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- 오답노트 활용의 정석 수학공부에서는 이해가 중요가 중요하지만, 수학시험에서는 오답에 대한 분석과 정리가 점수로 직결된다. 하지만 실천에서 문제가 발생하고, 특히 엄마와 학생사이에 갈등이 생기는 원인이 되고 있다. 이런 문제를 해결하기 위해 필자는 그동안의 강의와 상담 경험을 토대로 합리적이고 효과적인 오답노트 활용법을 제시해보고자 한다.1. 오답노트 작성이 수학 공부의 메인. 그러나 한 번의 작성으로 끝나는 것은 아니다.오답노트란 현재 배우고 있는 내용의 복습 정리용 그 이상의 의미를 부여하기 어렵다. 그래서 많은 학생들이 이를 게을리 하는 경우가 많다. 솔직히 말해서 예쁘고 화려하게 작성할 필요는 없다. 내가 풀어 본 문제에 대해 제대로 접근하지 못한 경우, 강의의 필기 내용과 해설지의 설명을 이해하고 정리하면서 한 번 써보는 것이 오답노트다. 여기에서 가장 중요한 것은 오답노트를 작성하면서 이해되고 정리 된 내용을 교재의 문제 옆이나 아래에 요약하고 정리해야한다(이를 “단권화”라고 한다.). 이 작업이 시험기간에 짧은 시간 동안 내용을 빠르게 리마인드할 수 있게 하는 역할을 한다.2. 지나친 시간투자는 “과시용”에 불과“몇 번 째보는지, 언제 풀었는지 등의 기록”과 “지금 머릿속에 꼭 정리할 내용” 중에서 어떤 것이 중요한지는 누구나가 다 아는 사실이다. “기본교재의 단편적인 문제”를 오답노트에 정리할 것인지 아니면 “시험에 잘 나오는 중요 문제”를 정리할 것인지도 답은 명확하다. 양적 증가에 치중하면 폐지로 전락할 수 있으니 내 인생에 도움이 되는 문제를 더 이상 삽질하지 않게 복습하는 기회로 활용해야한다.3. 풀이과정의 급소와 핵심 기본사항에 대한 정리도 필수오답노트를 쓰는 이유는 계산을 틀리는 실수 때문이 아니다. 문제를 읽고 막연했지 때문에 정리하는 것이다. 나름 개념과 기본 문제들을 소화할 수 있었는데도 막혔기 때문에 풀이과정을 익히고, 문제와 기본사항의 연결고리를 만들고자하는 것이다. 솔직히 까놓고 말해서 외우기 위한 것이다. 그러다보니 생각이 잘 나지 않는 풀이과정의 급소와 잘 잊어버리는 개념과 공식을 잘 정리할 필요가 크다. 필자의 경우 책에 나오는 개념 이외에 별도로 정리해주는 내용들이 있는데, 학생들이 이것들을 오답노트에 정리하지 아니할 경우 인간취급을 받지 못한다.4. 교재별로 오답노트를 작성해야 복습 때 효과적!어느 학년이나 수학교재를 1~2권만 보는 것이 아니다. 그러다 보니 얇은 오답노트를 준비해서 교재별로 정리하는 것이 좋다. 예를 들어 중1때 에이급수학2-2를 공부하며 오답노트를 작성했을 경우 2학년이 되어 학교 시험을 준비할 때 그 오답노트로 복습을 하면 단시간에 심화 문제를 정리할 수 있게 된다.5. 문제를 그대로 쓸 것인가? 복사해서 붙일 것인가?문제의 논점을 잡는 연습을 하기 위해 문제를 요약해서 쓰는 훈련이 필요하다. 이렇게 하는 것이 그대로 쓰는 것 보다 더 많은 시간이 필요할 지도 모르지만, 문제의 조건이 풀이의 어떤 내용으로 연결될지 아는 것이 문제해결력 향상의 첫걸음이다.수학공부를 하다보면 문제집의 그레이드를 한 단계 올릴 때마다 오답율이 급상승하는 경험을 하게 된다. 당연한 현상이니 오답노트를 통해 머릿속에 더 많은 정보와 지식을 담아두고 정확하게 풀기위한 논리와 사고 연습을 해야 한다. 처음부터 잘 하는 사람은 없다. 실패했을 때 성공하는 방법을 찾고 배워나갈 때 성장할 수 있다. 틀리는 것과 막히는 것에 대한 두려움을 해결해주는 것이 결국 충분한 연습이라는 것을 기억해야한다.수준영재수학 학원박수준 원장 2019-04-25
- 중간고사를 망쳤습니까? 기말에 일어설 방법이 있습니다. 은행사거리에서 고등학생 수학수업을 10년 넘게 하고 있고, 수준학원만큼의 앞선 커리큘럼으로 더 좋은 성적을 내는 학원을 찾기 어렵다고 자부할 만큼 열심히 가르쳐왔다. 하지만 모든 학생들이 원하는 성적을 만들어내지는 못한다. 이유는 여러 가지가 있고, 원인을 정확히 파악해서 기말에 반전을 만들 비책을 강구해야하므로 해마다 반복해서 강조하는 내용들을 모아서 정리해봤다.1. 교과서 꼼꼼하게 정리하기본문의 설명을 꼼꼼하게 읽고, 문제도 모두 풀어본다. 틀린 문제는 해설을 보고 정리해 본 후 모르는 문제는 수업을 통해 해결한다. 학교 수업보다 빨리 공부해서 시험 4주 전까지 끝내도록 계획을 세운다. 간단히 말해서 내신대비용 심화 문제집을 풀기 전에 개념정리용으로 꼭 교과서를 정리해야하는 것이다.2. 문제집 풀기책에 풀지 말고 풀이노트에 풀어본다. 틀린 문제는 해설을 한 번 읽고 정리해 본 후 모르는 문제는 수업을 통해 해결한다. 2주에 스프링 노트를 최소 한 권은 써야 수학실력에서 우위를 나타낼 수 있다. 그리고 문제집은 한 권으로는 부족하고 최소2권은 풀어야 1등급이 될 자격이 있다고 볼 수 있다.3. 수업을 열심히 듣는다.집중해서 열심히 듣고 책에 필기를 해야 한다. 책에 쓰지 않으면 복습의 효율성이 떨어지고 시험기간에 정리할 때 시간이 많이 걸린다. 필기 공간이 협소할 경우 정사각형 post-it을 활용하는 것이 좋다.4. 오답정리는 필수틀린 문제에 대하여 수업의 필기내용을 토대로 꼭 오답정리를 해야 한다. 수업 직후나 다음날 해야 제대로 된 복습의 효과를 볼 수 있다. 심화문제집의 경우 복습이 밀릴 경우 한꺼번에 정리하려면 다시 처음부터 공부하는 느낌이라서 시험기간에 들어가기 전에 마음을 비우는 최악의 상황에 처하게 된다.5. 복습을 통해 시험 전 날에 꼭 봐야할 문제를 추려놓기오답정리를 하면서 논점과 풀이 방법이 난해한 문제들은 잘 표시해 두었다가 시험 기간에 꼭 다시 정리해야한다. 시험 전날에는 이런 죽음의 문제들과 강력 예상 논점을 정리해야 시험에서 경쟁력을 갖출 수 있고 시험시간도 모자라지 않게 된다. 고등학교 수학시험에서 머리 좋은 학생을 이기는 학생은 시험 전 날 유사 문제를 정리한 학생임을 잊지 말아야한다.6. 매일 꾸준하게 공부하고 주말 오전에 잠 대신 수학공부를 해야 한다.고등학교 수학시험이 중학교과 다른 점은 시험범위가 두 배 정도가 되고 난이도는 굉장히 올라가는 것이다(학교 평균이 40점대). 결국 시험 때 임박해서 정리해서는 자신의 실력을 정상급으로 올려놓기 어렵다. 그래서 학기 중에 선행학습을 하기보다는 내신의 완성도를 높이는 공부를 추천할 수밖에 없는 실정이다. 그리고 수학은 단순히 외우는 것이 아니라 논리적인 사고가 필요하기 때문에 정신이 비교적 맑을 만한 평일 초저녁이나 주말 오전에 공부하는 것이 좋다.위의 내용들 중에 실천 못한 내용이 많을수록 결과는 처참했을 것이다. 이런 내용을 깨닫지 못하고 기말을 준비하거나 알더라도 게으르게 살 학생이 많다. 결국 실천에 대한 의지를 불태우고 철저하게 자기관리를 한다면 기적에 가까운 결과를 만들 수 있다. 요즘의 입시에서 내신이 수시모집의 90%를 결정한다고 봤을 때 기말고사의 중요성은 더 강조할 필요가 없다. 마지막으로 잘 해야 한다는 부담으로 공부 계획만 세우지 말고 1분을 아껴가며 공부를 해야 한다는 점을 강조하고 싶다.수준영재수학 학원박수준 원장 2019-04-25
- 중간고사 끝! 부진의 원인을 찾아 도약의 밑거름을 만들자. 중간고사가 끝났다. 앞으로 7주 동안은 시험이 없다. 해방감으로 수련회를 다녀오고 하루하루를 TV시청, 친구들과 놀러 다니기, 노래방, 게임 등으로 진정 무의미한 시간을 보낼 학생들의 모습이 그려진다. 이렇게 보낸 인생이 후회의 시간이 되지 않도록 몇 가지 조언을 하고자 한다.1. 중간고사에서 부진한 과목의 이유를 찾아내야한다.중요과목에서 부진했다면 결국 공부의 깊이와 양이 시험에서 요구하는 수준을 맞추지 못했거나 이 정도 했으면 충분하다는 생각으로 마무리를 느슨하게 했다는 말이다. 부족한 부분을 찾았다면 이를 보완할 방법도 찾아야한다. 영수의 경우 숙제만 간신히 해가는 수준이었을 것이니 5월에는 제발 “복습하는 시간을 계획표에 반영”하기를 바란다. 한 번 본 것이 머리 밖으로 흘러나가지 않도록 철저히 정리하고 암기해야한다.2. 수련회와 가족여행 계획 보다는 기말공부계획부터5월을 수련회, 가족여행, 힐링이라는 이름의 시간 죽이기로 계획을 세운다면 공부에는 크게 관심이 없다는 말이다. 학부모님들도 이 점을 간과해서는 곤란하다. 중고등학교 6년은 놀러 다니면서 만든 추억보다 남다른 노력으로 만든 추억이 먼 훗날 생각해보면 인생에서 가장 잘 했던 일로 기억될 것이다. 모처럼 찾아온 5월의 공휴일은 알차고 보람 있는 휴식의 시간으로 보내더라도 나머지 날은 재충전한 에너지를 발산하는 날로 활용해야할 것이다.3. 선행은 여름방학에, 학기 중에는 심화를선행 공부로 강의를 활용하는 경우가 많은데 단기 완성 강의 보다는 제대로 모두 설명해줄 수 있는 강의를 추천하며, 선행 수업을 효과적으로 진행하려면 “충분한 예습과 철저한 복습”을 해줘야한다. 따라서 5월의 남은 기간에 학교 끝나고 저녁시간만 활용해서 무리하게 선행을 나가는 것 보다는 이 시간에 기말시험 범위를 심화까지 준비해서 성적을 끌어올리는 방법을 생각해야한다. 그리고 심화를 공부할 경우 반드시 교과서를 병행하며 개념을 정확하게 정리할 수 있는 시간을 만들어야한다.4. 몇 시간 공부해야 기말에 성적이 올라요? 효율과 양 중에 뭐가 더 중요해요?단기간의 공부로도 성적이 오르려면 “중학생의 경우 5시간 이상, 고등학생은 6시간 이상”이 필요하다. 책상 앞에 앉아 멍하고 있는 시간이 아니라 실제로 공부를 하는 시간이 기준이다. 수학과 영어는 전체 학습량의 70~80%로 설정해야하는 출혈 경쟁의 과목이다. 수학공부를 할 때 눈으로 보지 말고 스프링노트나 오답노트에 풀기를 권장한다. 즉 다른 과목이 끼어들지 않은 별도의 노트가 필요하다. “중학생은 2주에 1권, 고등학생은 10일에 1권”씩 풀어야한다. 이것으로 충분하다고 말하기는 좀 힘드니 적당히 더 노력해주는 자세가 필요하다.또한 효율성과 질적인 측면도 굉장히 중요하다. 시험에 잘 나오는 제법 어려운 내용과 문제를 깊이 있게 입체적으로 정리해야 성적 상승을 기대하지, 기초 개념과 연산 중심으로 많은 양을 공부해봤자 아무리 많이 해도 기본 점수만 나온다. 그리고 고품질 문제를 다루려면 기본기가 탄탄해야하기 때문에 평소에 학습시간이 많아 질 수밖에 없다.결국 공부는 양적인 투자를 전제로 시험을 내려다 볼 정도의 질까지 해야 성공하는 것이다. 이렇게 답이 간단하기 때문에 공부가 가장 쉬웠다는 말이 나온다.5. 쉬는 시간에 핸드폰이 아닌 가벼운 운동을핸드폰을 만지며 시간을 보내면 공부에 지친 머리가 제대로 쉬지 못한다. 그냥 머릿속이 맑아지도록 가벼운 운동과 샤워로 뜨거워진 머리를 차갑게 만들어야한다.날씨가 가장 좋고 놀기 좋은 5월에 꼭 알고 지켜야할 내용 몇 가지를 적어봤다. 5월을 무의미하게 보내면 반드시 찾아오는 악마가 6월의 슬럼프다. 6월에 찾아오는 슬럼프는 다 자신이 5월에 뿌린 씨앗임을 잊지말아야한다. 자신의 순간적인 편안함에 투자하기 보다는 성공을 향한 열정을 보여주기를 학생들에게 바라면서 이 글을 마친다.수준영재수학 학원박수준 원장 2019-04-25
- 수학을 잘하기 위한 몇 가지 제언 해마다 4월이 되면 전국은 꽃 축제이다. 미세먼지 가득한 도심의 한가운데 벚꽃, 목련, 철쭉 등등은 아파트 화단 어디서라도 불쑥불쑥 피어오르다 사라진다. 그렇게 화려한 4월이 끝날 무렵에야 우리 학생들의 잔인한 시험도 4월과 함께 끝나간다.엠베스트SE 공릉풍림캠퍼스에서 거의 평생을 학생들과 함께 4월을 보낸 나로서는 안타까운 마음으로 왕도가 없다는 공부, 그것도 수학을 잘하기 위한 몇 가지 방법을 전해보고자 한다.#1. “왜”강력한 이유는 강력한 행동을 낳는다. 그런 맥락에서 왜 공부를 잘하고 싶은지를 생각하게 하는 것은 그 어떤 것보다 우선되어야 한다. 그리고 그 이유야말로 우리가 그토록 강조하고 있는 자기 주도를 이끌어 낼 수 있는 단초가 될 것이다.물리적으로나 심리적으로 많은 시간이 주어지는 초등학교 시절이라면 보호자의 역할이 더욱 중요해 진다. 다양한 분야의 다양한 독서이력도 그렇거니와 여행이나 견학을 통하여 새로운 시각과 배경지식을 갖게 하는 것은 그 어떤 자산보다 중요하기 때문이다. 너무도 다양하고 개별적이라 추상적으로 들리겠으나 어떤 경로를 거치든 우리는 흔들리면서 또는 변해가면서 그 왜?에 답할 것들을 가지고 가야만 한다.#2. “어떻게”그럼 어떻게 공부를 해야 성적이 오를까?단원의 제목과 소제목 학습목표를 읽고 중요한 개념과 정의를 확실하게 <이해>하고 <정리>한 후 <암기>한다. 매번 문제를 풀기 전 다시 한 번 훑어본다. 그 이해를 바탕으로 해서 문제를 풀 때에는 <풀이과정>을 모두 기록한다. 모든 풀이과정은 문제에 대한 나의 생각을 기록하는 과정이다. 재점한 후에 문제가 틀렸다고 무조건 지우지 말고 풀이과정의 어느 부분에서 틀렸는지를 찾아내면 내가 잦은 실수를 하는 부분과 개념이 명확하지 않은 부분을 찾아 낼 수 있게 된다. 물론 하루아침에 되는 것은 아니다. 몇 년을 되풀이 하다보면 정말 나의 자기주도가 필요한 시점에는 빛을 발할 수 있을 것이다. 그렇게 문제풀이가 끝나면 오답관리와 유사문제를 통한 적절한 <반복학습>을 한다. 틀린 모든 문제를 오답노트에 기록할 필요는 없다. 그러나 다시 나와도 또 틀릴 것 같은 문제는 한 단원에 5문제에서 10문제 내외로 중요유형을 중심으로 해서 기록하도록 한다. 오답노트를 작성하는 이유는 한 번 다시 풀어보기 위한 것이 아니다. 그 문제를 여러 번 다시 보기 위해서이다. 다시 보지 않는 오답노트는 의미가 없다.#3. “하였나”구슬이 서말 이여도 꿰어야 보배다. 아무리 훌륭한 학습동기와 자기주도 그리고 창의사고력까지 갖춘 인재라 할지라도 꾸준히 노력 하지 않으면 안된다. 일주일이나 한 달을 열심히 하라는 말이 아니라 적어도 초등 고학년부터 중,고등 학생 시절을 모두 열심히 하라는 말이다. 그것이 말이 쉽지 7~8년을 한결같이 최선을 다하기란 정말 쉽지 않은 일이다.#4. 엠베스트SE위에서 언급된 나의 모든 고민은 엠베스트SE 학습 프로그램으로 많은 부분이 해결되었다.어떻게 입시가 바뀌더라도 자기주도에 의한 학습역량 강화는 우리 모두가 바라는 옳은 방향으로의 진일보임에는 틀림이 없다. 엠베스트 프로그램을 도입하고 오랜 시간 티칭에 익숙해진 나는 수업시간만 되면 입이 근질거렸다. 오랜 시간을 유창하고 멋진 말솜씨로 아이들에게 지식을 전달하는 일에만 집중했던 것은 오히려 아이들의 생각을 잠재우게 하는 독이었던 것일까? 생각이 거기까지 머물자 나는 책을 찾기 시작했다. 도널드 핀켈은 말한다.<< 선생님이 말하기를 거부하고 수업시간에 침묵하면 학생이 스스로 생각하고 말하는 놀라운 상황이 벌어진다. 좋은 교육의 목적은 ‘가르침’이 아니라 시간이 지나도 학생이 기억하는 ‘배움’에 있다는 믿음이 있기에 가능한 일이었다 >> 이제는 아이들의 가능성을 믿게 되었다. 내가 무엇을 해 주지 않고 지켜보고 응원해주는 것만으로도 아이들은 성장한다. 또한 적절한 피드백과 방향을 제시해 주고 가야하는 길 위에 함께하며 돕기 위해 내가 있다는 것을 느끼게 된다. 듀이의 교육이념을 실천한 교육계의 조용한 혁명가 핀켈 교수의 교육 혁명이 이곳 저곳에서 조용히 시작되고 있는 듯 하다.엠베스트SE 공릉풍림캠퍼스원장 김진경02) 975- 0331~2 2019-04-25
- 중등 수학 내신 대비법 성적에 따라 내신 대비 전략은 다르다. 우선 자신의 현재 성적과 목표 점수 설정이 먼저다.비현실적인 목표 설정과 자기 객관화가 이루어지지 않으면 좋은 결과를 기대하기 어렵고 결과에 항상 만족스럽지 못할 것이다.1. 내신 대비 시점보통 4주 전부터 주요과목에 대한 내신 대비를 시작하는 것이 일반적이다.특별히 약한 과목(국어, 영어)이 있다면 이때 시작해야 하며 최상위권이 아니라면 수학은 시작하기 바란다.첫 2주간은 최대한 많은 문제를 풀어야 한다. 시험에 가까워질수록 다른 과목(암기과목) 준비를 해야 한다. 2주 전부터는 오답을 다시 풀어보면서 모의고사를 통해 실전 감각을 높인다. 오답은 바로바로 해결하고 또 일정 시간이 지난 후에도 해결할 수 있는지 다시 확인해야 한다.2. 교재 선택여기서 가장 중요한 점은 자신의 실력에 맞는 난이도의 교재를 선택하는 것이다.기준은 그 책에 어떤 문항을 물어봐도 해결할 수 있을 때 다음 난이도의 책으로 넘어가야 한다. 보통의 시중 기본서, 문제 유형서, 심화교재는 각각 세 단계의 난이도로 구성되어 있기 때문에 문제유형서의 최고 난이도는 심화교재의 중간 난이도를 커버할 수준이 된다고 할 수 있다. 따라서 문제유형서 조차 100% 해결을 못한다면 심화교재의 완성도는 떨어질 수밖에 없다. 오답과 관계없이 모든 문항을 2번 정도 풀어보고(시험은 시간 관리도 중요하다) 오답은 3번 더 풀어보면 꽤 높은 완성도가 된다.완벽히 이해한다면 좋겠지만 안 되면 문제와 풀이과정을 외우는 것도 좋다. 어느 날 문득 무릎을 탁! 치면서 깨닫게 될 것이다.3. 공부의 양대략 첫 2주간 400~600문항 정도를 풀어본다. 오답은 다시 풀어보고 반드시 유사문항으로 확인할 수 있도록 한다.실전 모의고사를 보며 부족한 단원과 유형을 확인해야 한다. 대략 시험 전까지 10회~15회 정도를 풀어보고 오답은 반드시 3번 더 풀고 유사문항까지 풀어본다.교재와 모의고사 오답 유사문항까지 대략 800~1000문항 정도 해결하면 어느 지역에서든 90점 이상을 기대할 수 있을 것이다.송명주 원장수학은 어렵지 않아 원장 2019-04-17
- 2020 입시전략 전국에는 197개의 4년제 대학이 있으며 이들 대학은 수시와 정시에서 학생들을 선발하고 있다. 전체적으로 보면 수시의 증가, 정시의 축소로 수치상으로 나오고 있다. 하지만 상위권 17개 대학을 보면 정시의 확대가 눈에 띄게 보이고 있다.2020 입시의 큰 특징은 학령인구의 감소이다. 현 고3의 학생 수는 지난해 56만여 명에서 올해는 무려 6만 명 줄어든 50만 명인데(고2 11월 모의고사 인원수) 감소한 6만여 명은 서울 스무 개 대학의 모집 정원에 해당하는 인원이다. 반면 4년제 대학의 모집인원은 970여 명 줄어들어 상대적으로 과거 입시보다 경쟁이 수월해 질 수 있다. 하지만 학생 수가 감소하였다는 것은 상위 등급을 받기는 어려워졌음을 그리고 수시와 정시의 합격선은 이전보다 하락할 수 있음을 시사한다.또 다른 변수가 있다. 지난해 수능이 크게 어려웠던 탓에 얼마만큼의 재수생이 유입되느냐와 2009년 교육과정으로 치르는 입시로는 올해가 마지막이어서 재도전 학생이 많을 수 있다. 따라서 최종 수능응시 인원은 다소 높아질 우려는 있으며 상위권 경쟁은 여전할 것으로 예상된다.정시 선발 비율은 22.7%로 작년보다 1.1%P 낮아졌다. 하지만 서울 17개 주요대학들의 정시 비율은 20% 이상 확대가 되었는데, 성균관대와 서강대가 각각 12.4%P, 9.8%P 늘었다. 이는 정부의 정시 확대 요구를 받아들인 일부 주요 대학들이 지난해보다 크게 늘렸기 때문이다. 정시 비중 확대는 논술과 특기자 전형을 줄여 나타난 것으로 수시 학생부종합전형 비중은 변동이 없어 논술 전형에서는 경쟁이 많이 치열해 질 것으로 예상된다.적성 전형은 전국 12개 대학에서 실시하는데 지난해보다 다소 증가된 인원을 선발한다. 더욱이 경기지역을 기반을 둔 가천대와 수원대의 경우는 선발규모가 꽤 큰 전형이다.수능 최저학력 기준 변화도 눈여겨봐야 한다. 학교에 따라 새로 최저학력 기준을 만든 곳도, 또 아예 폐지하거나 완화한 곳도 있다. 영어의 경우 수시에선 최저학력기준 충족을 위한 전략과목으로 부상했고 정시에선 산정기준에 따라 당락을 결정할 수 있다.수시모집의 비중이 계속 높아지면서 많은 수험생들이 정시보다는 수시에 집중하는 경향이 안산지역에서는 심하게 강하다. 수시는 아무리 우수한 학생이라도 100% 합격을 장담할 수 없는 불확실성이 높은 전형이다. 따라서 수시와 정시 중 하나를 선택해서 전략을 세우는 것이 아니라 병행하여 준비해야 한다. 수능은 정시에서 절대적인 요소이고 수시에서도 최저학력기준으로 활용되기 때문이다. 수능에서 다소 우위에 있는 재수생에게 밀리지 않기 위해서는 최근수능이 다소 쉬어지는 경향이 있으므로 수능에 대한 대비가 필수적이라 하겠다.최강수학 원장 2019-04-17
- 탄탄한 연산 실력으로 단단해지는 수학 실력 이번 시간의 주제는 덧셈입니다.요즈음 연산의 패러다임이 많이 변화하고 있음을 느낍니다. 이 글을 보고 계시는 우리 어머님들도 변화를 느끼고 계십니까? 패러다임의 변화까지는 모르겠어도 연산의 중요성은 확실히 느끼실 거라 생각됩니다. 어머님들께서 공부하실 때는 덧셈하는 방법이 딱 한 가지 방법밖에 없었습니다. 뒤에서부터 받아 올리는 세로 셈법이죠. 물론 지금도 교과서에는 기본적인 방법으로 가르치고 있습니다. 이 방법이 잘못되었다는 말은 아닙니다. 이런 기본적인 세로 셈법은 당연히 알아야 하겠죠. 하지만 이 방법밖에 없을까요? 그렇지 않습니다. 우리 아이들에게 좀 더 다양하고 창의적인 방법들을 알려주고 어떤 방법으로 더하면 더 빠르고 정확하게 계산할 수 있을지를 고민하게 해서 수학적 사고를 키워주는 다른 방법도 분명히 있습니다.▣ 226 + 199를 어떤 방법으로 더하면 좋을까요?우리 아이들이 수학 시간에 이와 같은 연산 문제를 만나면 어떻게 계산을 할까요?첫째, 빨리 연습장이나 문제 옆의 여백에 예쁘게(?) 식을 세로로 쓰고 받아 올림으로 푼다.둘째, 식을 차분히 읽고 어떻게 계산할 건지 생각한다. 그리고 199를 200이라고 생각해서 200을 더한 후 1을 뺀다.우리 아이들의 선택은 과연 어느 쪽일까요? 어머니들의 마음은 두 번째 방법으로 하기를 바라시겠지만 아마도 첫 번째 방법으로 하는 아이들이 대부분이 아닐까요?수학적인 관점에서 두 종류의 풀이를 비교해보면 엄청난 차이가 있습니다. 그리고 이렇게 서로 다른 방식의 풀이를 생각한 10년 후 쯤, 두 학생의 수학적 능력의 차이는 엄청나지 않을까 상상이 됩니다.한 문제를 더 보겠습니다.▣ 299 + 137을 어떤 방법으로 더하면 좋을까요?가로식을 쓰고 차분하게 개념적으로 생각하는 학생은 299에 1을 더하고 136을 더 더하면 머릿속 계산으로 300 + 136으로 바꾸어 436을 바로 적을 수 있습니다.어떻습니까? 빠르고 정확할 수밖에 없겠죠.이렇게 연산을 배우면 아이들이 재미있어합니다. 그리고 수학적 개념이나 원리를 생각하는 습관이 생깁니다. 우리 아이들의 연산 공부에 수학적 사고력을 심어주십시오. 어머니들의 준비가 우리 아이들의 잠자는 수학적 영재성을 일깨울 수 있습니다. 우리 아이들의 수학 실력을 위하여 공부하고 준비하는 넛지 엄마가 되십시오.지마수학학원최재호 원장 2019-04-03
- 중·고등 내신, 수능 전문 <수학의 창문> 최근 내신과 수능 수학은 하나의 개별적 개념이 아닌 통합적인 사고를 필요로 하는 문제들로 난이도가 점점 높아지는 추세다. 압구정역 근방에 위치한 ‘수학의 창문’ 차부진 원장을 만나 수능과 내신에서 고득점으로 수학 실력을 완성시키는 효과적인 학습법에 대해 들어봤다.창의적 사고력 완성- 마인드맵 개념정리하나의 구체화된 주제를 중심으로 관련된 이론들이 방사형 나뭇가지처럼 연결되어지는 마인드맵은 일반적인 수학의 필기 학습법과는 차원이 다른 학습효과를 이끌어 낸다. 핵심 개념을 중요한 순서에 따라 연결하기 때문에 전체는 물론 큰 개념에서 작은 개념으로 파생되는 섬세한 부분까지 한 눈에 파악할 수 있다.차 원장은 ‘마인드맵을 산과 나무를 동시에 볼 수 있는 학습법’이라고 설명하며 수학적 개념들을 비교분석하고 연결해 정리하다 보면 통합적이고 창의적인 사고력을 기르는데도 효과적이라고 설명했다. “하나에 하나를 더해 둘을 배우는 것이 아니라 마인드맵의 구조적인 학습을 통해 넷이 될 수는 창의적 사고로 발전시킬 수 있다”고 강조했다. 고래와 자동차를 연결시켜 유선형 자동차를 생각하는 것처럼 서로의 개념들을 연결해서 이해하면 새로운 수학적 사고로 발전시킬 수 있다.하나의 펼쳐진 이미지로 정리하는 마인드맵은 많은 수학적 개념을 기억하고 저장하는데도 용이하다. 다차원적인 형태로 개념을 정리하고 기억할 수 있도록 도와주며, 필요할 때 막힘없이 기억된 개념을 찾아서 적용하기 쉬운 장점도 있다. 문제를 해결하기 위해 필요한 개념을 떠올리면 마인드맵으로 저장된 이미지가 머릿속에서 그대로 펼쳐져 문제를 푸는데 어떤 이론과 개념을 적용해야 하는지 정확하고 신속하게 선택하고 선별해서 접목시킬 수 있게 된다.신속하고 정확한 해결- 로드맵 문제풀이마인드맵으로 정리된 개념들을 실제적인 문제풀이에 적용하는 것도 중요하다. 차 원장은 “개념을 정리한 마인드맵이 큰 전지의 지도라고 설명하며, 목적지를 쉽고 정확하게 찾을 수 있는 약도와 같은 역할을 하는 것이 답을 찾아내는 문제풀이 로드맵”이라고 설명했다.정확한 목적이 되는 정답을 찾기 위해서는 일련의 풀이과정을 로드맵으로 도식화시키는 것이 효과적이다. 문제풀이 로드맵에서 가장 중요한 첫 번째 과정은 정확한 키워드를 찾아내는 것이다. 또한 핵심이 되는 가정과 숨어 있는 조건을 암시하는 키워드를 선별해 구분하는 것이 중요하다. 더불어 국어적 해석과는 엄연히 다른 수학적 어휘를 이해하고 다시 해석할 수 있는 능력도 필요하다. 이렇게 해석한 키워드는 수학적 문장이나 식으로 변역하듯 전환해서 자신이 선택한 개념들을 적용시키고 마지막으로 제시된 문제 조건에 부합하는지 다시 확인해 풀어 나가면 정답을 찾을 수 있게 된다.차 원장은 이러한 문제풀이 로드맵은 신속하고 정확한 수학적 접근으로 명쾌하게 정답을 찾을 수 있는 장점이 있다고 강조했다. “문제를 풀어내는 일련의 과정들을 로드맵으로 도식화시켜 학습하기 때문에 함정에 빠지지 않고 정답을 찾아 완벽하게 득점할 수 있을 뿐만 아니라 오답이나 실수를 줄이는 데도 효과적”이라고 설명했다.수준별, 진도별 개별적 1:1 전문지도마인드맵과 로드맵으로 수학을 지도하는 ‘수학의 창문’에서는 모든 수업은 개별 수업으로 진행한다. 차 원장은 “학생들의 개별적 성향이나 수준별, 진도별 상황에 따라 마인드맵을 다르게 작성해야 하기 때문에 일반적인 강의가 아닌 개별적인 지도가 반드시 필요하다”고 설명했다. ‘마인드맵’이나 ‘로드맵’을 적용해서 수학을 학습하는 것은 전문가의 지도가 반드시 수반되어야 한다. 자칫 어설픈 방법으로 개념정리와 문제 적용을 하다 보면 수학에서 가장 중요한 과정과 순서가 뒤죽박죽되어 잘못된 결과물을 얻기 십상이다.‘수학의 창문’에서는 마인드맵 개념정리와 로드맵 문제풀이를 오랜 연구와 끊임없는 노력으로 완벽하게 체계화했다. 명실공이 자타가 공인하는 독보적인 학습법으로 전문적인 수학 교수법으로 완성시켜 왔으며, 이는 매년 수능에서 만점자 배출은 물론 내신에서도 재원생 모두 우수한 성적을 거두는 놀라운 학습 성과로 입증해 오고 있다.문의 010-3431-7022 2019-03-28
- 수학 고등내신 성적을 만드는 방법 미세먼지와의 전쟁 중인 지금 중간고사가 한 달 앞으로 다가왔다. 이제는 시간이 얼마 남지 않았다는 생각에 공부계획만 수정하며 책상 앞에서의 실천은 적극적이지 못할 만한 시기이다. 하지만 중학교 때처럼 공부해서는 좋은 성적이 불가능해서 시험 준비를 위한 최선의 길이 무엇인지 알고 실천해야 할 필요가 있다.1. 고등학교 수학 시험에 대한 총평학교마다 경향이 조금 다를 수는 있지만, 실제로는 교과서의 깊이 있는 개념 이해와 그 활용을 묻는 문제가 핵심이다. 결국 고난이도 문항의 주류가 개념의 심화를 다루어 개념공부를 충실히 한 경우라면 충분히 고득점이 가능하도록 하고, 논점 결합형 문제도 출제되고 있다. 그리고 최상위권을 변별하기 위한 블랙라벨 step3급으로 1~2문제, 1~2등급을 구별하기 위해 블랙라벨 step2와 일품의 고난이도 수준의 문제가 4~10개 정도 출제 되어 그 문항 수가 적도라도 배점이 커서 영향력이 상당하며 시간이 남기 어렵게 구성하는 경향이다.따라서 익숙한 유형의 문제를 먼저 신속하게 해결하고 어려운 문제를 위한 시간을 마련해두었다면 시간 내에 문제를 다 풀 수 있었을 것이다.2. 3등급을 받기 위한 준비기본적인 공부시간 확보가 필요(평일5시간, 주말10시간)하고, 개념정리와 그 활용 연습에 시간을 많이 투자해야한다. 이를 위해 교과서와 쎈 수학 B단계(상문제)를 반복연습하고 이를 바탕으로 개념을 확장시키면서 블랙라벨 step1, 2를 반복 연습하는 것이 효율적이다. 수학시험에 임박해서나 시험 직전에는 최상위 문제(예:블랙라벨 Step3)에 시간을 투자하는 것은 지양해야한다. 그리고 실제 시험 볼 때에는 전략적 접근이 필요하다. 서술형이 배점이 크기 때문에 이 중에서 익숙한 문제부터 정확하게 해결한 다음에 객관식도 해결이 원활한 문제부터 풀어가고, 남는 시간에 처음 보는 문제와 어려운 문제를 해결하는 것이 좋다. 시험이 끝나고 나서 자신의 등급을 떨어지게 하는 원인 두 가지가 ①평소 공부를 게을리 한 것, ②아는 문제 틀린 것이다. 시험을 전략적으로 접근하지 못하면 시간부족, 문제 분석 실수, 계산 실수 등으로 인해 아는 문제도 틀릴 수 있게 된다는 점을 잊지 말자.3. 2등급을 받기 위한 준비우선 최상 난이도를 제외한 모든 문제를 단시간에 깔끔하고 정확하게 풀어야한다.(절대로 실수가 용납되지 않는다. 등급 당 8~9점차이라는 점을 감안하면 5~6점짜리 객관식 한 문제의 실수도 치명적이다.) 심화문제 해결력을 키우기 위해서는 평소에 정리한 쎈(C중요 문제), 블랙라벨(Step2), 일품(고난도, 수능)까지 완벽하게 반복 연습(틀린 문제와 중요하다고 체크해준 문제는 “3번” 정도)해야 한다. 여기에서 “정리”는 “책”에 필기하는 것이 가장 중요하다. 왜냐하면 심화는 나중에 자기 방식대로 해결이 어렵고 해설지를 봐도 독해가 힘들기 때문이다. 그리고 평소 실력이 3등급인 학생은 2등급을 목표로 하는 경우라면 너무 큰 욕심을 부리지 말고, 시험시간을 전략적으로 활용해서 득점력을 키우는 것도 좋은 방법이 될 수 있다.4. 1등급을 받기 위한 준비사실 1등을 목표로 공부해야 1등급이 나오고, 1등급을 목표로 했으나 한 문제 더 틀려서 실패했을 때 2등급이 나온다는 말을 하고 싶다. 공부의 완성도를 높이려면 실제 1등급 학생의 공부 계획에 맞춰 예습, 복습 및 정리하는 것이 무엇보다 중요하다. 따라서 고배점 심화 문제(블랙라벨Step3, 일품 실전마무리와 유사)를 풀기위해 수업시간에 최대한 집중하고 그 내용을 완벽히 이해해야 하며 꼼꼼하게 정리하고 암기까지 해야 한다. 단원이 끝날 때마다 이런 문제들을 정확하게 답안까지 작성해서 감점을 막는 연습이 필요하고, 평소에 다룬 교재의 복습과 오답정리가 완벽할수록 1등급의 확률이 높아질 수밖에 없다.고등학교에 입학 후 등수 올리기가 비교적 쉬운 시기가 1학년이다. 경험과 정보가 부족해서 시행착오를 겪는 학생이 제법 있기 때문이며, 2학년이 되면 성적을 올리기가 정말 어려워져서 방어가 최선이 될 것이다. 마지막으로 잘 해야 한다는 부담으로 공부 계획만 세우지 말고 1분을 아껴가며 공부를 해야 한다는 점을 강조하고 싶다. 사실 ‘1단계 이해→2단계 필기와 정리→3단계 오답정리와 암기→4단계 시험 전날 정리된 내용 리마인드’라는 기본에 충실해야한다. 즉 성실한 실천의 중요성을 거듭 강조하겠다.수준영재수학학원박수준원장 2019-03-28
- 시험 기간 중 자기 관리와 공부 감기와 미세먼지로 컨디션이 좋지 않을 수 있는 이 봄에 시험기간이 시작되었다. 누구나 불안한 마음으로 공부를 하며 초조해지기 마련이다. 사실 지나친 긴장으로 밸런스를 무너뜨리기 보다는 마지막까지 한 글자라도 더 보고 더 외우는 것이 좋지만, 말처럼 쉽지는 않다. 효과적인 마무리를 위한 최선의 길이 무엇인지 모르는 학생들이 너무나도 많아서 조금이나마 도움을 주기위해 이 글을 쓴다.1. 오늘 본 시험의 채점 결과는 빨리 잊자.정오 전후로 시험이 끝나고 채점을 하게 되면 해당과목에 관한 2달간의 평가가 끝난다. 결과는 이미 되돌릴 수 없는 상황이니 부진하더라도 빨리 잊고 내일을 준비해야한다. 집착하다보면 낮 시간을 헛되게 보내게 된다.2. 피곤해서 자고 싶다면 낮잠은 언제 자느냐?집에 들어가면 점심부터 먹는다. 그리고 바로 내일 볼 과목을 시작한다. 아무래도 한 시간 도 안되어 죽을 것 같은 느낌이 오는 순간이 있다. 이 타이밍을 놓치지 않고 바로 자면 된다. 그리고 딱 한 시간만 자야한다. 아무 생각 없이 밥 먹고 바로 누워 자서 3시간씩 자는 학생들이 있다. 참 안타까운 상황이다. 자고 일어나면 머리를 감고 샤워를 해서 잠을 깨워야한다.3. 낮에는 중요과목을 공부하자.심리적으로 여유가 있는 낮에 국영수과를 공부해야한다. 시험범위가 많은 만큼 충분한 시간 확보가 중요하다. 먼저 틀렸던 문제를 정리하고 예상문제를 풀어 본 후 내용을 전체적으로 꼼꼼하게 빨리 읽어야한다. 시험 전날 모든 것을 다 만들 수는 없다. 출제 가능성이 높은 것을 중심으로 철저히 준비하는 것이 광범위하고 얇게 준비하는 것 보다는 효과적이다.4. 저녁식사와 쉬는 시간저녁식사는 본인이 좋아하는 음식을 먹어서 스트레스를 푸는 것이 좋다. 30분 정도를 쓰는 것이 괜찮다. 너무 적게 먹으면 야식의 유혹이, 너무 많이 먹으면 졸음이 우리를 힘들게 하니까 적당량을 먹도록 하자. 앉아서 책만 보다보면 몸이 무겁고 힘들게 느껴진다. 한 시간 공부하고 5분씩 스트레칭과 맨손 체조를 하며, 물을 마셔서 수분을 보충해줘야 한다.(공부도 과학이다!)5. 자는 시간과 일어나는 시간아무리 늦어도 2시 전에 자야한다. 그 이상 하게 되면 아침에 일어나기 너무 힘들고 일어나도 머리가 제대로 돌지 않아 문제가 잘 풀리지 않고 실수할 가능성이 높다. 보통은 아침에 일어나서 4시간 후에 머리가 가장 맑기 때문에 “1:30에 자고 6:00이 일어나는 것”을 추천한다. 아침에 일어나면 전날 공부했던 것 중에 꼭 외워야하는 내용을 정리해야 한다. 이렇게 해야 시험시간에 공부했는데 기억이 잘 나지 않는 현상을 막을 수 있다.필자도 학창시절에 시험기간이면 드링크를 마시고 새벽에 일어나서 공부했지만, 그 때마다 늘 다음 시험은 미리미리 준비해야겠다는 생각을 했었다. 결국 평소에 공부를 제대로 해서 시험 전날에는 체크리스트를 점검하는 것이 매우 바람직하지만, 부족하더라도 효율적인 단기 집중으로 더 좋은 결과를 노려볼만하다고 생각한다. 마지막으로 이 글을 읽은 모든 학생들이 시험을 잘 보도록 마법을 걸어 놨으니 책에만 집중하길 바란다.수준영재수학학원박수준원장 2019-03-28
50대
이상
40대
30대
20대
이하
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