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정시 비중 높아진다는데…수학공부 어떻게 할까?
2020 수학능력시험이 끝났다. 수학능력시험의 출제 경향을 분석하는 것은 과목별 공부법을 알아보는 나침반. 특히 올해는 수학 나형 1등급 컷이 84점, 2등급 컷이 74점으로 예년에 비해 6~10점 정도 낮아질 것으로 예상된다. 수학과목의 난이도가 높아진 것일까? 전문가들은 난이도가 높아진 것이 아니라 달라진 것이라 말한다. 중고등 입시수학 전문학원 ‘종로엠스쿨’ 김정임 원장의 올 수학문제 출제경향 분석을 들어보고 안산 학생들을 위한 맞춤 수학공부 노하우를 알아봤다.킬러문항 사라진 시험지 중상위권 문제 포진“올해 수능 수학은 지난해 입시와는 판이하게 달라졌어요. 12번부터 문제 난이도가 높아진 반면 최고 난이도 문제는 사라졌어요. 상위권 학생들에게는 쉽게 느꼈겠지만 중상위권 학생들은 어렵고 까다로운 문항이 많은 시험”이라고 분석하는 김정임 원장. 특히 몇몇 문제는 소위 ‘노가다형 문제’로 문제풀이 속도가 늦거나 실수를 자주하는 학생들이 빠질 수 있는 함정이 곳곳에 숨어있어 꽤 까다로운 문제도 많았다는 것이 그의 분석이다.김 원장은 “이번 수능문제를 보면서 이제는 확실히 수학 공부법이 변해야 한다는 걸 느겼다”며 “문제만 많이 풀어보면 가능했던 기존의 시험과 달리 원리를 정확히 알고 이해하고 있어야 풀어낼 수 있는 문제들이 많아 입시를 준비하는 학생들은 수능대비에 더 많은 시간을 할애해야 할 것으로 보인다”고 말했다.수학 내신대비? 수능대비? 정답은?그렇다면 안산지역 학생들의 수학공부법은 어떻게 변해야 할까? 김 원장은 “일반적으로 학생들이 수능대비 공부를 시작하는 시점이 고3 여름방학부터, 빠르면 고3 들어와서 시작하는 경향이 많다. 하지만 이렇게 늦게 시작한다면 달라진 수능수학에서 상위권 성적을 내기가 쉽지 않아졌다. 예비고1부터 모의고사 기출문제 풀이를 통해 수능형 문제에 익숙해지고 대비할 필요성이 커졌다”고 말한다.그나마 다행스런 점은 일부 학교들이 내신 문제 유형이 수능형 문제로 변화하고 있다는 점이다. 김 원장은 “최근에 사립학교를 중심으로 중간 기말고사 문제의 유형에 사고력을 요하는 수능형 문제가 등장해 내신 대비하면서도 수능 대비를 할 수 있게 됐다”고 말한다.예비 고1학년들은 난이도가 높아지는 고등수학에 대비해 겨울방학 동안 모의고사 기출문제를 풀어보며 모의고사식 수학문제에 적응해야 하고 예비 고3 학생들은 모의고사 대비를 겨울방학부터 시작해야 한다. 김 원장은 “고3 모의고사에서 최저를 맞출 수 있는 실력을 보여줘야 학교장 추천을 받을 수 있기 때문에 겨울방학은 수능대비 공부계획을 세워야 한다”고 말한다.달라진 고등수학 ‘수학적 사고력’ 키워야지난해 개원한 종로엠스쿨 김 원장은 함현고 상록고 부곡고 등에서 수학교사로 근무했다. 수학교육학을 전공하고 2급 정교사 자격증을 취득한 후 학교현장에서 10여년간 근무하다 수학학원을 오픈한 것이다. 김 원장은 “공교육의 역할과 사교육의 역할은 분명히 차이가 난다. 학교교육이 변화하길 바라며 공교육에서 최선을 다했지만 쉽지 않았다. 즐겁게 가르치고 성장하는 걸 지켜보는 성취감은 학원도 적지 않아 지난해 문을 열었다”는 김 원장. 종로엠스쿨 한 반 정원은 4~5명. 수업은 칠판앞에서 진행하는 판서 수업보다는 그룹과외 형태로 진행된다. 그 때문에 수업에서는 자율과 통제가 적절히 개입된다. 김 원장은 “요즘 학생들은 문제를 읽고 무엇을 질문하는지 이해를 못하는 경우가 많다. 학원교육의 역할은 문제유형별 길잡이를 해 주는 것이다”며 “수학적 사고력 즉 수학근육을 키울 수 있도록 돕는 역할만 하면 된다”고 강조한다.
2019-11-21
- 고등학교 수학 성적 향상의 비법 대다수 학생은 많은 시간과 노력을 수학에 투자한다. 단순한 개념을 암기하고 문제집 몇 권을 풀어본다면 중학교와는 달리 만족한 점수를 받기 어렵다. 어디서부터 잘못되었는지 되돌아보아도 딱히 정답은 나오지 않는다. 좋지 않은 결과에 학교나 학원 강사에게 고민을 토로한다. 이런 학생에게 성적을 올릴 수 있는 조언을 정리해본다.먼저 수학 교과서 목차를 보고 해당 단원의 내용을 연습장에 정리해 보자. 개념을 요약정리하면 얼마나 정확하게 숙지했는지 확인할 수 있다. 처음에는 쉽지 않지만 익숙해지면 수학 체계를 확인하는데도 많은 도움이 되며 앞으로 진행될 개념 학습에도 큰 도움이 된다. 모르는 것을 틀리면 실력이지만 아는 것을 틀리면 실수다. 모르는 것은 배우면 되지만 아는 것을 틀리는 것은 교정하기 어렵다. 실수는 스스로 고치려는 의지가 있어야 한다. ‘머리로만 계산하지 말고 천천히 생각하며 쓰자. 귀찮다고 식을 줄여 쓰지 말자. 긴장하지 말고 침착하게 계산하자.’ 등의 일반적인 내용보다는 실수한 문제들을 모아서 실수한 부분을 찾아야 한다. 괄호를 풀다가 부호 실수를 했는지, 내가 쓴 글씨를 잘 못 알아봤는지 등의 원인을 찾고 고치려는 노력을 해야 한다. 단, 명확한 원인을 찾지 못할 정도로 여러 부분에서 실수라면 학습량이 부족한 것이다. 수학은 학습량이 광범위하여 복습이 쉽지 않다.따라서 이전에 틀린 문제들을 반드시 체크해야 한다. 이를 통해 개념이 정리되며 응용문제에 대한 빠른 접근법과 문제 해결력을 키울 수 있다. 비록 당시에 틀린 문제를 이해하고 넘어갔더라도 시간이 지난 후 다시 풀어보면 또 틀리는 경우가 반복된다. 따라서 문제를 풀고 끝나는 것이 아니라 오답을 체크하고 복습하여 다시는 문제를 틀리지 않도록 정확하게 확인해야 한다. 시험에서의 등급은 남들도 맞는 쉬운 문제를 맞혔다고 올라가는 것은 아니다. 높은 등급을 원한다면 반드시 어려운 문제들을 충분히 고민해야 한다. 물론 어려운 문제는 틀리는 경우가 많지만 고민하는 과정과 답을 유추해가는 과정에서 많은 것을 알아 낼 수 있다. 이와 같은 방법이 많은 시간을 낭비한다고 생각할 수도 있지만 장기적으로는 큰 도움이 되고 효과적인 방법이다.정중연 강사목동 강한수학학원 고등부블랙라벨 수1/수2 검토위원전) 정진학원 고등부 강사전) 송현학원 고등부 대표강사문의 02-2643-1155 2019-11-21
- 2020수능 수학영역 오답률 TOP_10 으로 알아보는 수학공부법 2020학년도 수능 (11.14. 시행) 수학영역에 대한 예상등급 컷은가형이 ·1등급 92점 ·2등급 84점 ·3등급 77점 나 형이 ·1등급 84점 ·2등급 76점 ·3등급 63점 선이다.작년 수능과 비교하면 가형 1등급 컷만 제외하고 전반적으로 하락했다. 가형의 변별력은 좋아졌다.올해 수능수학의 체감난이도 높았고 어려운 시험이었다. 수학과목이 정시합격의 중요한 변수가 되겠다.다음의 오답률 막대그래프를 통해 수험생이 느꼈을 체감난이도와 출제방향을 가늠해보자. (자료: ebsi)가형에서는 킬러문항이 없어지고 중간난이도 문항이 속출하였다.문제 해석에서 걸려 넘어지면 시간을 낭비하게 된다. 개념위주의 새로운 표현이 유형별 학습에 익숙한 학생들에게 혼란을 주었을 것이다.나형은 중간난이도 문항에 대비하는 전략이 많이 필요해 보인다. 개념을 숙지하지 않은 패턴식 수학공부는 앞으로도 통하지 않을 것이다. 문제의 풀이방향은 개념학습을 통해서 터득된다. 암기해 놓은 것들은 혼란만 키울 뿐이다. 차근차근 자신의 생각대로 정리하여 수학문제를 풀 수 있는 능력을 키우는 학습이 되도록 하자.고등부 수학전문학원 목동수학클래스이소이 원장문의 010-5820-6010 2019-11-21
- 미래를 개척해 가야할 우리 아이들 국가신용등급이나 GDP 등을 언급하지 않아도 공항에 가득 찬 해외여행객만 보더라도, 확실히 우리는 20~30년 전에 비해 삶에 대한 고민의 질이 달라졌다. 그런데 자녀의 교육 문제는 아직도 종종 고민에 빠지게 만든다. 시대의 변화가 빠르다보니 국가가 이끌고 부모 개인은 따라가는 모양새다.요즘은 자녀에게 문제가 발생하면 자녀의 잘못을 먼저 살피는 것이 아니라, ‘우리 애는 그런 애가 아니에요. 그럴 리가 없어요’라며 자녀를 무조건 두둔하려는 경향이 강하다. 자녀가 귀한 시대의 당연한 현상이지도 모르겠다. 그러나 부모의 과잉보호가 자녀를 약한 존재로 만드는 건 아닌지 돌아볼 일이다. 요즘 아이들은 대부분 한 자녀 가정에서 부족함이 없는 환경 속에서 성장하고 있다. 그래서인가, 초등학생들이 아파트 평수를 비교하여 친구들을 평가한다는 뉴스를 접하며 부모의 경제적 부가 마치 본인의 것인 양 누리는 10대들의 모습이 부의 축적이 지상 과제였던 기성세대의 가치관을 여과 없이 보여주는 거울인 것 같아 부끄럽다.자녀를 힘들게 살게 하지 않겠다는 부모들의 바람은 이루어질 수 있을까? 재벌 2세들의 안하무인격 태도와 방탕한 생활을 뉴스로 자주 접하며, 이제는 부모가 자녀 교육에 대한 새로운 시각을 가져야 할 때라는 생각을 한다. 그러한 현상이 비단 재벌 2세만의 문제가 아니라는 판단이 들기 때문이다. 기성세대의 고달픔과 희생을 대물림하지 않겠다는 생각은 당연한 것이다. 그러나 자녀의 입시와 취업, 결혼과 양육을 부모가 대신해 줄 수 있나? 부모가 아무리 애를 써도 자녀의 삶은 그들의 몫으로 오롯이 남아있다. 어쩌면 N포세대로 규정되는 그들의 현실은 부모 세대의 현실보다 더 가혹하다. 사회 환경이 다르고 삶의 질과 성공의 기준이 다르기 때문이다.옥스퍼드대는 “2033년 일자리의 46% 사라져-의사(70%) 변호사(48.1%) 역량 AI로 대체” 된다고 예상했다. 부모가 못 이룬 꿈을 자녀에게 투영하는 것은 시대적 난센스이다. 자녀에게 과거가 아닌 미래를 보여줄 수 있어야 한다.양은서 고등부 부원장입실론수학학원문의 031-706-1336 2019-11-19
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수학이 재미있어지는 이유, 사고력과 창의력
시매쓰 수지점은 2000년 초에 개원한 역사와 전통을 자랑하는 정통 사고력 수학학원이다. 많은 학원들이 오픈 후 몇 년 뒤 사라지는 학원업계에서 10여 년 동안 지역 내 학부모에게 인정받으며, 사고력과 창의력을 갖춘 인재를 양성하고 수많은 실적 및 성과를 이뤄내고 있다. 실제로 시매쓰 수지점은 2년 연속 용인시 교육 우수학원으로 지정되고, HME 용인시 1등을 수상하는 쾌거를 이루기도 했다.제대로 된 사고력 교육을 하는 수지점시매쓰 수지점은 시매쓰 수석 강사 출신의 양대종 원장과 실력과 인성을 갖춘 수학 전문가 선생님들이 이끌고 있다. 또한 전문 상담 실장님이 계셔 학부모와의 상담이 조금 더 세심하고 친밀하게 시간에 구애받지 않고 이뤄져 학부모들로부터 좋은 반응을 얻고 있다.무엇보다 시매쓰 수지점은 수학 전문 교구를 이용한 탐구체험, 토론과 발표와 같은 활동수업과 ‘왜’, ‘어떻게’라고 끊임없이 생각하도록 만들어주는 선생님의 발문을 통해 아이들은 창의력과 사고력을 키우고, 생각하는 수학의 재미에 빠질 수 있도록 제대로 된 사고력 수학 교육을 하고 있는 곳이다.수지점의 양대종 원장은 “아이들이 수학에서 재미를 찾기 위해서는 개념을 이해하고 문제를 해결해나가는 과정에서 얼마나 주도적이고 능동적으로 참여하느냐가 중요하다”고 강조하며, “이러한 참여를 끌어내기 위해서는 체계적인 교재와 적절한 교구를 활용한 수업이 이루어져야 한다”고 설명한다. 여러 가지 문제 상황을 다양한 교구를 통해 아이 스스로 직접 체험해보면서 탐구할 수 있는 기회가 주어지는 것과 선생님의 설명만을 듣고 문제를 푸는 것은 큰 차이가 있기 때문. 이렇게 스스로 깨달은 수학적 개념은 확실히 자신의 것이 되며 자기주도학습의 습관까지 만들어지는 것이다. 영재&경시대비반 운영으로 매년 좋은 성과 얻어시매쓰 수지점은 중등반을 운영하지 않고 초등반에 특화되어 있다. 어려서부터 문제풀이와 암기위주의 수학이 아닌 탐구와 융합을 공부하는 사고력 수학을 꾸준히 해온 아이들이 고학년으로 올라갈수록 빛을 발한다. 일찍부터 사고력 수학을 접한 아이들은 문제를 끝까지 포기하지 않고 해결하는 힘뿐만 아니라, 창의력과 사고력을 바탕으로 문제를 해결하는 자신만의 전략을 짜는 능력을 빨리 습득한다.수지점은 사고력 수학뿐만 아니라 초등 저학년은 연산 수업, 고학년은 교과와 서술형 대비 수업을 병행하고 있다. 초등 저학년의 수업은 교구를 활용한 수업으로 주로 이루어지며, 연산 수업 역시 활동자료를 직접 만들어 아이들이 흥미와 재미를 가질 수 있도록 하고 있다.초등 고학년 수업의 가장 큰 강점은 서술형 문제에 대비한 수업을 진행한다는 것이다. 학년이 올라갈수록 아이들이 수학을 어려워하고 흥미를 잃어 수포자의 길로 들어서게 되는 계기가 바로 서술형 문제를 극복하지 못해서다. 이를 캐치한 양대종 원장은 서술형에 강한 아이들로 단련하기 위해 자체 편집한 교재를 만들어 수업시간에 이용하고 있다. 그래서일까. 수지점은 경시대회 수상 성과 및 영재반 합격률이 높다. 서술형과 같은 심화 문제를 다뤄 본 아이들이기에 성대경시대회, HME 등 이름있는 경시대회에서 좋은 성과를 얻고, 다수가 영재반에 합격하는 것은 어찌보면 당연한 결과라 할 수 있다.수지점은 경시대비반을 학년별로 나눠 대회를 앞두고는 본격적으로 기출문제 및 예상문제를 통해 대회에 철저히 대비하고 있다. 또한 테스트를 통해 들어갈 수 있는 기프티드반을 운영해 아이들에게 동기를 부여하고, 각 학교 및 대학의 영재반 입학을 위해 영재대비반을 개설해 특강을 하는 등 최상의 1% 수학 영재를 길러내기 위해 양 원장을 비롯해 선생님들이 열정을 가지고 정성을 다해 수업에 임하고 있다. 다양한 학원 행사로 수학에 대한 동기부여시매쓰 수지점은 4컷 만화대회, 수학 독서감상문대회, 칭찬 달란트 시장, 우수교재 및 수학저널 수상자 등 다양한 행사를 통해 아이들에게 학원이 재미있는 곳이고, 과제 및 수학을 더 잘하고 싶은 동기를 부여하고 있다. 수상자에게는 특별한 선물이 주어지는 만큼 아이들에게 확실히 도전할 만한 승부욕을 자극한다.또한 수지점은 다년간의 경험을 지닌 양 원장을 비롯한 3명의 선생님들은 최고의 수업을 위해 매주 세미나를 열어 함께 스터디를 하고 의견을 나눠 가상의 수업을 해보는 등 철저히 수업 준비를 하고 있다. 이러한 선생님들의 노력과 연구하는 열정이 있었기에 오랜 기간 학생들과 학부모들에게 사랑받는 최고의 학원으로 자리매김할 수 있었다.
2019-11-19
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정확한 진단과 분석, 수학 등급 달라져
예비 고3과 예비 고2에게는 지금부터 다음 1학기까지가 수학을 완성하고 등급을 올릴 수 있는 아주 중요한 적기이다. 특히 예비 고3이라면 수학 등급을 올릴 수 있는 마지막 시기이기도 하다. 따라서 지금 현재 나의 수학 실력이 어느 정도이고, 또 어느 부분에 구멍이 있는 지 정확한 진단이 필요하다. 수험생들과 학부모들이 가장 많이 하는 실수가 바로 정확한 진단을 하지 못한다는 것. 이름난 대형 강의만 쫓아다니거나 잘못된 방법으로 틀리는 유형의 문제만 반복적으로 풀다가 이 중요한 시기를 아쉽게 보내는 경우가 많다. 구반포에 위치한 ‘디엑스수학학원’은 이에 대한 해결책을 제시하고 있다.자체 개발한 프로그램, 방대한 데이터 축적12년 동안 구반포에서 중·고등 수학 강자의 자리를 지키고 있는 디엑스수학학원은 다른 학원에서는 찾아볼 수 없는 시스템으로 운영되고 있다. 서울대 공대 출신인 김나래 원장의 오랜 현장 경험과 전공이 결합된 프로그램으로 학생들이 제출한 수학문제 풀이를 데이터로 입력해 필수적인 풀이과정이 있는지, 누락된 풀이과정이 있다면 어떤 수학적 개념이 부족한 것인지, 또 계산에서 실수를 한 것인지, 혹은 하위 개념이 제대로 잡혀있지 않는 지에 대한 분석결과를 얻을 수 있게 만들었다.마치 병원에서 전신 CT를 찍어 어느 부분에 병이 생겼는지 분석하듯이 학생들의 풀이과정을 통해 필수적인 수학 개념, 이와 관련된 하위·상위 개념과의 연관, 자주 틀리는 유형 등 학생의 현재 수학 실력에 대한 정확하고 분석적인 진단이 가능하다.직접 풀이과정을 쓰는 밀착 클리닉 수업디엑스수학학원에서는 자체 개발한 프로그램을 2013년부터 사용, 학생들의 실력을 보다 면밀하게 분석하고 부족한 부분은 보완해 매년 눈에 띄는 성과를 내고 있다. 인근 반포중학교, 세화고, 세화여고, 서문여고, 서울고 등 내신 경쟁이 치열한 학교에서 수학등급 4~5등급이었던 학생이 2등급 이상으로 뛰어 오른 경우가 대부분이다. 수학에서 등급이 올라가기란 다른 과목보다 훨씬 어려운 점을 감안하면 단기간에 등급이 2~3단계가 오른 것은 확실히 눈에 띄는 성과이다.디엑스수학학원 프로그램 특성상 모든 문제를 반드시 단계를 밟아 풀이과정을 직접 써야한다. 풀이과정을 직접 쓰면서 학생들은 자신이 어느 부분을 모르는지 알게 되고, 또 누락된 풀이과정을 찾아내 부족한 수학 개념을 보강할 수 있다.막연하게 문제에 대한 답을 맞혔는지 틀렸는지에 대한 진단에 머물지 않고 맵핑(mapping)을 활용하기 때문에 부족한 부분에 대한 보강이 보다 명료해진다. 그만큼 밀착된 클리닉 수업이 가능하다.예비 고3 수학 자물쇠 반, 12월 개강오는 12월부터 예비 고2와 고3을 대상으로 한 수학 자물쇠반이 개강한다. 확실한 등급 상승을 위한 내신대비 수업과 과목별 데일리 테스트, 일대일 첨삭 지도 수업으로 진행된다.김나래 원장은 오랫동안 학생들을 지도하면서 많은 사례들을 보아왔다고 한다. 무수한 사례를 통해서 수학 실력이 뛰어난 것과 시험에서 100점을 맞는 것은 별개라고 말한다. 즉, 수학 실력이 1등인 학생이 시험에서 반드시 100점을 맞는 것이 아니라는 것. 시험에서 100점을 맞기 위해서는 평소 문제를 풀 때 마치 해설서나 정답지의 풀이과정을 그대로 옮겨 놓은 듯 꼼꼼하게 쓰면서 공부하는 훈련이 필요하다고 한다.단순히 수식으로만 풀이과정을 쓰는 것이 아니라 단계를 넘어갈 때 필요한 접속사, 어떤 개념을 적용해서 수식을 세웠는지에 대한 설명까지 함께 쓰면서, 정답지를 그대로 옮겨놓은 듯 풀이과정을 쓰면서 공부하는 학생이 반드시 시험에서 100점을 맞는다고 한다.이렇게 공부하게 되면 남들보다 더 많은 문제를 풀지 않아도, 더 높은 성적을 받을 수 있다고 한다.문의 02-537-0650, www.mydxmath.com
2019-11-14
- AMC 10, AMC 12(미국 수학 경시)의 출제 경향과 그 효율적 준비 방법 AMC는 미국 수학 협회(MAA) 산하 AMC위원회에서 주관하는 미국 공식 수학 경시 대회이다. 오늘은 이 시험을 앞두고 준비 중인 학생들을 위해, AMC 출제 경향과 문제 성격을 분석하고, 이에 맞은 준비 방법을 알려 주고자 한다.첫째, 이 시험은 그간 AMC에서 과거에 냈던 문제와 출제했던 문제와 유사하거나 같은 문제는 다시는 재출제하지 않는다. 둘째, 문제를 보자마자 답을 바로 구할 수 있는 즉흥적이고 공식 대입적인 문제는 전혀 출제되지 않는다. 만만치 않은 계산 과정을 거친 연후에야 답을 구할 수 있는 문제가 대다수를 차지한다. 셋째, 한 문제 한 문제가 깊은 사고 과정을 거쳐야 최종 답에 도달할 수 있는 생각을 바탕으로 한 내용이 주를 이룬다. 넷째, 많은 문제에는 풀이 과정상 빠뜨리기 쉬운, 착각하기 쉬운, 걸려 넘어가기 쉬운 갈고리 같은 것이 숨겨져 있다는 사실을 알아야 한다. 다섯째, 제공되고 사용해야 할 계산 숫자들은 비교적 평소에는 익숙지 않은 숫자들의 구조를 지닌 경우가 많다. 여섯째, 도형 또한 평소에 보기 힘든 예측 불가능한 형태가 많고, 또한 도형 자체를 시각적으로 직접 보여주지 않고 이를 말로만 설명하여 제시하는 경우가 많다. 일곱째, 문제의 순서 및 배치는 일반적으로 비교적 쉬운 문제부터 점차 어려워지는 순서로 배열하나 한두 문제는 순서가 서로 뒤바뀐 듯한 배치로 약간 당황스러운 경우도 있다. 여덟째, 문제 상황을 미국 실생활과 연관 지어 놓아 친근한 듯하지만, 오히려 헷갈리게 느끼는 경우가 많다. 특히 미국 생활 풍습 등에 어두운 아시안 학생들에게는 더욱 불리하다. 아홉째, 학교 교과 과정에서 접하는 일반 학과 내용보다 한 차원 높은 경시 수준의 전문 수학 지식, 표현 그리고 공식 등이 적용되는 경우도 다수 포함된다. 열째, 각 시험에 따라 다르기는 하지만, 난이도가 해를 거듭할수록 약간씩 어려워지고 복잡해지는 경향이 있다.이상으로 AMC 문제 특유의 열 가지 성격과 경향을 정리했다. 이렇게 제시한 시험 성격을 바탕으로 모든 문제를 처음으로 접하는 상황으로 인식하고, 풀려고 하는 문제를 차분히 읽고, 또 읽어가며 문제의 핵심 의도부터 완벽히 이해한 연후에 깊은 생각으로 풀어 나아가겠다는 마음의 자세를 갖는 일이 가장 중요하다.박상현소장수학훈련센터문의 02-529-8808 2019-11-14
- 수학은 산수가 아니다! 산수에서는 연산이 가장 중요한 근간이지만 수학에서는 연산이 핵심은 아니다. 수학의 핵은 각 과정의 정확한 개념이해와 원리 파악 및 그것을 이용한 논리 추론이 근본이다. 로그를 배웠으면 로그가 무엇인지, 로그는 왜 사용하는지, 로그의 원리는 무엇인지를 알아야 하는 것이 우선이지 단순 더하기 빼기 곱하기 등의 문제가 아닌 것이다. 물론 연산이 약하고 실수가 잦으면 답을 구하는데 문제가 생길 수는 있으나 그건 지엽적이지 연산이 안 되니까 로그를 못 하는 것은 아닌 이치다. 수학의 수준이 올라가고 다양한 과정과 분야를 깊이 다루려면 단순 연산을 넘어서 각 단원의 이치와 원리를 제대로 이해하고 개념을 완전히 자기 것으로 만드는 충분한 이해가 우선이고 필수다.그런데 연산 실수가 잦아 수학성적이 안 올라간다며 연산 연습을 따로 시키고 연산 문제집을 풀리면서 수학이 잘 안 되는 희생양을 애꿎은 연산에서 찾는 선생님과 부모님들이 많다. 안타깝다. 절대 하지 말아야 할 무지한 대응이다. 이렇게 연산 실수를 없애고자 아이를 연산 연습으로 잡는다면 심각한 부작용이 아이를 덮친다. 바로 연산 증오증시다.연산을 극단적으로 싫어하고 회피하려는 연산 트라우마다. 이번에도 또 연산 실수를 하면 어떡하지? 숫자를 잘못 보면 어떡하지? 더하기를 빼기로 착각하면 어떡하지? 라는 쓸데없는 여러 염려와 걱정이 머리를 짓누르니 더 실수하게 되는 악순환에 빠지고 그로인해 다시 연산의 늪에 빠져 결국 제대로 된 수학 공부는 물 건너간다.명심하자! 수학에서 가장 중요한 것은 연산이 아니다. 연산은 그냥 연산일 뿐이다. 인간은 무오류의 신적인 존재가 아니기에 연산 실수는 누구나 늘 할 수 있음을 받아들여 연산 실수라는 코앞에 티끌보다 수학이라는 큰 나무와 숲을 보며 진정한 수학의 세계에 빠지기 바란다. 연산실수에 초연하며 원리와 개념을 이해하는 진정한 수학에 매진하다 보면 어느새 연산 실수는 줄어들고 확연히 개선된다. 그렇게 산수를 넘어 수학을 완성하는 것이 가장 현명하고 지혜로운 수학 1등급의 지름길이다.김필립원장김필립수학전문학원문의 02-552-5502 2019-11-14
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3등급 상승은 기본, 증명으로 ‘킬러 문제’까지 한 큐에 잡는다!
대치에서 출발, 올 1월 노원 수업을 개강한 ‘SKY미래연’, 채 1년이 되지 않았지만 거의 모든 재원생의 성적을 올리며 거침없는 상승세를 타고 있다. 수학을 잘하려면 먼저 개념을 확실히 해야 한다는 것은 누구나 아는 사실이다. 그렇지만 학생마다 받아들이는 속도 차가 달라 공식과 유형을 암기해서 푸는 학생들이 늘 생긴다. 이들은 어느 순간 다 외울 수 없는 양이 되면 ‘수포자’가 되어 버린다. 공식을 암기 없이 증명으로 이해시켜 평균 정도의 지능이라면 누구나 성적을 올릴 수 있다는 홍근중 원장을 만나 원리로 정면 승부하는 학습법에 대해 들어보았다.1개월은 ‘원리 증명’ 칠판수업, 1개월은 ‘개별 맞춤’ 케어수학은 암기과목이 아니라고 하지만 암기해서 푸는 학생들이 상당수다. 예를 들어 삼각형의 넓이를 어떻게 구하냐고 물어보면 대부분의 학생들이 밑변×높이×½이라고 쉽게 대답한다. 하지만 왜 그렇게 푸느냐고 물어보면 명쾌하게 설명하지 못한다.홍 원장은 “수학을 공부할 때 어느 정도 공식을 암기하도록 권장하는 경우가 많습니다. 하지만 저는 공식을 잊어버리라고 합니다. 최대한 원리 위주로 이해하고, 그 공식이 나올 수밖에 없는 이유를 스스로 도출해봐야 그것과 관련된 유형이 보이고 왜 그렇게 풀어야 하는지가 보입니다. ‘근의 공식’의 경우 꼭지점 안에 대칭축과 판별식이라는 논리가 들어 있는데 이것을 무조건 외운 학생들은 2차 방정식의 핵심을 이해하지 못한 채 문제를 풀고 있는 것입니다”라며 단순 공식 암기의 위험성에 대해 지적한다.여기서 SKY미래연의 독특한 수업방식이 탄생했다. 학기가 시작되면 먼저 한 달간 개념 원리에 대한 칠판 수업이 진행된다. 증명을 보여주고 대표 유형 문제를 풀게 해서 이해도를 체크한다. 이 과정을 4~5번 반복한다.“기존 정의들이 너무 어렵게 해설되어 있어서 저만의 방식으로 재해석해서 간단명료하게 들려줍니다. 논리적 순서에 따른 개념 정의를 지속적으로 들으면 7~8등급 학생들도 어렵지 않게 기억하게 됩니다. 이처럼 공식이 나의 신체의 일부처럼 체화되게 합니다.”이후에는 개별 케어 수업이 시작된다. 배운 과정의 기본 문제를 모두 차출해서 테스트를 보고 학생별 틀린 문제에 따라 별도 관리하는 방식이다.?이처럼 원리가 완성되고 나서 1:1 맞춤 케어가 들어가는 순차 구조로 킬러 문제까지 한 번에 접근, 실질적인 실력 향상을 이끈다.# Case1> D고2 홍00 6등급 → 2등급 (8개월 수강)중학교 때 수(상), (하) 끝내고 갔는데 고1 때 6등급이 나옴. 중3 때 고등 수학을 병행하면서 중학 성적까지 떨어진 케이스, 1학년 겨울방학 때 와서 고2 1학기 2등급으로 상승# Case2> H여고2 김00 3등급 → 1등급 (6개월 수강)<이탤릭체>유형을 암기해서 문제를 빨리 푸는 것에는 익숙하지만 킬러 문제에 자신이 없었던 상황. 공식을 증명하고 원리를 이해한 후 6개월 만에 1등급 달성고등 ‘1등급’ 원한다면 중등 ‘현행’ 완성이 먼저다중등 때 고등 수학을 다 끝냈다면 고1에는 1등급이 나와야 당연해 보인다. 하지만 이런 경우는 많지 않다. “이 지역에 와서 기본적인 수식 운용과 논리 과정이 없는 학생들을 많이 만났습니다. ‘왜 이렇게 풀었어?’라고 하면 ‘선생님이 그렇게 풀어줬어요’라든지 ‘해설지에 그렇게 써져 있어요’라고 대답합니다. 식이 전개될 때마다의 논리가 납득이 안 되어 있는 것이죠”라며 문제집 A단계까지 한걸 했다고 생각하지 말고 수식을 내 팔다리처럼 자유롭게 활용하는 방법을 알고 진학하는 것이 중요하다고 강조했다.# Case1> J중3 최00 50점 → 84점 (6개월 수강)2학년 수학이 50점 대, 함수의 좌표도 몰랐지만 중3 2학기 기말고사 84점까지 상승# Case2> N중2 정00 64점 → 90점 (4개월 수강)공식의 의미를 알지 못하고 문제집만 반복해서 풀다 식을 이해하게 되면서 26점 상승문의 : SKY미래연수학학원 02-939-5617
2019-11-14
- 예비고2, 예비고3을 위한 수학공부법과 겨울방학의 중요성② 수학은 시간보다는 학습량으로 공부계획을 세우는 것이 바람직하다. 공부할 때 전력투구할 수 있도록 목표를 구체적인 양으로 잡는다. 처음 적응기간 3주 정도는 준비기간으로 활용하여 습관이 몸에 잘 형성되도록 주의를 기울여보자. 모든 과정을 낱낱이 기록하며 나아간다. 이때 자신의 학습능력에 대한 데이터축적이 이루어진다. 우리가 먼저 계획을 세우는 것은 실천력을 키우기 위함임을 명심하자. 강한 자기통제능력을 키워야 하는데 이때 미리 적힌 대로 행동하지 않으면 우리의 뇌는 습관적으로 반응하고 감정적으로 편리한대로 이끌어버린다는 것을 알아두자.습관이 된 뇌의 선택과 나의 의지의 선택이 계속하여 충돌하고 있는 것이다. 이때 나의 계획과 실행정도를 주변에 알리면서 더욱 구속력을 강화시키는 방향으로 나아가면 좋다.4, 수학공부 할 수 밖에 없는 환경 만들기(물러서지 않기)공부가 잘되는 환경을 만드는데 힘써야 한다. 그러한 장치들이 많이 필요하다. 나 혼자서는 실천하기도 어렵고 금방 약해지기 쉽다. 당연하다. 그럴 때 마음을 단단히 잡고 할 수 있도록 해줄 수 있는 것들이 얼마나 있는지 점검해보자. 목표나 공부계획, 실행정도는 보여 질 수 있도록 방향을 잡을 때 성공률이 높아진다. 혼자서 고립되어지는 수학공부가 아닌 그룹을 만들어 서로 협력, 경쟁하며 공부를 해나간다면 훨씬 더 효율적이고 강한 학습을 실천해나갈 수 있다. 수학과목의 속성이 그렇다. 서로간의 벌어지는 격차는 경쟁을 유도하고 이를 완화시키려는 노력으로 역동적인 수업환경을 꾸려갈 수 있다면 좋을 것이다.5, 겨울방학은 수학성적을 묵묵히 향상 시킬 수 있는 아주 좋은 기회다. 수학은 강한 목표의식과 동기부여를 통해 단숨에 실력을 잡는다는 생각으로 전력투구하여야 효과가 좋다.예비고3이라면 특히 겨울방학에 수학공부를 거의 끝낸다는 생각으로 공부하자. 빠르게 요점을 간추리면서 학습해야 한다. 시간이 많이 걸리는 어려운 문제는 따로 적어가지고 다니면서 자투리 시간을 이용해 스스로의 생각을 정리하고 책상 앞에 앉으면 머뭇거림 없이 바로 실행에 옮길 수 있도록 하자. 또 예비고3의 경우 기출문제를 통해 시험의 방향성을 읽으면서 하는 효율적인 수학공부를 하도록 하자. 문과생이라면 차분하게 개념정리를 하고 자연스런 풀이방향을 기억하는 공부가 도움이 될 것이다. 이과생이라면 수능시험에서 준 킬러문항 수가 증가하면서 헤매지 않고 깔끔하게 풀어낼 수 있는 계산력이 많이 요구되고 있음을 기억하고 수학풀이노트를 만들어 철저히 관리하도록 하자. (풀이는 자세하게 분석적으로 기록해야 개선이 된다. 여백도 많이 남겨두자. 나중에 풀이를 더 보완할 수 있다.)6, 예비고2라면 한 학기 분량을 완벽히 마스터하는 수학공부법이 적합하다.그렇게 하면 학기 중에 나머지 과목을 마저 공부할 자신감과 여유를 확보할 수 있다. 한번이라도 성공을 해본 사람이 계속하여 성공하게 될 확률이 높다. 사실 한 학기 분량의 공부만 해도 벅찬 이유가 있다. 수학개념들 간의 연결을 제대로 시키다 보면 여기저기 빈틈이 많이 메 꿔지는 공부를 할 수가 있다. 또, 다양한 문제풀이를 통해 서로 다른 개념으로 포장된 똑같은 알맹이가 든 문제에 대비할 수가 있다. 사실 수학개념공부는 그렇게 시간이 많이 걸리는 분야는 아니다. 정확하고 논리적인 문제풀이 능력을 진단해보아야 앞으로의 수학시험에 대한 성공 정도를 가늠해볼 수 있다. 수학문제들에는 반드시 알고 풀 수 있어야 하는 수학교육과정 내에서 출제되는 문제가 있고 변별력을 위해 출제되는 누구에게나 어려운 문제가 있음을 명심하자. 지나치게 어려운 문제에 대한 접근법은 혼자서 해결하면서 너무 많은 시간을 쏟아 붓기보다는 단계적인 도움을 받는 쪽으로 길게 가야 더 효율적인 수학공부가 된다.입시수학은 결코 머리싸움이 아니다. 오히려 자신의 약점을 잘 이해하고 자만하지 않는 마음이 수학고득점을 얻는데 필수요소이다. 시험점수는 순간의 판단으로 결정되는 것이 아니라 오래 단련된 습관의 힘으로 싸우는 것임을 명심하자！고등부 수학전문학원 목동수학클래스이소이 원장문의 010-5820-6010 2019-11-14
50대
이상
40대
30대
20대
이하
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