 성공한 사례가 많다.고1 겨울방학을 터닝 포인트로 수학성적 향상과 함께 대입에 성공하다!실제로 D고 출신 대학신입생 A군은 고1 겨울방학 때 학원등록 당시 수학이 6등급이었지만 고2 말에 1등급으로 성적의 급격한 향상을 맛봤고, 수능 때까지 계속 1등급을 유지했다. A군은 등록 당시 목표도 없고, 노력도 하지 않는 학생이었지만 2학년에 올라가 3등급으로 성적이 한 번 오르자 공부의 맛을 느끼게 되고 수학이 재미있어진 경우다.A군과 친구였던 B군도 같은 시기에 학원에 등록했고, 당시 4등급이었지만 마찬가지로 고2 말에 1등급으로 성적이 올랐고 수능까지 1등급을 유지했다. B군은 목표가 없던 학생이었는데, 강사와의 꾸준한 대화를 통해 파일럿에 대한 목표를 세우고 결국 목표와 관련한 대학 학과에 진학했다.D여고 C양은 중학교 때 상위권이었기에 타 학원을 다니면서 상위반에서 공부했지만, 질문을 못하고 자꾸 숨기다 보니 자신이 부족한 부분을 모르게 돼 성적은 고1 말 시그마수학학원 등록 당시 4등급이었다. 하지만 대화를 통해 마음을 열게 되어 부족한 부분을 알게 되고, 다시 중간 난이도부터 시작해서 어려운 문제를 1~2문제 곁들여 풀게 하자 자신감을 찾게 됐다. 고2에 올라가 치른 첫 시험에서 1등급을 받았고, 교대에 진학했다.중등부, 고등부와 연계한 수업으로 심화 응용시켜시그마수학학원에서는 중등부 하위권의 경우 오로지 학생 맞춤형으로 2~3명 소수로 수업한다. 연산이나 도형 등 각자에게 부족한 부분을 찾아, 학생에게 맞는 책과 프린트로 숙달될 때까지 무한 반복시킨다. 중위권의 경우 학교내신이 90점 가량 나오기에 학생이 잘하는 부분이나 잘할 수 있는 부분을 발전시킨다. 상위권은 학교내신과 고등부 진로를 염두에 두고 발전 심화시킨다.실례로 H중 2학년들이 2학기에 치른 지난 중간고사는 만점자가 전교에서 몇 명밖에 나오지 않았고, 평소 90점대 중, 후반 성적의 학생들도 80~90점을 받을 정도로 고난이도였다. 하지만 만점자 중 1명인 재원생 D군은 양적 수업이 아닌 질적 수업으로 자신에게 맞는 교재와 진도를 나가면서 기초, 응용, 발전, 심화가 고루 이뤄진 상태였기에 시험이 어렵든 쉽든, 약간의 특이 케이스가 나오든 성적에 흔들림이 없었다.박 원장은 “중등부는 고등부 과정을 미리 공부하는 게 아니라 고등부에 나오는 내용을 강사가 미리 숙지해 수업을 진행하며, 어떻게 고등부와 연계되는지 더 디테일하고, 심화 응용할 수 있도록 고등부 연계수업을 하고 있다”고 전한다. 2017-12-14
50대
이상
40대
30대
20대
이하
보내기