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- 2021년 바뀐 수능 수학 범위와 겨울방학 2021년 수능 수학 출제 범위는 아래와 같습니다. (2020년 고3 학생들에게 적용)● 수학 (가)형과 수학(나)형 공통 범위1)수학1 (지수와 로그, 지수와 로그함수, 삼각함수, 수열) ⇒ 수열의 극한 삭제, 지수함수와 로그함수 추가, 삼각함수 추가( 사인법칙과 코사인 법칙 추가)2)확률과 통계( 경우의 수, 확률, 통계) ⇒ 순열과 조합 삭제 , 집합의 분할 삭제, 자연수의 분할 삭제, 모비율의 추정 삭제, 표본조사의 의미 추가수학 (가)형미적분( 수열의 극한, 여러 가지 함수의 미분, 여러 가지 함수의 적분) ⇒ 수열의 극한 추가, 구분구적법 추가, 평면에서의 속도와 거리와 곡선의 길이 추가● 수학 (나) 문과수학2(다항 함수의 극한과 연속, 다항함수의 미분, 다항함수의 적분) ⇒ 수열의 극한 삭제, 구분구적법 삭제, 정적분의 정의 삭제2020년도 수능수학의 두드러진 특징은 킬러 문제인 21번, 29번, 30번 문제의 난이도를 낮추고 중간난이도인 14~20번, 26~28번 문제 난이도는 올려서 시간부족으로 체감 난이도는 높았습니다. 그리고 출제 경향은 단순 유형암기와 이해보다는 사고력을 요구하는 문제가 많았으며 2021년도 수능도 같은 방식으로 출제될 가능성이 높습니다.따라서 겨울방학부터 수학공부 전략을 체계적으로 짜서 대처해야 합니다.학생들이 가장 많이 하는 수학공부 방법은 개념을 이해하고 공식을 암기한 다음 유형별 문제집을 풀면서 유형을 통째로 암기하거나 무조건 많은 문제를 푸는 일명 ‘양치기’를 하는데 굉장히 비효율적인 학습법입니다. 그때 당시에는 기억을 한다 하더라도 금세 잊어버리거나 조금만 유형이 바뀌더라도 문제를 못 풀고 곧 좌절하는 악순환만 되풀이할 뿐입니다.수능 수학을 효과적으로 공부하려면 먼저 개념을 이해한 다음에 그 개념이 어디에 쓰이고 어떻게 사용하는지를 충분히 숙지하시고 연습을 하세요. 유형이 바뀌어도 푸는 방법은 비슷한 경우가 많으니 접근 방법의 원리를 깨우치고 연습하는 게 효과적으로 실력을 올립니다. 그리고 개념을 잘 이해했으면 수능모의고사 기출 문제를 풀면서 수능적 방식과 감각에 익숙해지려고 노력해야 합니다.푸는 방법을 잘 모르면 바로 답지를 보지 말고 모르는 부분만 선생님이나 친구에게 힌트를 얻어서 계속 스스로의 힘으로 풀려고 노력해야합니다.만약 도움을 청할 사람이 없으면 답지 풀이 전체를 다 보지 말고 필요한 부분만 도움을 얻어 다시 끝까지 풀어야 수학의 힘이 길러집니다. 한번 푼 다음 다시 한번 풀어서 어떻게 접근하는지 음미하는 게 실력을 올리는데 필수요소입니다.지금 수능 체제에서는 문제의 조건을 똑바로 읽고 구하는 게 뭔지 정확하게 인지하여 필요 없는 풀이를 줄이고 또박또박 푸는 훈련을 해서 시간을 단축하는 훈련을 하는게 무엇보다도 중요합니다.어느 정도 수학 개념을 알고 푸는 능력도 생겼으면 반드시 시간을 재면서 효율적으로 문제 푸는 훈련을 해야 합니다.중요하거나 자주 틀리는 내용은 중요 요점 노트에 따로 적어서 자주 보는 습관을 들이세요.2020년 수능부터 중난이도 문제도 사고력을 요구하는 문제가 많이 늘어나서 평소에 조건 속 개념 찾는 연습, 조건 속 숨은 힌트 찾는 연습, 그래프나 도형을 그리는 연습, 규칙을 찾는 연습등을 많이 해야 합니다. 혼자서 안 되면 전문가의 도움을 받아야 합니다.수학(가)형은 기하와 벡터가 빠지면서 미적분에서 등급결정 문제가 많이 출제될 것으로 예상되니 충분히 심화문제까지 연습하시기 바랍니다.수학(나)형은 지수로그함수와 삼각함수가 추가 되면서 그래프와 도형을 이용한 추론 연습을 많이 해야 합니다.수학(가)형과 수학(나)형 공통으로 확률과 통계에서 조건을 이용하여 경우 나누는 문제가 난이도가 올라갔으니 충분한 연습이 필요합니다.요즘은 겨울 방학때 공부가 수능 점수까지 연결되는 경우가 많으니 방학 계획표를 짜서 효율적인 공부를 해야 합니다. 특히 자신의 공부방식의 문제점이나 약점을 분석하여 없애고 장점을 강화시키는 훈련이 중요합니다.철권수학입시학원원장 유돈형 2019-12-26
- 중학 수학, 어떻게 공부해야 할까? “초등학교 때는 백점을 곧잘 맞았는데 중학교에 가니 점수가 잘 안나와요.” “다른 친구들은 고등 수학까지 선행했다는데 우리 아이는 제 학년 것도 겨우 따라가는 수준이라 불안해요.” 수학을 포기하면 대학을 포기하는 거라는 이야기도 있듯이 그 중요성은 누구나 알지만 잘하기는 어려운 수학 과목. 중학 시기, 수학을 어떻게 공부해야 하는지 알아보았다.도움말 그수학학원 김수미 원장■중1, 고등수학으로 가기 위한 터닝포인트중학교에 들어가서는 초등학교 때처럼 ’문제집을 많이 풀면 점수가 잘 나온다‘라는 공식이 흔들리면서 수학 공부가 점점 어려워진다고 느낀다. 게다가 중학교 1학년 때부터는 고등 과정으로 이어지는 중요한 수학의 개념들을 공부하게 되는데, 이들 개념을 온전히 이해하고 습득하는 것을 목표로 한 난이도 있는 문제를 많이 접하게 된다. 지금까지 수학을 다량의 문제풀이 위주로 공부했다면 중학 1학년은 그러한 학습 방법을 바꾸는 절호의 시기다. 반면 이제까지 수학을 제대로 공부한 적이 없다면 개념부터 차근차근 공부해나가기 좋은 때가 중학 시기이기도 하다. 고등학교 1학년 때 배우는 수학 상,하 과정은 중학교에서 배웠던 개념의 심화, 확장판이라 할 수 있는데, 고등 수학을 잘 하기 위해서도 중등 과정의 완벽한 개념 숙지는 필수이다. ‘고등수학 1등급, 중1부터 시작하라’의 저자 조안호는 그의 책에서 ‘중학교 1학년은 수학을 잘 할 수 있는 가능성이 충분한 중요한 시기이며, 중등 수학의 개념을 완벽하게 다지고 문제를 풀면 고등학교에서 수학이 추락하는 일을 없을 것’이라고 밝혔다.요즘 자유학기(년)제 시행과 아이들의 사춘기와 맞물려 중학교 1학년 때 마음 잡고 공부하는 것이 쉽지 않은 환경이 된 것도 학부모들의 불안감을 더하게 한다. 시험의 부담으로부터 비교적 자유로운 이 시기를 이용하여 선행을 많이 하기도 하는데, 수학 과목의 경우 그 정도가 더욱 심하다. “고등학교에 가서 수학 성적이 나오지 않아 애를 먹는 학생들의 경우 선행을 많이 하지 않아서라기보단, 중등 시기에 개념 이해를 정확하게 하지 못했기 때문인 경우가 많습니다.” 그수학학원 김수미 원장은 이렇게 진단했다. 수학은 위계성이 강한 학문이라 하위 개념이 확실하게 정립되지 않을 경우 상위 개념을 이해하기가 어려운 특성이 있어 중등 수학의 개념을 정확히 이해하지 않은 경우 고등 수학 학습에 어려움을 겪게 된다는 것이다. 반면 중학교 때 내신 성적은 뛰어나지 않았더라도 개념 중심으로 탄탄하게 공부한 학생들의 경우 고등학교 1학년 수학은 크게 어렵지 않게 풀어낼 수 있다. 따라서 입시를 본격적으로 준비해야 하는 바쁜 고등학생 때보다 상대적으로 여유가 있으면서도 난이도가 어렵지 않은 중학생 때 개념 중심으로 철저히 수학을 공부하는 것이 도움이 된다.■유형에 맞는 공부법으로 꼼꼼한 학습 하기수학적 두뇌는 타고난 것이라는 정설이 있다. 하지만 실제 시험에서는 수학적 사고력만 뛰어나다고 해서 반드시 고득점을 받을 수 있는 것은 아니다. 꼼꼼함과 성실함, 철저한 시간관리 등 아이의 기타 학습적인 역량이 타고난 두뇌 못지않게 중요하기 때문이다. 특히 내신은 정해진 시간 안에 문제를 풀어내고 그 풀이과정을 꼼꼼하고 정확하게 기술할 수 있어야 고득점이 가능한데, 이것은 철저한 훈련을 통해 길러질 수 있다. 내 아이가 수학적 사고력이 있는 아이인지 아닌지는 중학 교과 과정 중 몇 가지 대표적인 단원을 학습할 때 점검해볼 수 있다. “경우의 수와 확률, 기하(도형의 닮음, 대칭, 변환), 수열(규칙찾기) 부분에서 개념을 잘 이해할 수 있다면 수학적 감각이 있는 학생이라고 볼 수 있습니다. 특히 중학 2학년 2학기는 수학 성적이 민낯으로 드러나는 시기라고 할 수 있지요.”라고 김수미 원장은 조언했다. 사실 위의 파트는 많은 중학생들이 어려워하는 부분이기도 하기에 단순히 그 단원에서 시험 성적이 좋지 않다고 해서 우리 아이가 수학에 소질이 없다고 섣불리 판단할 것은 아니다. 하지만 반대로 내 아이가 이 부분의 개념을 비교적 잘 이해한다면 수학적 사고력이 준수한 편이라는 뜻이기도 하다.내 아이의 수학적 유형을 파악하여 그에 맞게 공부 방법을 지도해준다면 한층 도움이 될 것이다. 개념 이해는 할 수 있으나 문제를 잘 풀지 못해 성적이 좋지 않은 아이의 경우, 철저한 개념 이해를 통해 공식을 스스로 유도하여 문제를 풀 수 있도록 지도하는 것이 좋다. 이 과정에서 아이가 어려워한다면 가벼운 힌트를 주는 정도로만 도와준다. 반면 성실하고 꼼꼼한 문과 스타일 학생의 경우, 많은 문제를 풀며 암기하다시피 유형에 익숙해지는 공부 방법을 추천한다. 중학교 수학 성적이 좋은 학생들 가운데는 후자의 유형이 많다. 전자의 경우는 중학생 때 크게 두각을 나타내지 않는 경우가 많은데, 오히려 고등학교에 가서는 어려운 문제들을 스스로 풀어내며 결국 고득점 하는 학생들이 많다. 그리고 이러한 학생들은 수능 문제가 어려웠을 때 더욱 빛을 발한다.개념을 완벽히 이해하여 자신의 것으로 습득하기 위해서는 백지 테스트를 해보는 것이 좋다. 수학의 개념을 공부한 후 자신이 이해한 것을 복기하며 백지에 기술해본다. 이를 통해 자신이 무엇을 알고 무엇을 모르는지 확인할 수 있으며, 그 과정 속에서 개념을 식으로 도출하며 증명까지 할 수 있게 된다. 또한 문제풀이 노트를 작성하여 한 문제씩 풀이과정을 서술하는 공부 습관을 들이는 것이 도움이 되다. 이를 통해 실수를 방지하고 스스로 오답의 원인을 분석할 수 있다. 고등 수학은 중등 수학에 비해 논리적 흐름이 길고 개념과 조건이 복잡하기 때문에 그 과정을 기록하여 논리가 끊어지는 것을 방지하며, 서술형 시험에서도 그 흐름대로 기술해야 감점을 당하지 않기 때문이다.중학교에 들어와서부터는 개념 중심으로 수학을 공부하길 권한다. 가급적이면 중학교 1학년 때부터 시작하면 좋을 것이지만 지금 중 2, 3학년이라고 해도 늦지 않다. 당장의 내신 성적을 높이기 위해 문제풀이 위주로 공부하는 방식을 바꾸지 않는다면 고등학교에 들어서 중학교 과정을 다시 복습해야 하거나, 공부할 시간이 부족하여 어려움을 겪을 수 있기 때문이다. 중학 시기, 곧 다가올 겨울 방학에는 개념 중심의 학습을 바탕으로 꼼꼼히 문제 풀이하는 공부법으로 수학 실력을 쌓아가는 것이 어떨까. 2019-12-26
- 명확한 개념정리와 추리력 키우는 수학수업 진행 잠실 리센츠 상가 4층에 위치한 탑에듀학원은 강남에서 수학수업 경력 10년이 넘는 베테랑 원장이 이끄는 학원이다. 초중고 수업이 모두 가능하며 중고등부는 내신과 수능 준비를 탄탄히 다지고 초등부는 수학의 기초부터 심화까지 다루며 학업능력향상을 이끄는 학원이다.“학원에서 공부할 때 경직된 힘을 빼고 편안하고 재미있는 분위기에서 수업을 하는 자세가 중요합니다. 특히 초등부의 경우에는 얕은 문제를 많이 풀기보다는 깊게 파고드는 연습을 통해 어려움을 느끼면서도 수학의 재미를 찾아가게 공부해야 합니다.”탑에듀학원의 김민호 원장은 초등부 학생들을 능수능란하게 다룬다. 학생들이 수학에 대한 조바심이나 불안감을 벗어나 기초가 튼튼하게 하여 공부힘을 키우는 수업을 진행한다. 2~3명이 한 팀을 이루어 진행하는 수업은 매 시간마다 앞에 배운 단원을 반복해서 복습해 나가기 때문에 시험기간이 다가와도 학생들이 당황하지 않는다. 체계적으로 복습을 이어나가는 방법은 다음 단원의 내용과 연계도 잘 이루어져 생각을 더 깊이 있게 할 수 있는 기초가 되고 있다.김 원장은 “수학에 대한 쉬운 접근법과 인내심이 결합된 공부습관조성이 매우 중요합니다. 이 방법은 공부를 제대로 하고 있는 학생들이 많이 갖고 있는 모습이죠. 학생들에게 시키기 보다는 부모님과 교사가 보여주고 같이 하는 노력이 필요합니다”라고 덧붙인다.김민호 원장의 수업은 말로 지시하지 않고 보여주고 학생 스스로 따라오게 만든다. 초등생은 학습효과가 더욱 빠르게 나타난다. 간혹 스스로 자신의 기준을 낮추는 학생이나 어려운 문제를 피하려는 성향이 강한 학생, 학부모가 기다려주지 못하는 학생은 중도 포기의 위기를 겪기도 한다. 하지만 김 원장이 잘 이끄는 대로 경시문제와 최상위문제를 다루며 성장한 학생은 중고등 학습준비를 위한 기초가 튼튼하게 쌓인다.“우선 제가 어려운 문제를 먼저 풀어 봅니다. 이후 그 문제를 축약해서 또 풀지요. 이런 식으로 한 문제를 3번 풀어봅니다. 학생들과 함께 반복해서 풀어 보고 예습과 복습 과정을 거치면 학생 스스로 공부를 단순화하고 요약해가며 따라오지요. 초등수학이라고 여기면 개념과 연산에 많이 얽매이는데 반복적인 연산연습은 오히려 생각을 짧게 하고 수박 겉핥기식 공부를 하게 만듭니다”라고 김 원장이 말한다. 인근의 잠신초, 잠일초, 버들초 등의 학생들이 많이 다니며 수업방식과 성적향상에 대한 만족도가 높다. 초등부 수업은 주5회 수업의 경우 1시간, 주 3회 수업의 경우 2시간씩 진행이 된다.겨울방학에는 국제학교와 유학생을 위한 단기 AP Caculus AB,BC 수업도 마련되어 있다. 또 단기 SAT 실전대비반도 구성되어 있다. 방학을 이용해 단기간 동안 진도를 마치려는 학생들이 꾸준히 찾고 있다. 수업은 주로 금요일부터 주말을 이용해 진행이 되고 있다.겨울방학을 이용해 예비중1은 중학수학 대수학, 기하학 지니어스 특강이 열릴 예정이며 예비고1을 위한 수학1,2 불패1등급 도전특강도 열려 학생들의 수학 잠재력을 일깨워 줄 예정이다. 예비고3을 위해서는 문·이과 수능 30번 킬러 문항 특강도 열린다.김 원장은 “겨울방학은 초·중·고생 모두가 체계적으로 수학공부를 해나가야 할 시기랍니다. 완벽하게 개념을 정리하고 정확한 연산, 깊이 있는 추리상상력을 키워 수학에 대한 자신감을 더욱 길러야 합니다. 수학은 어떤 선생님이, 어떻게 잘 이끌어주느냐에 따라 아이들의 성취도가 많이 바뀝니다”라고 강조한다. 2019-12-26
- 2021학년도 수능 수학 대비 및 내신 공부 방법에 대처하는 예비고3의 공부 방법 현 고2(예비고3)의 입시제도는 기존의 대학 수학능력시험과는 들어가는 수학내용이 달라진다. 처음으로 바뀐 입시에 대해 예비고3이 어떻게 수학 내신과 수능을 준비해야 하는지에 대해서 간단히 서술하였다.첫째, 교과서에서 다루는 정의와 증명을 소홀히 다루지 말자!기본적인 공식을 그냥 외우기 식으로 암기 해서는 좋은 점수가 절대 나올 수가 없다. 공식만 외워서 문제를 푸는 것을 기본으로 공식에 대한 증명 방법을 익힘으로 정의에 의해 나오는 변형 유형들을 익힐수 있다. 문제가 변형 되었을 때 접근할수 없다는 것은 정의와 성질을 까먹었기 때문이다. 물론, 정의와 성질만 익혔다고 모든 문제를 풀수 있는 것은 아니다. 수학이라는 과목은 가장 많은 시간과 노력을 요하기 때문에 정의와 성질을 익히고 다음으로 많은 문제 유형을 풀어봐야 할 것이다. 개념과 정의를 매번 찾아 보기 번거롭기 때문에 노트를 만들어 계속해서 찾아 보는 것이 좋다.둘째, 해설지를 보고 푼 문제는 내가 푼게 아니다. 오답 노트를 만들자!학생들이 잘못 생각하는 게 해설지를 보고 이해하면 넘어가는 습관이 있다. 이것은 나중에 유사문항이 나오면 또 틀리게 돼 있다. 이해가 됐더라도 오답노트에 적어 놓거나 붙여놔서 다시 한 번 풀 수 있도록 한 다음 유사문항이 나왔을 때 틀리면 오답노트를 보고 그 문제는 해설지를 보지 말고 풀어야 수학 실력이 늘 수 있다.셋째, 기본 개념서와 모의고사 문제를 병행하자!문제만 백날 푼다고 해서 실력이 안 느는 것은 아니지만, 틀린 문제는 개념서를 다시 한 번 풀어보는 것이 좋다.또, 문제들은 수능, 평가원 모의고사들을 기본으로 사설 모의고사도 병행하는 것이 좋다. 모의고사 푸는 습관을 기르고 처음부터는 아니지만 시간이 지날수록 100분을 염두해 두고 푸는 것이 좋다.물론, 사설 모의고사가 어렵지만 사설에서도 좋은 문제들이 평가원 또는 수능 문제로 연계가 될수 있으므로 항상 최소 주2회는 모의고사를 풀어 보는 것이 좋다.신재은고등부 대표강사분석학원문의 031-8061-8300 2019-11-24
- 고등수학 1등급으로 가는 비결 고등수학 과정을 본격적으로 시작 또는 진행하는 학생 및 학부모의 고민과 걱정이 늘어나는 시기다. 이 고민의 핵심은 ‘방학기간 내 어떤 커리큘럼으로 수업을 듣고 공부해야 우리 아이에게 가장 좋을까?’이다. 가만 있으면 불안하고, 하고 있어도 더 시켜야 하지 않을까 하는 마음으로 가장 많이 하는 행동은 학원을 옮기는 것. 옮기지 말라는 것이 아니라 불안하니 옮기는 건 지양하는 것이 좋다는 것이다. 가장 중요한 핵심을 잘 알고 이에 맞춰 옮기든, 커리큘럼을 수정하는 등의 방법을 취하는 것이 옳다.여기서 핵심은 바로 우리 아이의 현재 수학공부 상태와 실력 점검이다. 병원에 가면 약 처방 또는 치료를 먼저 하는 것이 아니다. 문진 또는 검사를 통해 환자 상태를 우선 파악 후 그에 걸 맞는 약 처방 내지 치료를 행한다. 그러나 적지 않은 학부모들은 예전에 어떤 약을 먹었고, 어떤 치료를 받았으니 이번엔 그것보단 더 효과가 강한 약 또는 치료를 받아야 한다고 이미 정하고 병원 문을 들어선다. 결국 의사와 환자는 필요 없고 보호자가 진료와 치료 그리고 약 처방까지 다 하는 셈이다.현재 상담 오는 중3들의 다수가 수학(상,하) 2~3회, 수학1,2 1~2회 정도 수준이지만 TEST(기출위주)를 본 결과를 바탕으로 결론은 수학(상) 개념부터 다시 정리를 하면서 공부를 해야 한다는 결론이 나오는 경우가 많다.위 예시와 현실을 종합하여 고등수학 1등급으로 가는 비결의 근원은 아이의 현재 상태를 면밀히 체크 후 그에 걸맞는 처방으로 커리큘럼을 정한 후 공부해야 하고, 고등수학 전반의 근원이 되는 수학(상) 과정이 입학 전 까지 제대로 된 심화정도는 하는 것이 가장 중요하다는 걸 간과해선 안 된다. 고2 과정까지 몇 번 봤다 식의 공부를 한 학생보다 수학(상)만 입학 전에 심화까지 제대로 된 학생이 수학성적이 더 좋을 것이라 단언할 수 있다. 부모의 잘못된 판단과 케어로 인해 더 성장 할 수 있는 우리 아이들의 미래를 막지 않길 진심으로 바란다.권병우원장다린수학 분당분원문의 031-714-0211 2019-12-24
- 수학 학습의 기본 원칙 수능이 끝난 지금 여전히 화두는 수학이다. 수학 성적 내기가 어려운 이유는 계통 학문의 특성상 단계적 학습이 이루어져야 하므로 1단계의 부족함이 2단계에 누적되어 단계가 올라갈수록 자신감을 잃어버리기 때문일 것이다. 이러한 점을 고려할 때 수학 학습에서 반드시 지켜야 할 몇 가지 원칙이 있다. 가장 중요한 것은 개념학습이다. 개념학습-유형학습을 진행한 후에 달성도가 높지 않은 경우는 개념에 대한 이해도가 부족해서이므로 개념노트에 스스로 개념을 정리할 수 있을 때까지 확실하게 반복학습이 이루어져야 한다. 이때는 봤던 교재 중 틀린 문제 중심으로 반복해서 보는 것이 더 도움이 된다. 개념이 확실히 잡히면 심화응용학습-창의적 발전학습은 큰 어려움 없이 진행할 수 있다.그러나 대부분은 개념학습의 완성도에 대한 확인 없이 그 다음 과정으로 직행한다. 수학 공부에 있어서 복습 없는 예습은 있을 수 없다. 확실히 다지지 않고 앞으로만 달려간다면 어느 순간 수학 성적은 무너지고 말 것이다. 수학은 반드시 손이 기억할 때까지 익혀서 완전히 자기 것으로 만들어야 한다. 지겨울 수도 있지만 수학 공부에서 피해갈 수 없는 과정이다.그것을 ‘기본을 다진다’라고 하는데, 중학교 수학 과정에 해당하며, 고등학교 수학은 중등수학을 바탕으로 심화응용하는 단계다. 따라서 고등학교 내신이 안 나오는 학생은 중등수학이 부실하기 때문이다.흔히 실수로 틀렸다고 하는 경우나 여러 가지 개념을 단계적으로 적용해서 푸는 문제에 접근을 못하는 경우이다. 이런 학생은 중등수학을 복습해야 하지만, 문제는 이미 내신 경쟁이 시작된 고등학생에게는 그럴만한 시간적, 정신적 여유가 없다는 것이다. 문제를 알지만 해결하지 못하고 시간만 보내게 된다.고층빌딩일수록 기초가 더 탄탄해야 하는 것처럼, 단계적 학습 과목인 수학도 기초학습이 탄탄해야 한다. 이번 겨울방학, 중학교나 고등학교 입학을 앞 둔 학생들은 지금까지 배운 것을 탄탄히 다지는 시간으로 활용하기를 권한다.김광옥 상담실장입실론수학학원문의 031-706-1336 2019-12-24
- 예비고1 수학, 이것만 알고 시작하자! 수학은 누구에게나 어렵고 힘든 과목이지만 같은 노력을 들이고도 결과물은 천양지차다. 중학교 때까지 바닥권의 점수를 받다가 고등학교에 이르러 전국 상위1%의 성적을 거둔 학생도 있었고, 고1 겨울방학부터 수학을 시작했던 이과학생이 이듬해 첫 고2 중간고사에 1등급을 받았는데 이 학생의 전학기까지의 성적이 8등급이었다. 또한 중3때 최상위권 성적을 유지하던 학생이 일반고등학교 진학 후 꾸준히 열심히 했으나 한 학기 내내 40점 내외의 저조한 성적을 내다 자신의 약점을 보완 후 결국 전교 1등으로 졸업한 학생도 있다. 이 학생들의 공통점을 들어 수학 점수 향상의 척도로 삼기로 하자.첫째, 이들은 자신이 수학에 자신 없어하는 것은 다른 수포자들과 같았으나 그렇기에 남들보다 더 많이 풀고 생각해야 한다고 느꼈고 그래서 방학 때 수학에 할애하는 시간이 절대적으로 많았다. 그중 전국 1%성적을 거둔 학생은 고2때까지 거의 수학에 올인했다. 적어도 수학을 잘하고 싶다면 최소 방학만이라도 이 정도의 투자가 필요하지 않을까?둘째, 질문을 하고 내 풀이에서 힌트를 얻고 듣는데 치중하지 않고 반드시 마무리는 스스로 끝내고 정리했다. 열심히 공부하는데 수학 점수가 오르지 않는 절대 다수는 질문을 몰아서 하고 풀이를 다 듣고 한꺼번에 풀이를 외운다. 정말 생각이란 걸 안한다. 이런 지적을 해도 고쳐지지 않는다.셋째, 교과서와 학교에서 나눠준 프린트물도 꼼꼼히 정리하면서 내가 선생님이라면 어떤 문제를 낼 것인지 스스로 만들어 보자. 창의적 사고는 응용을 통한 무한 반복의 연속선상에서 더 단단하게 짜여진다.넷째, 시험을 본 뒤 시험지는 반드시 다시 풀어보고 분석해 보자. 가령 시험문제가 객관식 위주의 수능 유사문제가 많이 출제되면 다음 시험 준비를 그저 풀기 좋고 쉬운 100문제를 푸는 것보다 수능 문제를 낑낑거리며 풀어내려고 노력하다보면 문제는 많이 풀지 못했어도 오히려 성적은 더 잘나오는 기현상을 보게 될 것이다.끝으로, 학교나 학원의 선생님의 강의는 절대 학생들의 수학 성적을 올려주지 못한다. 선생님의 역할은 학생이 수학을 풀면서 같이 고민하고 표준의 풀이방법을 제시받아 주체인 학생이 자신만의 방법으로 해결해 나갈 때 진정한 실력자가 될 것이다. 학생 스스로가 탐정이라 생각하고 각본 없이 수학문제를 해결해 간다면 명탐정이 됨과 동시에 수학의 달인이 될 수 있을것이다.일산 RX국영수학원박재순원장문의 031-924-3005 2019-12-20
- ‘사고력과 창의력 신장’을 위한 수학 공부법 사고력과 창의력 신장을 위한 수학 공부법이 무엇이냐고 질문을 받으면 필자는 아래와 같은 그림을 그려 설명을 하곤 했었는데 반응이 좋았던 관계로 소개하고자 한다.먼저 수학 교과에 나오는 여러 가지 공식들은 점을 찍어 표시하고 구분은 알파벳 대문자로 한다. 공식과 공식 간의 연관성을 알고 원리를 논리적으로 설명할 수 있으면 두 점을 실선으로 연결한다. 그렇지 않으면 두 점을 점선으로 연결한다.이렇게 하여 공식과 공식을 잇는 실선들이 점차 많아지는 그림(1)에 가까울수록 사고력은 신장 된다고 얘기한다. 그리고 실선들이 빈번하게 왔다 갔다 하는 과정에서 가끔은 반짝 광채가 나고 새로운 실선이 생기기도 하는데 이 빛과 새로운 실선을 창의력의 발현이라고 설명한다.그리고 실선이 많아지도록 노력하는 것이 사고력과 창의력을 신장시키는 수학 공부법이라고 설명한다. 의미를 모르면서 무작정 외우는 단순 암기와 양적인 문제풀이는 필자가 말하는 점선들을 양산하는 격이다.반대로 그림(2)와 같이 점선들이 많아진 경우라면 공식과 공식 간의 연관성이 단절된 경우이다. 이렇게 되면 공식을 빨리 잊어버릴 수 있으며, 수학적 지식의 누적이 불가능하다고 일러준다.곧 겨울 방학이다. 방학 내내 수학 공부시킨다는 명분으로 하루 종일 자녀에게 단순 암기와 양적인 문제풀이를 강요하여 아이를 고통스럽게 만들고, 결국에는 수학 과목을 끔찍이도 싫어하게 만들어 버리는 불행한 상황이 연출되지 않기를 바란다.김흥수 원장이아이디수학학원문의 02-567-7374 2019-12-19
- 어려운 문제 오래잡고 풀어야 실력 올라 쉬운 문제 100문제를 풀기보다 어려운 문제 10문제를 푸는 것이 수학실력을 키우는데 훨씬 더 도움이 된다. 다만 문제는 아이들이 어려운 문제는 지레 겁을 먹고 풀어보려는 시도조차 하지 않는다는 것. 수학을 잘하기 위해 꼭 필요한 훈련은 어떻게 가능할까? ‘너를 위한 수학’ 임위성 원장을 만나 수학 공부법과 변화하는 수능대비법에 대해 알아봤다.변화하는 수능 제대로 된 실력 키워야대입 기조 변화로 말들이 많다. 교육부의 방침이 수시 위주에서 정시 확대로 방향을 급선회하자 대입을 준비하는 학생들과 학부모들도 혼란에 빠졌다. 교육부는 현재 중 2학년에 대입을 치루는 2024년까지 정시 비중을 40%까지 늘릴 계획이다. 이에 대해 ‘너를 위한 수학’ 임위성 원장은 “수능의 영향력이 조금 커진 것뿐이지 큰 흐름에서 변화가 클 것 같지는 않다”고 내다봤다. 임 원장은 “이전에도 수시 최저등급이라든지 모집인원 이월 등으로 정시의 중요성은 컸었다. 이번 방침의 변화로 오히려 안산지역 학생들은 수능공부를 더 열심히 할 수 있는 계기가 되길 바란다”고 말했다. 변화를 기회로 만들기 위해서는 차분히 준비하면 된다는 것이 임 원장의 설명이다.수학 실력 키우는데 수시 정시 따로 없다그렇다면 어떻게 준비해야 수능까지 대비할 수 있는 수학 실력을 키울 수 있을까? 임 원장은 “수시를 위한 내신시험이나 정시를 위한 수능시험이나 다르지 않다. 수학 실력을 키우는 것만이 정도”라고 강조한다. 즉 수시를 위한 공부 정시를 위한 공부가 따로 있지 않다는 것이다.“물론 자신의 성향에 따라 입시 전략을 세우는 것은 필요하다. 학교활동에 충실한 성향의 학생들은 수시를 대비해야 하고 수능실력이 내신에 비해 월등히 높은 학생들은 정시를 준비해야 한다. 하지만 대부분의 학생들은 특별한 차이가 있기 보다는 그 중간에 분포하고 있다. 수시를 위해 정시를 포기하거나 정시를 위해 수시를 포기하는 전략을 세웠다가는 결국 대입에서 자신의 선택 폭만 좁히는 결과를 가져올 수 있다”는 것이 임 원장이 조언이다. 수시와 정시로 예단하지 말고 꾸준히 실력을 키워나갈 것을 당부했다.기출문제집 고난이도 문제를 잡아라긴 겨울방학은 집중 심화공부를 통해 실력을 한 등급 올리기에 적합한 시기다. 예비 고1학년은 물론 대입 카운트 다운이 시작된 예비 고3학년이라도 겨울방학을 어떻게 보내느냐에 따라 다음 학년 성적은 달라지는 법.임 원장은 “수학 실력은 정말 어려운 문제를 혼자 스스로 풀어낼 때 성장한다. 비록 잘 안풀리고 어렵더라도 머릿속으로 계속 생각하고 혼자 방법을 찾으려고 담고 있는 시간이 필요하다. 그렇게 어려운 문제만 푼다면 수학이 재미없을 것이고 7:3 정도의 비율로 난이도를 조절하며 수학적으로 생각하는 힘을 길러나갈 필요가 있다”고 말한다. 이 때 가장 좋은 교재로 추천하는 것이 바로 ‘기출문제집’이다. 임 원장은 “기출문제는 검증받은 좋은 문제다. 어려운 문제는 답지보고 확인하는 방법이 아니라 스스로 생각하며 풀어내는 훈련을 거친다면 반드시 실력이 올라갈 수 밖에 없다”고 말한다.고통만큼 성장한다는 말이있다. 수학에서의 고통은 ‘어려운 문제를 접했을 때 막막한 그 너머의 해답을 찾아내겠다는 의지 그 자체’다. 그 답답함을 견디지 못하고 답지를 보면 해결이 된 것 같지만 비슷한 문제에서 다시 막히고 만다. 그 답답함을 견디고 혼자 이리 저리 생각해 보는 것, 또 그런 생각을 하도록 조금은 불친절하게 가르치는 것. 그런 교수법이야 말로 그것이 진짜 실력을 키우는 길이다. 2019-12-19
- 물고기를 잡는 방법 수학시험을 대비하는 방법은 학원들마다 비슷합니다. 시판되는 시험대비 교재와 기출문제의 조합입니다. 힘들다는 학원일수록 교재의 권수와 기출문제의 양이 늘어납니다. 여기서 문제의 양과 반복을 주목할 필요가 있습니다. 예를 들어 시험대비로 100문제를 푼다고 하면, 상위권은 90개 이상의 성취도를 보일 테니 10개를 오답노트나 변형 문제, 신유형만 준비하면 될 것입니다. 성취도가 낮다면 익혀야 할 유형이 늘어나고, 오답은 끝이 없을 수도 있습니다. 그래서 학원에서는 틀린 문제 위주로 반복을 시키게 됩니다. 이 과정이 매 시험마다 되풀이 되면 수학이 암기과목처럼 되는 것입니다. 이해는 커녕 이것은 이렇게, 저것은 저렇게 꾸역꾸역 머리 속에 집어 넣었다가 시험 때 와르르 쏟아내는 것입니다. 범위가 누적이 되면 이미 다 쏟아 내었기에 다음 시험은 어디서부터 손을 대야 할지 난감합니다.같은 100점이라도 어떻게 만들어진 점수인지 알아야 할 필요가 있습니다. 90개에서 고난도 실력을 쌓은 것인지, 70개에서 반복 훈련으로 만들어 낸 것인지 말입니다. 후자의 케이스가 많은 학원일수록 인기가 좋습니다. 관리에 목을 매고 일정 성적을 만들어 주니까요. 하지만 장기적으로 보면 중학교 때는 통하다가 고등학교로 가면 안 먹히기 시작하고, 수능에서는 어느 정도의 벽에서 머물 수가 있습니다. 이를 체감했을 때는 이미 수학 학습의 체계가 굳어져서 고치기 힘든 경우가 많습니다.시험대비의 시간을 거슬러 올라가서 평소에 개념을 배울 때에 진짜 이해를 해야 되는 것입니다. 이 이해를 바탕으로 시험대비 기간의 성취도를 높여야만 매번 외우고 쏟아내는 암기과목의 패턴에서 벗어날 수 있고, 어느 범위에서 나오든 대비할 수 있는 실력이 쌓입니다. 물고기를 잡아주는 것보다 잡는 방법을 알려주어야 한다는 것은 누구나 알고 있습니다. 단순한 수학공부라 치부할 수도 있지만 12년의 학습 과정이 시험 때마다 예상 문제를 찍어서 연습시키는, 필요할 때만 물고기를 던져 주는 것이 아니라, 이해를 바탕으로 어떤 문제가 와도 변형이 가능한, 고기의 종류가 달라지더라도 잡는 방법을 생각해 낼 수 있는 능력을 키워야 할 것입니다.이태우 원장히즈매쓰문의 031-410-0038 2019-12-19