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- 중등 수학, 합리적으로 생각하는 방법 익히기 초등수학 실력이 중등수학 실력으로 연결될 수 있을까? 초등학교 시절에는 줄 곧 90점 100점을 맞아오던 아이가 중학교 들어가서는 제 실력을 발휘하지 못한다고 고민하는 학부모들이 많다. 초등학교 수학실력이 중학교에도 이어질 수 있을 것이라는 생각은 어떻게 보면 학부모들의 기대에 불과하다. 현재 초등 시험에서 수학 점수가 90점이 넘는 학생들의 비율은 80%가 넘는다. 하지만 중학교로 진학하면 상황은 달라진다. 중학교 시험에서 수학 A 등급(90점 이상)을 받는 비율은 약 20% 남짓. 초등학교 시절 비슷한 점수를 받아오던 아이들이 중학교에 진학하면서 점수 차이가 크게 벌어지게 된다. 그 간격을 극복하기 위해서는 초등 수학과 중등 수학의 교육 목표 차이부터 제대로 이해할 필요가 있다. 어려워지고 깊어진 중등 수학에서 좋은 성적 거두기 위해 어떤 노력이 필요한지 짚어봤다.수학은 합리적인 생각을 키우는 학문전문가들은 수학을 어려워하는 이유 중 하나는 수학이라는 학문의 특성을 이해하지 못하는 데에서 기인한다고 지적한다. 안산 하이츠 수학 이재성 원장은 “수학은 추상적인 학문이다. 초등수학에서는 수의 개념을 설명할 때 구체적인 사물을 대입해 연산을 풀어내지만 중등수학에서는 여기에 머물러 있으면 안 된다. 결국 수학은 추상적인 영역에서 합리적인 사고를 이끌어가는 학문이기 때문에 무엇을 구하려고 하는지 질문을 확실히 하는 것이 아주 중요하다”고 말한다.문제 해결을 위해 구체적인 사고의 진행 방법을 익히는 것이 바로 중등 수학의 핵심이라는 것이다. 수학 문제를 풀어갈 때는 가장 먼저 무엇을 묻는지를 파악한 후 문제에서 주어진 조건을 확인하고 문제를 푸는데 필요한 공식을 찾아내는 것이 선결되어야 한다. 이어 공식에 대입해 문제를 풀고 요점을 정리한 후 다른 풀이법에 응용할 수 있는 능력을 키우는 과정으로 진행된다. 이렇게 6단계 문제해결 교육법으로 수학 공부를 진행하는 곳이 바로 하이츠 수학이다.하이츠 수학 이 원장은 “헝가리의 수학자 폴리아가 ‘어떻게 문제를 풀 것인가’라는 수학교육 저서에서 주장한 문제해결 교육법에 기반 해 하이츠수학이 체계화한 이 교육법은 구체적인 사물의 연산만 훈련해온 초등생들이 어떻게 수학에 접근하고 문제를 풀어내야 하는지 생각을 전환하는 역할을 한다”고 강조한다.생각 나누며 새로운 풀이법 찾는 STEAM형 수업하이츠 수학에서는 초등학교부터 사고력을 확장 교육법을 도입해 운영하고 있다. 초등학생을 대상으로 월 1회 진행하는 스팀(STEAM) 수업이 바로 그것이다. 반별로 팀을 구성해 심화문제 제시하고 팀별 토론을 통해 정답을 찾아가는 방법으로 진행된다. 주어진 문제는 단순한 계산 문제가 아니다. 실생활과 연관된 문제에 사회 과학 통합유형의 문제가 출제되며 학생들은 자신이 알고 있는 모든 공식 논리를 동원하고 친구와 함께 문제를 풀어낸다.이 원장은 “수학은 혼자 계산하며 풀어야 하는 것으로 알고 있지만 스팀형 수업을 통해 아이들은 사고력을 키우고 서로 협력하며 문제를 푸는 방법을 배운다. 이 수업을 통해 몰랐던 개념을 정리하기도 하고 혼자하는 문제풀이보다 즐겁게 이뤄지기 때문에 수학의 흥미를 갖게 하는데 중요한 역할을 한다”고 강조한다.스팀형 수업을 통해 개념을 정리하고 논리적으로 발표하고 서술하는 훈련은 초등 서술형 문제풀이에도 도움을 줄 뿐만 아니라 이후 수리 논술 시험도 대비할 수 있다.겨울방학, 새 학년 수학 성적 좌우겨울방학을 어떻게 보내느냐에 따라 새 학년 수학 성적이 좌우될 만큼 중요한 시기다. 특히 상급학교에 진학하는 초등 6학년이나 중학 3학년 학생들에게 겨울방학은 앞으로 3년의 수학실력이 좌우될 만큼 중요한 시기다. 하이츠 수학 이 원장은 “새롭게 배우게 될 예습도 중요하지만 지난 학년의 철저한 복습도 필요하다. 초등 6학년은 5학년 6학년에 배웠던 기본 개념들을 정확히 기억하고 있는지 확인해야 하고 중 3학년은 고등학교 진학 전 가장 중요한 개념인 방정식과 함수에 대한 개념을 명확히 하고 고등과정을 준비해야 한다”고 강조했다.또 여름방학보다 상대적으로 긴 겨울방학동안은 학원 겨울방학 프로그램을 확인해 공부하는 습관을 들이는 것도 중요하다. 하이츠수학에서는 1월 6일부터 26일까지 한 달간 겨울방학 특강을 운영하고 있다. 2016-12-29
- 불수능 시대 수학 탄탄한 기초로 정복한다 수능 영어가 절대평가로 바뀐 후 수학과 국어과목에서 변별력이 강해지는 추세다. 올해 수능 전 과목 만점자가 단 2명으로 지난해에 비해 크게 줄어든 가운데 수학 만점자도 찾아보기 쉽지 않다. 전국적으로 수능 가형 만점자는 133명(0.07%), 나형 만점자는 534명(0.15%) 인 것으로 최종 확인됐다. 어려운 불수능의 관문에서 수학 만점을 받아낼 수 있었던 비결은 무엇이었을까? 겨울방학 수학공부 계획을 세우는 고등학생들을 위해 그들의 공부법을 알아봤다.꼼꼼한 기초, 수능 만점 밑거름지난 수학능력시험에서 수학 만점자 2명을 배출한 ‘안산 최강수학학원’. 가형과 나형에서 각각 1명씩 2명이 수학 만점을 받았다. 안산 최강수학은 이들 외 올해 수능을 치룬 입시생 10여명 중 만점자 2명을 포함한 7명이 1등급을 받을 정도로 성과가 아주 좋았다. 이들이 수학에서 강한 면모를 보일 수 있었던 이유는 뭘까?최강 수학 최동조 원장은 “서두르지 않고 꼼꼼하게 기초를 다진 덕분”이라고 말한다. 입시를 목전에 둔 고3들에게 그가 가장 강조하는 말은 “급하게 생각하고 기출문제만 푼다고 수능 점수가 올라가진 않는다”는 점이다. 그동안 배워 온 수학의 모든 과정을 자신이 잘 알고 있는지 점검하고 가장 확실하게 나의 것으로 만드는 과정이 가장 필요하다는 것이다.수학 만점을 받은 학생들도 이 과정을 충실하게 거쳤다고 말한다.“수학의 공식을 단순히 암기하는 것이 아니라 자신만의 방법으로 증명해 내면서 기초를 튼튼히 하는 과정을 진행했을 때 어떤 형태의 문제를 만나든지 자신있게 풀어나갈 수 있다”고 강조한다.쉬운 문제 중심으로 풀어 개념을 정확히자신만의 공식이 정리 된 후에는 기초가 잡혀질 때까지 쉬운 문제 중심으로 기출문제 풀이에 도전하는 것이 좋다. 최 원장은 기초다기지 과정 중 하나도 쉬운 기출문제 풀이를 권했다. “기출문제 중 3점짜리 문제는 그 영역의 정확한 개념을 이해하고 있는지 묻는 문제다. 3점 문제 중심으로 문제를 풀면서 내가 정리한 공식과 개념에 오류가 없는지 확인해야 한다. 그 과정이 끝난 후에야 난이도가 높은 4점 문제 풀이에 도전해야 한다”는 것이다.개념에 대한 정확한 이해가 되지 않은 상황에서 난이도가 높은 문제를 풀게 되면 개념이 뒤죽박죽되어서 오히려 혼란이 올 수 있다는 것이다. 주로 고난이도의 문제는 여러 영역에 걸친 문제인데 정확한 개념과 공식이 명확하지 않은 상황에서 섣부르게 풀이하다 오히려 독이 될 수 있다고 조언한다.마인드맵 형 사고확장 공부법 ‘계통수학’공식정리와 개념정리가 확실히 끝났다면 사고력을 확장해 고득점 전략을 세울 수 있다. 고3 수험생이라면 3월까지 공식 검증을 통해 기초를 다진 후 주어진 조건이 문제에서 어떻게 활용되는지 마인드 맵처럼 사고를 확장하는 ‘계통수학’식 공부방법이 효과가 크다. 최 원장은 “문제풀이에만 매몰되다 보면 문제가 외워지고 그 풀이법까지 외워진다. 이런 경우 기출문제 풀이에서는 점수가 잘 나올 수 있지만 실제 모의고사를 보면 점수가 오르지 않는다. 이 때는 모든 문제를 새로운 문제다 라는 생각으로 접근해야 하는데 문제에서 주어진 조건이 어디에서 왔는지 어떤 영역과 연관되어 있는지 사고를 확장하는 ‘계통수학’ 공부법이 도움이 많이 된다”고 말한다.예를 들어 문제의 조건이 ‘a, b 가 양수일 때’라는 조건이 나왔다고 하면 이 조건이 알려주는 수 많은 수학적 의미와 이런 조건이 붙어서 출제되는 문제 영역까지 다루다 보면 수업시간 한시간 동안 단 한 문제만 풀고 넘어가는 경우도 많다. ‘계통수학’ 수업은 닫혀있던 사고를 확장해 수학적 사고력을 키우는데 한 몫을 한다. 최강 수학 최동조 원장은 공식정리에서 개통수학의 맥을 정리한 ‘학원노트’를 활용해 수업을 진행한다. 최 원장이 직접 정리한 이 노트는 고3수험생의 강의 자료가 되고 수능생을 위해 간략히 정리한 공식을 수능직전노트로 만들어 제공한다. “그동안 공부했던 모든 과정이 일목요연하게 정리되어있어 시험 직전 짧은 쉬는시간에 보면 정리하는데 도움이 된다”고 말했다. 2016-12-29
- 2017년 폴수학학교 서울설명회 • 일시 : 2017년 1월 7일(토) 오후1시~4시• 모집대상 : 2017년 초6~고등부 남, 여학생• 장소 : 강남구 테헤란로 332번지 HJ컨벤션센터 4층 대회의실 (선릉역 4번출구 바로 앞, http://www.hjconvention.co.kr/intro/intro03.php)• 신청 : 1661-6133 / 02-501-0903 (사전 전화 예약 요망)• 홈페이지 : www.pmath.org※ 주차장(유료)이 협소하오니 대중교통이용 부탁드립니다. 2016-12-23
- 전국연합학력평가는 무엇을 공부하고 연습해야 할까? 아웃풋 트레이닝-실전 epilogue 2017년도 전국연합학력평가 일정이 발표되었다. 2017년 3월 9일 목요일 전국의 고등학생은 첫 모의고사에 도전하게 된다. 각 월의 시행 영역과 과목 안내가 발표가 되었고, 예비 고3 학생들의 경우 월별로 모의고사 시험 범위를 준비하는 계획을 세울 시기인 겨울방학이 다가오고 있다. 아마도 대부분의 예비 고1 학생들은 고등학생으로 처음 시험을 중간고사로 알고 있겠지만 수학의 경우 새로운 형식의 30문제를 100분 안에 해결해야 한다는 것을 처음 경험하게 될 것이다. 예비 고2 학생들과 예비 고3 학생들은 자신의 모의고사 공부 방법을 점검해보아야 할 시기이다. 모의고사 전 1~2주가 아니라 최소 1개월 정도의 여유를 두고 한주에 1일은 모의고사 준비를 해야 한다.전국연합학력평가-준비 수능을 포함해서 모의고사는 30개의 수학 영역에서 출제 유형의 개념이 정해져 있다. 수능이나 모의고사 문제를 완벽하게 예상하는 족집게 선생님은 없어도 족집게 유형은 존재한다. 먼저 30개의 문제를 편하게 풀어보자. 그리고 30개의 문제들 중 자신이 틀린 유형들을 적어보자. 이제 준비는 끝났다. 그 틀린 유형을 찾아서 먼저 공식이나 내용 정리를 한 후 필요한 부분을 적고 기출문제집을 통해서 같은 유형들을 3문제 이상 찾는다. 그리고 오답노트는 틀렸던 대로 정리 후 틀린 부분을 수정해서 정리하자. 준비해둔 예제들을 3문제 정도 다시 풀어보고 반복한다. 그리고 반드시 연결된 심화 문제(개념의 응용이 혼합된) 역시 풀어본다. 지금까지는 양궁 선수가 맞추어야 할 과녁이 어디 인지를 익혔다.실전 감각을 익히는 훈련을 한다. 준비과정에서 편하게 시간 제약 없이 문제를 풀고 정리했다면 이제 실전이다. 다른 연도의 모의고사나 또는 사설 모의고사를 이제 실전처럼 연습한다. 생체시계 연습이다. 크게 4개의 분류로 연습한다. 첫째 전 국민의 문제인 1번부터 8번까지 그리고, 22번부터 24번까지를 문제당 1~2분 안에 푸는 연습을 한다. 둘째, Skip도 능력이다. 11번부터 21번까지 중에 막히는 문제 2-3문제를 Skip 하고 2~3분에 한 문제씩을 푸는 연습을 한다. 셋째 위기가 찬스다. 등급을 가를 수 있는 문제들 25번부터 30번까지 중에 2~3문제를 Skip 하고 꼼꼼하게 문제별로 5분 내외로 문제를 푼다. 마지막으로 네 번째는 운명의 시간이다. Skip 해두었던 4~5문제에 집중하는 시간이다. 풀 수 있는 문제들을 정리하고 남은 시간 5분을 항상 남겨두자. 100분 중에 우리는 95분을 연습한다. 마킹의 시간을 고려하는 것도 잊지 말아야 한다. 항상 연습은 실전처럼 한다. 이제 활을 쏘았다. 맞지 않으면 다시 과녁을 향해 준비하고 활을 쏘는 연습을 반복하면 된다.모의고사의 자신감을 갖는 고등학생이 되자! 수학을 가르치다 보면 학생들에게 받는 가장 많은 질문은 자신은 개념학습은 충분히 했다고 생각한다. 하지만 다른 친구들은 틀린 문제를 금방 이해하고 문제를 해결할 수 있는데 자신은 3~4번 이상 풀어보고 복습해야 하는 것이 너무 힘들다는 어려움을 호소하며 해결 방법을 묻는다. 그때마다 마음속으로 기쁘다. 이런 질문을 하는 학생은 이미 해답을 알고 있기 때문이다. 실행시키는 동기부여가 필요할 뿐이다. 틀린 문제를 다시 풀고 정리하는 반복학습은 힘들다. 하지만 이것이 최고의 성적 결과를 만들어 낼 수 있다는 것을 꼭 명심해야 한다. 목적 있는 학습이 최고의 결과를 만든다. 국가 대표 양궁선수는 금메달을 위해 활시위만 잡아당긴 것이 아니라 과정별 훈련을 모두 마친 자신감 있는 선수이다.김우헌 원장델타수학학원 2016-12-22
- 예비고1을 위한 학교별 영어 내신 분석 잠신고▶난이도 ; 최상 ★★★★★▶시험 범위 ; 교과서 4과, 모의고사 1회, 듣기 1회분.▶문제 특징 ; 1. 높은 수준의 어휘 필요. 지문 어휘 변형을 한다. 주제, 요약문을 쓸 때도, 동의어를 써야 한다. 2. 높은 수준의 문법능력과 문장 이해력을 물어봄. 3. 듣기가 어렵다. 고1 수준의 듣기를 출제하지만, 대본을 분석하고 시험에 들어가야 실수를 줄일 수 있다. 4. 내신기간 만으론 성적향상이 한계가 있음. 많은 문법들을 복합적으로 물어 보고, 문장을 변형하기 때문에, 암기로 성적을 올리기 어렵다.▶대비법 ; 1. 고2 정도의 어휘, 어법 선행이 필수. 많은 동의어를 알지 못하면, 80점 이상은 불가능 하다. 2. 방학, 비내신 기간 동안 주제 파악, 문장 요약 등 문장 이해력을 키워야 한다. 3. 예상치 못한 곳에서 서술형이 나옴. 평소 영작 실력을 키워야 한다.영동일고▶난이도 ; 상 ★★★★☆▶시험범위 ; 교과서 2과, 부교재 P.50정도, 모의고사 1회, 듣기 부교재 2회.▶문제 특징 ; 1. 내신에서 문법문제의 비중이 50% 이상. 수능식 독해 문제를 많이 낸다. 2. 동의어를 많이 물어봄. 3. 교과서에선 내용 위주의 간단한 문제만. 부교재와 모의고사는 어휘 변형이 많고, 가끔 문장 변형을 함. 4. 서술형의 절반은 중요 문법들 위주로 나오지만, 나머지는 예측하기 힘든 곳에서 냄. 요약하기, 빈칸 추론을 동의어로 써야함. 5. 한번은 쉽게 한번은 어렵게 낸다. 6. 매년 부교재가 바뀜.▶대비법 ; 1. 방학동안, 비 내신 기간 동안 문법책 1~2권을 무조건 끝내야 한다. 2. 고3 수준의 동의어를 암기 필수. 기본 영작 실력 필요. 3. 범위가 많은 편이라 시험대비가 힘듦. 학생들이 암기위주로 공부하기 때문에, 교과서 변형을 하면 평균 점수가 많이 떨어진다.잠실여고▶난이도 ; 중상 ★★★★☆▶시험범위 ; 교과서 4과, 부교재 P.50, 듣기 2~3회 분량. 어휘 300개 정도, 모의고사 1회 (중간, 기말 중 한번만)▶문제 특징 ; 1. 시험 범위가 많고, 모든 범위에서 시험문제를 골고루 내고, 지문 변형도 함. 2. 어법 문제는 평범한 수준. 3. 서술형 5점짜리가 있음. 문법 2~3가지를 섞어서 영작을 써야하기 때문에 높은 문법, 영작 실력을 필요로 함. 4. 문제수가 많아 (50문제 내외) 꼼꼼한 내신 대비가 필요.▶대비법 ; 1. 시험 범위가 많아 시험이 끝나면 바로 다음 시험을 준비해야 한다. 2. 어법/어휘/독해/듣기 등 골고루 나오기 때문에, 방학 때 어휘 암기 및 문법 공부 필수.잠일고▶난이도 ; 중 ★★★☆☆▶시험범위 ; 교과서 4과, 모의고사 1회.▶문제 특징 ; 1. 중간고사, 기말고사 간 난이도 편차가 큼. 2. 독해 비중이 높은 편. 중요한 문법 위주로 시험 출제. 3. 서술형은 문장 요약 영작, 중요 문법 2~3가지가 들어간 문장 영작하기가 나옴.▶대비법 ; 1. 시험이 어려울 땐, 지문의 심층 이해와 다양한 문법을 물어봄. 평소 문장 이해력을 키우고, 문법책 1권을 방학 때 끝내야 함. 2. 문제가 쉬우면 독해 문제가 많은 편. 문법 문제에서 변별력 둠. 3. 내신기간 복잡한 문장 구조나, 수능에 많이 나오는 문법이 들어간 문장은 필히 암기.정신여고▶난이도 ; 중하 ★★★☆☆▶시험범위 ; 교과서 3과, 모의고사 1회.▶문제 특징 ; 1. 범위가 적어 다양한 문법 문제가 출제됨. 2. 모의고사 변형 문제는 문법 문제가 없음. 3. 순수영작 서술형이 가끔 나오지만 흐름상 적절한 단어 넣는 정도. 4. 서술형은 내용상 중요한 문장과 중요한 문법이 2~3개 겹쳐진 문장등이 서술형으로 많이 나옴.▶대비법 ; 1. 쉬운 편이기 때문에 실수를 줄여야 한다. 2. 본문의 문법을 꼼꼼히 확인하고, 대명사가 가리키는 것을 찾고, 문단별로 요약하며 해석해야 한다. 3. 수업중 강조하는 내용이 시험에 많이 나옴. 4. 해석이 어렵거나 문장구조가 복잡한 문장은 일단 암기.배명고▶난이도 ; 하 ★★☆☆☆▶시험범위 ; 교과서 4과, 샬롯의 거미줄, 영작 100지문.▶문제 특징 ; 1. 다양한 문법 문제가 나오고, 변형이 없다. 2. 영작 자료에서 서술형 문제로 30점 이상 나옴. 3. 샬롯의 거미줄은 서술형이 없고 내용위주.▶대비법 ; 1. 교과서 문법을 꼼꼼히 확인하고, 문단 내용을 요약 하면서 해석해본다. 가끔 내용의 미묘한 부분을 물어봄. 2. 영작 자료는 시험 1달 전에 나눠 주므로 미리 암기해야 한다. 3. 샬롯의 거미줄은 해석본이랑 비교하며 읽어도 쉽게 맞출 수 있다.고수학원김태웅 원장 2016-12-22
- 전쟁에서 이기기 위해 미분을 만들었다고? 명확한 동기는 성취도에 큰 영향을 미친다. 뚜렷한 목적지를 두고 여행을 떠날 때 여행길은 짧게 느껴지고 내가 하는 행동의 결과를 예측할 수 있을 때 그 행동에는 정성이 들어가고 의미를 부여하게 된다. 공부도 마찬가지다. 도대체 수학을 왜 공부해야 하는지 모르겠다며 투덜대는 아이가 있다면 수란 무엇인지 우리의 삶과 어떤 연관이 있는지 알려주자. 수학을 대하는 태도부터 달라질 것이다. 수학을 어려워하는 아이들을 위해 미분이 어떻게 시작됐는지 적분은 어떤 일에 필요한 것인지 차근차근 가르치는 학원이 있다. 수학이라는 학문의 큰 줄기에서 시작해 세부적인 내용까지 ‘탑다운 방식’으로 수업을 진행하는 곳이다. 네오빌 6단지 앞에 위치한 YL 수학학원이 바로 그곳이다.갈래를 잡아가는 설명 ‘탑다운 방식’교과목 중에 수학만큼 일상생활과 밀접한 과목이 없음에도 불구하고 정작 수학을 배우는 학생들은 ‘이렇게 어렵고 까다로운 계산법을 왜 배워야 하는지’ 의문투성이다. 그러나 이런 의문은 해결해 주지 않고 무작정 문제만 풀게 하다보면 수학은 재미없고 어려운 과목이라 흥미를 잃고 수포자의 길에 들어서게 된다.YL수학학원 유형순 원장은 학생들의 이런 투덜거림엔 “수학은 뇌구조를 변화시키는 학문”이라고 말한다. “우리가 어떤 판단을 내릴 때 논리적인 생각을 통해 결론을 예측해야 실패를 줄일 수 있다. 수학은 우리의 두뇌가 논리적을 생각을 잘 할 수 있도록 뇌의 구조를 바꿔주는 학문이다”는 것이다. 수학이 무엇인가 하는 대명제에서 출발해 각 분야별 개별 단원으로 설명이 이어지는 수업 방법이 바로 ‘탑다운 방식’이다. ‘탑다운 방식’에 따라 설명을 들은 학생들은 지금 배우는 단원이 수학에서 어떤 영역을 차지하고 있으며 일상생활에서 어떻게 응용할 수 있는지 기본 개념을 세운 후 문제해결방법을 배우게 된다. 기본 개념에 대한 충분한 이해가 이뤄졌기 때문에 다양한 유형의 문제, 응용문제를 해결하는데 생각의 폭이 넓어진다.‘미분’은 전쟁 중에 태어났다고등학생들이 가장 어려워하는 ‘미분’은 수의 어떤 영역을 탐구하는 것일까? 유형순 원장의 설명을 들어보자. “미분은 동시대를 살았던 뉴턴과 라이프니츠에 의해 정리된 분야다. 수학의 역사를 보면 많은 분야가 전쟁과 관련이 있는데 미분도 마찬가지에요. 옛날에는 날아가는 포탄이 어디에 떨어질지 정확히 계산해 내지 못해 엉뚱한 곳에 포탄이 떨어지곤 했죠. 하지만 미분이 정리된 후에는 포탄의 정확도가 훨씬 높아졌어요. 미분은 이렇게 날아가는 포탄에 작용하는 관성의 법칙, 중력의 법칙을 계산해 어디에 떨어질 수 있는지 정확히 계산해 내는 것이죠.” 유 원장의 설명을 듣자 미분을 왜 공부하는지 어떤 의미를 지니는지 손에 잡힐 듯 다가온다. 그렇다면 내친김에 ‘적분’에 대한 이야기까지 들어봤다. “적분은 정형화 되지 않은 도형의 부피와 넓이를 구하는 분야다. 초등학교 중학교 때는 정육면체나 원기둥 원뿔 등의 부피와 둘레를 구했다면 적분은 이런 것으로 이름 짓지 못하는 함수나 기하학적 도형의 부피를 구하는 방법을 쉽게 정리한 학문이다. 현대에서는 증권거래나 선물투자 등 주로 미래를 예측하는데 사용된다.”수학 사랑한 만큼 알게 되는 것수학에 대한 모든 궁금증에 대해 막힘없이 설명하는 유 원장. 수학에 대한 진한 애정이 느껴진다. “중학교 때부터 저는 수학이 너무 좋았어요. 그래서 수학자들 책도 많이 찾아서 읽어보고 수학을 전공했죠. 아이들에게 수학에 대한 이야기를 많이 해 주면 모두 처음 들어봤다고 눈이 초롱초롱 빛나요. 따분하고 어려운 이야기인줄 알았는데 수학이라는 게 일상생활과 참 연관이 많이 되어 있다는 걸 알게 되면 아이들도 신기해 하죠”YL 수학학원은 20여년 수학교육에 전념했던 유형순 부부가 지난해 오픈한 학원이다. 학원과 과외 등 오랜 경험을 바탕으로 중 고등 수학전문 학원을 열었다. YL 수학 학원의 한 반 정원은 5명 미만. 소수정예반 수업으로 진행한다. 앞서 설명했듯이 탑다운 방식으로 수업을 진행하는 이 학원에서 학생들의 수학에 대한 관심도는 상당히 높다. 또 하나 이 학원만의 또 다른 특징 중 하나는 수업 시작 전 반드시 지난 시간 복습부터 시작한다는 점이다. 유 원장은 “복습은 다시 한번 배운 내용을 상기시키면서 오랫동안 기억하는 효과가 있다. 개념에 대한 정확한 이해와 문제해결 법을 기억하는 것”이 수학공부를 잘하는 비법이라고 말한다. 2016-12-22
- 혼란스러운 저장 방식 가방은 한 쪽에 내팽개쳐 놓고, 화면에 빨려 들어갈 듯한 자세로 게임을 하는 자녀가 있습니다. 엄마가 말합니다. ‘oo아 게임 그만하고 공부해라’ 학생은 준비된 대답을 합니다. ‘네’여기서 ‘네’라는 대답은 동상이몽 그 자체입니다. 엄마는 자녀가 이제 곧 컴퓨터를 끄고 책상에 앉아 공부를 할 것을 기대합니다. 그렇지만 자녀의 대답은 ‘알았으니까, 잔소리 좀 그만해’, ‘여기 까지만 하고 공부 할께’, ‘게임을 계속할 건데, 엄마가 뭐라 하니깐 일단은 네 라고 대답할께’ 등의 의미가 있습니다. 수업을 하다 보면 ‘이거 알겠어?’, ‘이해했어?’라고 물었을 때 학생이 ‘네’라고 대답을 하면, 많은 생각이 지나갑니다. ‘진짜 이해했다는 것일까, 어디까지 알았다는 것일까’수학을 잘하는 학생들을 보면 선생의 생각과 학생의 이해 사이의 싱크로율이 높습니다. 수학이 부족한 학생들은 그 반대인 것이죠. 그래서 한 문제를 두고도 상이한 반응을 보입니다. 학생 입장에서는 ‘선생님 이 문제 어느 단원이에요?’, ‘어떤 공식을 써야 됩니까?’ 가르치는 입장에서는 ‘왜 똑 같은 문제를 또 물어보니?’인 것이죠. 수학을 잘한다는 것은 이 싱크로율을 높이는 과정을 의미할 수도 있습니다. 그런데 이 싱크로율을 높이는 과정은 오랜 시간이 걸리거나, 안될 수도 있다는 것이 문제입니다.온라인 쇼핑몰 아마존닷컴은 1시간 이내 배송을 목표로 맨해튼 시내에 물류창고를 만들었습니다. 비싼 임대료를 더 많은 수익창출로 상쇄하겠다는 것인데, 그 내용이 주목할 만합니다. 보통 마트처럼 물건을 카테고리별로 나누는 방식, 즉 라면끼리, 냉동식품끼리와 같이 모아두는 방식 대신에 물건이 창고에 들어오는 순서대로 쌓는 방식을 택한 것입니다. 이렇게 마구잡이로 쌓는 것이 최소 20% 이상 공간 효율성을 높이는 것은 물론, 서로 다른 물건이 섞여 있어서 배송실수를 줄인다는 것입니다. 더욱 놀라운 것은 물건을 창고에 쌓는 소터(sorter)가 선반에 놓은 위치 정보를 컴퓨터가 저장하고, 물건을 카트에 담는 피커(picker)가 최단 거리로 담을 수 있는 동선을 컴퓨터가 계산해준다는 것입니다.어느 단원인지를 구분을 못하는 학생, 같은 문제를 다른 문제로 인식하는 학생은 이 분류에 실패한 학생들이죠. 상위권을 결정짓는 변별력 높은 문제들은 어느 한 단원에 국한되지 않는 여러 개념을 알아야 하는 내적 문제해결능력에 속하는 문제들입니다. 이런 문제들을 저장해 놓은 선반, 방을 찾으려고 하니 애초에 찾을 수가 없는 것입니다. 그런데 놀랍게도 수학을 좀 한다는 학생들은 개념, 공식들이 한 방에 마구잡이로 쌓여있다는 것입니다. 겉으로 보기에는 어지러워도 필요한 공식, 개념을 정확하게 가져와 쓴다는 것입니다. 흔히 수학을 암기과목이라고 주장하는 사람들은 마트의 선반처럼 분류를 잘하는 사람입니다. 가르치는 일이 자신이 학습한, 경험한 방법대로 이루어진다고 생각할 때, 어떤 방법으로 수학의 지식 체계를 쌓아가는가 하는 것은 중요한 문제입니다. 혼란스러운 저장방식(chaotic storage) 속에 최상위를 향한 열쇠가 숨어 있습니다.이태우 원장히즈매쓰학원 2016-12-22
- 수학 잘하는 아이, 사고력 탄탄한 아이로 키우고 싶으신가요? "수학은 암기가 아닙니다"여전히 대한민국 대다수의 초등학생은 같은 유형의 문제를 반복해 풀며 해법을 암기하는 방식에 기대어 수학을 공부하고 있습니다. 그로 인해 아이들이 수학을 처음 배울 때부터 수학에 대한 흥미와 자신감뿐만 아니라 수학적 사고력과 자발성을 기를 기회 또한 잃어버리게 됩니다.더 큰 문제는 초등학교 때부터 ‘수학을 잘하려면 문제 풀이를 반복하는 것이 중요하다’는 생각이 고착되면, 중·고등학교에 진학해서도 유형별 문제를 거듭해 푸는 전략으로 수학을 공부하려 한다는 점입니다. 이는 중·고등 수학의 난이도와 학습량을 미처 소화하지 못해 결국 ‘수포자’가 될 가능성을 크게 합니다.최근 뇌과학 연구에서도 암기가 아닌 ‘전략’을 통해 수학을 학습한 학생들이 가장 우수한 수리 역량을 보인다는 것이 드러났습니다. 수학은 본래 깊은 이해와 자유로운 추론을 기조로 학습하는 것이 효과적인 학문이라는 것이 입증된 셈입니다.전문가들의 이 같은 이론과 연구 결과를 미루어 알 수 있는 것은, 수학이란 문제가 묻는 지식을 미리 암기하여 즉답하는 능력을 기르는 과목이 아니라, 기본 원리를 충분히 이해한 뒤 여러 개념을 유연하게 조작해 스스로 문제를 해결하는 능력을 기르는 과목이라는 것입니다."생각하는 연습이 수학의 공부법입니다."초등 수학의 여러 영역 중 특히 ‘사고력’에 주목해야 하는 까닭은 무엇일까요? ‘사고력’이야말로 개념을 얼마나 이해했으며, 응용할 수 있는지 알 수 있습니다. 따라서 단순 문제풀이를 반복하기 보단, 비록 어려운 문제일지라도 고민하고 또 고민하며 그 문제에 대해 생각하는 연습을 해야합니다. 수학적 원리를 이해하며 개념들 간의 연계성을 찬찬히 살펴보는 수학적인 사고 확장 훈련은 여느 창의영재 수업보다 유익한 학습 경험입니다. 이처럼 평소 생각하는 연습을 꾸준히 하여 아이들의 사고력과 응용력을 길러주는 것이야 말로 수학을 제대로 공부할 수 있는 가장 이상적인 방법입니다.생각하는 교육대표원장 이규태031-403-7973 2016-12-22
- 올겨울 수학공부 제대로 해보자. 이제 방학시즌이 다가온다. 예비중, 예비고 학생은 물론 모든 학년의 학생들이 새로운 마음가짐으로 공부하기 위해 찾아온다. 모두가 원하는 것은 단 한가지. 어떻게 해야 수학성적이 오르는가 하는 것이다.1. 반복을 반복하라거의 모든 수능만점자들이 권유하는 공부법중 하나가 책 한권을 여러번 반복하라는 것이다. 그럼에도 불구하고 이를 실천하는 학생은 드물다. 여러 권의 문제집을 듬성듬성 푸는 것은 최악의 공부방법이다. 같은 책을 반복 학습하는 것은 크게 두가지 잇점을 가져다준다.첫째, 틀렸던 문제의 반복학습은 자신의 취약한 부분을 메꿔준다. 둘째, 맞았던 문제의 반복학습은 명확한 개념정립과 풀이시간 단축에 도움을 준다. 시험은 시간과의 싸움이다. 풀 수 있는 문제라고 하더라도 얼마나 빨리 푸느냐가 시험점수와 직결된다. 수능 만점을 위해서는 앞부분 문제에서 최대한 시간을 절약하여 객관식 마지막 문제에 10분 이상 투자해야한다. 그 한 문제가 1등급과 2등급을 가른다.2. 오답노트를 활용하라보통 주교재의 두번째나 세번째 풀이단계에서 오답노트의 작성을 권한다. 오답노트는 자신의 취약부분을 반복해 완벽히 자기 것으로 만들고자 하는 것이 목표가 된다. 가위로 오리거나 손으로 옮겨 적는 방법 등 다양한 방법이 있을 수 있다. 다만 풀이과정을 모두 적지 않는 것이 좋다. 관련 공식이나 풀이를 위한 아이디어 정도만 적어야한다. 구체적인 풀이는 오답노트를 볼 때마다 매번 스스로 반복하는 기회를 가져야한다.3. 풀이과정을 요약해서 설명하라답을 맞히고 못 맞히는 것은 시험장에서 해야 할일이고, 공부하는 과정에서는 풀이과정을 내 것으로 만드는 것에 집중해야한다. 간혹 답만 맞으면 곧바로 다음 문제로 넘어가는 학생들이 있는데, 좋지 않은 습관이다. 문제를 풀 때마다 무슨 과정을 거쳐 정답을 도출해냈는지 끊임없이 정리해야 한다. 주어진 조건이 무엇이며, 문제가 요구하는 답변은 무엇인지, 그것을 도출하기 위해 어떤 개념으로 어떠한 과정을 거쳐야 하는지 스스로에게 설명하면서 공부하는 습관을 갖도록 하자.김경섭 원장반디수학학원 2016-12-22
- 깊이 있는 수학의 이해가 성적과 실력의 답! “수학을 공부할 때 ‘왜?’라는 질문은 꼭 필요하다. 질문을 하면서 깨닫는 순간 수학 실력은 오르기 때문이다. 그런데 학생들이 끊임없이 질문을 던지도록 유도하고 질문했던 것을 자기 것으로 만들 수 있게 방향을 제시하는 일은 학원의 일이다. 하지만 이 일을 정말 제대로 할 수 있는 학원을 찾아주는 혜안은 일정부분 부모의 몫이 된다. 실력 있는 좋은 선생을 만나는 일은 수학 공부에 매달리는 일 만큼이나 중요하다. 그것이 수학을 잘하는 방법도 된다.”고잔동 ‘케이매쓰’ 신현웅 원장의 말이다. 신 원장은 고려대학교 수학과를 졸업한 수학전공자. 그동안 그는 수학을 대하는 학생들의 자세와 선행에 대한 주관적인 철학을 이야기해왔다. 겨울방학이 되기 전 수학공부에 대한 궁금증을 수학 전공자에게 들어봤다.개념에서 심화까지 쉬운 언어로 가르치다2009년 개원한 케이매쓰는 같은 대학교 수학과를 나온 부부 강사가 운영하는 학원으로도 유명하다. 학원에 들어서면 제법 큰 학원 규모에 놀라게 되는데 규모에 비해서 반은 그리 많지 않다. 이유인즉, 모든 수업을 원장·부원장 직강으로 진행하기 때문에 두 사람은 집중하고 관리할 수 있을 만큼의 반만 개설하고 있었다. 신 원장은 말한다. “수학은 사사하는 것이다. 본인의 노력으로 뛰어넘도록 만들고 싶고 노력하는 원생들을 끌어올리는 데 주력하고 싶다. 그래서 손길이 닿을 수 있는 영역에서 반을 꾸리고 있고 그것이 학생들 입장에서도 늘 좋은 결과로 나타났다. 그리고 학원은 때로는 휴식하고 여유로울 수 있는 공간이길 바란다. 그래서 현재처럼 운영하고 있다.”신 원장의 강사 경력은 20년이다. 그동안 그는 시스템을 강조한 학원도 아닌, 선행만을 강조한 학원도 아닌 수학을 제대로 가르치기 위해서 원생 모두가 이해할 수 있는 쉬운 언어로 강의에 매진했다. 그 결과 자신만이 할 수 있는 깊이 있는 강의로 유수의 학생들을 배출해왔다.중학생 내신관리 이것만은 꼭!‘스스로 공부’하는 길을 열어주는데 더 중점을 둔다는 신현웅 원장. 그에게 혼자 할 수 있는 수학공부 tip을 물었다. 신 원장은 대답했다. “먼저 중학생이 완벽하게 알아야 할 단원은 방정식과 함수다. 그런데 모든 단원이 그렇듯이 이 단원도 필요한 것도 있고 불필요한 부분이 있다. 중요 내용을 다져주는 것은 선생의 일이다. 하지만 다지는 과정에서 오답체크가 없다면 성적은 1%도 오르지 않는다. 오답 체크와 오답노트는 가장 좋은 공부방법이다. 틀린 것을 내 것으로 만드는 과정은 꼭 있어야 한다.” 시간관리에 대한 얘기도 덧붙였다. 신 원장은 직접 스케줄을 만들어 수학과 영어를 1시간씩 번갈아가면서 하도록 조언했다. 한 과목을 오랜 시간 붙잡고 있는 것보다 오히려 더 효과적이라는 것. 그러면서 신 원장은 수학을 물 끓는 온도에 비유했다. “물이 0℃에서 99℃까지는 별 차이가 없듯이 50점과 90점의 차이는 크지 않다고 본다. 하지만 97점과 100점의 차이는 크다. 완벽한 마스터의 차이이기 때문이다. 원생들이 100점의 한계를 넘도록 연습하고 있다. 중등과정은 고등학교에서 좋은 성적을 유지하기 위한 준비과정이다.”얕은 선행보다는 제대로 배우는 것이 1등급 정복의 길케이매쓰의 꽃은 단연히 ‘고등수학.’ 신 원장에게 중등수학을 배운 원생들은 그의 말처럼 고등학교에 가서 비로소 실력 발휘를 하고 있었다. 그래서 그는 중등3년 고등3년은 수학을 공부하기에는 결코 짧은 시간이 아니라고 말한다. 조바심 낼 필요 없이 깊은 수학을 공부한다면 대충한 선행보다 훨씬 더 좋은 성적을 낼 수 있다고 했다. 그렇다면 케이매쓰의 고등수학 어떤 차별성이 있을까? 신 원장이 고등학생들에게 가장 강조하는 것은 바로 ‘문제의 유형화.’ 단순히 공식 몇 개 더 외우는 공부가 아닌 확장된 사고를 십분 활용해서 모든 문제를 어떤 함정에도 빠지지 않을 정도로 완벽하게 공부하고 정리하도록 훈련했다. 그 과정이 쉽지는 않지만 이것이 바로 신 원장의 100점 맞는 비법이었다. 단, 신 원장은 원생들에게 끌려가는 공부 말고 학원을 백분 활용하는 공부를 하라고 말하고 있었다. 중1부터 고3까지 수학의 계보를 가르치는 정통 수학이 수학 잡는 비법이라고 믿는 학부모라면 케이매쓰. 믿고 찾아 볼만하다. 2016-12-22