교육 총 46,237개의 기사가 있습니다.
- 수학 실력, 난이도 있는 양질의 문제 접근에 달렸다 대치동 은마아파트 후문 인근 ‘이데아학원(원장 이은숙)’은 SKY대 및 의대를 목표하는 영재고, 과고, 외고 및 일반고 학생을 대상으로 수학 내신 및 수리논술 수업을 진행하고 있는 중고등 수학ㆍ과학 전문학원이다. 난이도 있는 양질의 문제로 수학적 사고와 문제 해결력을 기르는데 초점을 맞추고 있다. 좀처럼 수학 실력이 늘지 않는 학생들을 위한 수학 솔루션, 이데아학원을 찾아가 조언을 들어봤다. 문제만 많이 풀면 수학 실력 오를까? 난이도 있는 양질의 문제 선별 1순위수학학원을 아무리 오래 다녀도 좀처럼 성적이 오르지 않는다면 무엇을, 어떻게 공부해왔는지를 먼저 재점검해봐야 한다. 여기서 ‘무엇’이라 함은 어떤 문제로 수학 공부를 해왔는가를 말하며, ‘어떻게’라 함은 문제를 풀어나가는 접근 방법을 말한다.이데아학원 한승수 강사는 “수학 공부를 열심히 하는데도 점수가 잘 안 나온다며 학원에 찾아온 학생이 있었다. 그 학생의 수학 학습 패턴을 분석해보니 쉬운 문제 중심의 문제만 풀어봤을 뿐, 난이도 있는 문제를 접해본 적이 없었다. 수학 시험의 70~80%는 상대적으로 쉬운 문제가 출제되지만, 나머지 20~30%는 다각도의 사고를 필요로 하는 문제와 이를 효과적으로 푸는 문제 해결력이 필요하다”며 수학 접근 방식의 핵심을 꼬집었다. 하지만 무조건 어렵기만 한 문제를 푸는 것만이 능사는 아니다. 한 강사는 “고난도 문제 중 실력 향상에 도움이 되는 양질의 문제를 풀어야 한다. 사고력과 문제 해결력을 기르는 데 도움이 되는 문제를 선별해 공부하는 것이 수학 실력 향상의 첫 걸음이다. 2015년 가르쳤던 백O은(세화여고)도 이 과정을 거쳐 고3 4월 모의고사 4등급에서 수능 수학 1등급을 받고 연세대 합격한 바 있다”고 밝혔다. 정답 도출하는 방법은 여러 가지! 학생 취약점 보완하는 것이 급선무 대치동 학원가에는 실력파 강사들이 대거 모여 있지만 그렇다고 모든 학생이 수학을 잘하는 것은 아니다. 강사마다 성향과 장단점, 학원의 교육 시스템이 달라서 이 역시 학생의 부족한 부분을 보완해 실력향상으로 이어지게 하는 것이 좋은 강사의 자질이기도 하다.이상준 강사는 “문제마다 정답을 도출하는 방법은 여러 개가 있다. 어떤 문제를 푸느냐에 따라 소요시간도 다르고, 과정을 얼마나 단축하느냐에 따라 실수를 줄일 수도 있다. 한 문제를 두고 몇 명의 학생이 푼다면, 학생마다 정답을 도출하기까지의 접근 방식이 다 다를 수 있다. 문제의 이해도가 떨어지는 학생도 있고, 문제풀이 속도가 느린 학생도 있다. 풀이과정은 맞는데 계산 실수가 잦기도 하고, 수학의 기본 개념을 몰라 문제를 틀리기도 한다. 또, 풀이과정 2단계까지는 잘 풀다가 3단계에서 막혀 어려움을 호소하는 학생도 있다. 이렇듯 수학 취약점이 학생마다 다르므로 이데아학원 강사진들은 학생에 맞춰 일대일 클리닉 방식으로 약점을 보완해나갈 수 있도록 지도하고 있다”고 덧붙였다. 특목·자사고·일반고 최상위권 다수 배출, 내신 및 수능과 고등 심화 수학까지 동시 대비이데아학원은 영재고, 과고, 외고 등 특목고와 자사고 및 일반고에서 최상위권 학생을 다수 배출해왔다. 중학교 때 ‘미적분, 기하벡터’를 공부했다며 고등 수학을 정복했다고 생각하는 학부모들이 의외로 많지만, 강남 고교 내신에서 수학 평균이 낮다는 점을 상기할 필요가 있다. 수학의 원리와 개념을 고등 심화 수학 연계학습으로 철저히 익혀야 고등 수학에서 우위를 선점할 수 있다는 것이 이은숙 원장의 설명이다.이데아학원 이은숙 원장은 “중학교 때 고등 수학을 잘못 배우면 오히려 나쁜 습관만 생기게 된다. 또한 고교 진학 후 최상위권으로 안착하려면 중등 수학부터 고등 심화 수학까지 시간 낭비와 시행착오 없이 효율적으로 끝낼 수 있도록 개념-응용-심화 과정을 철저히 대비해야 한다”고 강조했다. 이데아학원은 경력 7년 이상 서울대 수학과 출신 고등부 강사진을 주축으로 난이도 있는 양질의 문제를 선별해 사고력과 문제 풀이능력을 키우고, 학생 개개인의 취약점을 일대일 클리닉 시스템으로 보완하며, 과도한 선행 위주의 수업보다는 개념과 심화 수학을 동시에 대비해 최상위권으로 도약할 수 있도록 끌어주고 있다.문의 02-552-4555 2016-10-15
- 영어 점수보다는 영어 실력을 키워 미국 대학에 지원하라 학부모들이 유학을 보내는 이유는 학생들의 성공적인 미래를 위해서이다. 예전과 다를 것 없이 한국에서 성공적인 미래 란 아이비리그 혹은 미국 사립 명문 대학을 졸업했다는 엄청난 스펙을 가지고 좋은 직업을 얻는 것이다. 하지만 최근 미국 대입 경쟁을 살펴보았을 때, 아이비리그 및 사립 명문대학 만을 목적으로 유학을 보냈다 가는 입학의 문턱도 밟아보지 못하게 될 것이다. 전에 비하여 대입 경쟁은 훨씬 치열해졌다. 미국 내에서 대학 진학을 희망하는 학생들의 수도 늘었지만, 보장된 미래를 바라고 충분한 준비 없이 오는 유학생들의 수 역시 급격하게 늘어났기 때문이다.한국 유학생들은 미국 대학 진학을 위해 TOEIC, TOEFL, SAT 등 각종 시험을 준비하고 영어 청취, 회화, 작문 등을 통해 영어를 배우려고 한다. 하지만 영어교육이 단편적으로 이루어지기 때문에 한국 학생들은 충분히 훈련되지 않을 수밖에 없다. 이렇게 준비도 되지 않은 상태에서 아이비리그만을 바라보니 안 그래도 어려운 합격이 더욱 어려워지는 것이다. 특히, 아이비리그와 같은 사립 명문대들의 경우 지원자는 어마어마하게 늘어난 가운데 정원은 불과 몇 명만 늘었다. 대다수의 공립대학들도 늘어나는 지원자 수에 부응하지 못해 경쟁이 치열해졌다. 이런 상황 속에서 유명 대학들만 바라보는 유학생들이 합격을 하기는 하늘의 별 따기와 같을 것이다. 다방면에서 훈련된 학생들도 합격이 어려운 데 무조건 뛰어든 학생들의 합격은 더더욱 불가능하다. 따라서 학생들은 무조건 유명대학을 목표로 유학의 길을 정할 것이 아니라 자신의 영어 실력에 맞는 학교를 찾아야한다.필자가 미국 유학을 바라보는 학생들에게 권하는 것은, 특별한 학교만을 고집해서는 안된다는 것이다. ‘명문’이라는 이름에만 집착하지 않는다면 미국의 좋은 대학에 갈 수 있는 문은 많이 열려 있다. 또한 자신이 준비되어 있는 만큼 입학의 문 또한 열리는 것이다. 훈련이 불충분한 상태에서 학교의 ‘이름’에만 집착하다 보면 유학의 첫걸음도 못 내딛게 된다. 이제는 준비된 영어를 가지고 좋은 ‘공부’를 할 수 있고 자신에게 맞는 학교들을 알아보고 지원해야 할 때이다. 2016-10-15
- 서술형 공부의 효율성 지금 우리나라 상황에서 수학을 잘 한다는 말이 어떤 의미인지를 생각해보자. 수학적인 창의력이 뛰어난 경우보다 시험을 잘 치는 것이 수학을 잘한다는 의미로 통용되는 상황이다. 시험의 형태를 크게 나누면 내신 시험, 수능 시험, 논술고사로 나누어 볼 수 있다.먼저 내신 시험을 살펴보면 객관식과 단답형 그리고 서술형 문제가 섞여서 출제된다. 학교마다 다르겠지만 보통 50분정도의 시간에 객관식문제를 15개에서 18개 문항을 출제하고 단답형 문제를 3개에서 5개, 서술형문제를 2개에서 3개 사이로 출제한다. 시험 난이도에 따라 다르겠지만 생각을 하고 문제를 풀 여유가 없다.두 번째 수능 시험의 형태는 객관식 21문제 단답형 9문제가 출제가 된다. 고등학생들은 내신 시험과 수능시험에 초점을 두고 공부를 하지만 수능에 더 비중을 두고 공부하는 경향이 있다. 마지막으로 논술시험은 학교마다 형태가 다르지만 거의 대부분 서술형으로 출제가 되고 있다.객관식 단답형 서술형 시험의 특징을 정리해 보겠다. 객관식 문제와 단답형 문제는 답을 찾아내면 된다. 논리적 접근도 가능하고 직관이나 대입 등 비 논리적인 방법으로의 접근도 가능하다. 이에 반해 서술형 문제는 답을 찾아가는 논리를 중요하게 평가한다.이런 시험형태에서 어떤 방법으로 공부를 하는 것이 안정적으로 좋은 점수를 받을 수 있는지를 얘기해 보면 논리적 접근을 중요시하는 서술형 형태로 공부를 하는 것이 가장 효율적이라고 생각된다. 객관식이나 단답형은 빠른 풀이가 중요한데 서술형으로 공부하는 것이 적절한 방법이 아닐 것이라 생각 되는데 이는 그렇지 않다. 아는 내용을 자주 적어 보면서 개념을 정확히 정리하고 문제를 풀어나가다 보면 훨씬 효율적으로 문제들을 풀어나갈 수 있어 시간도 단축시킬 수 있다. 물론 서술형 시험에서의 효과야 말 할 필요가 없을 것이다.어떻게 그런 긴 문장을 논리적으로 써 나갈 수 있을까에 대한 두려움이 크다. 그러나 이는 자전거를 타는 것과 크게 다르지 않다. 자전거를 타보지 않은 사람이 볼 때 자전거는 아주 불안해 보인다. 그러나 실제 타본 사람들은 전혀 불안하다는 생각을 하자 않는다. 서술형 공부도 처음에는 어설퍼 보이지만 훈련을 통해 쉽게 익숙해진다. 그런데 이는 위에서도 말했던 것처럼 서술형 문제에만 도움이 되는 것이 아니고 객관식이나 단답형에도 아주 유용한 방법이 된다. 다음에는 구체적으로 서술형 공부하는 방법과 효과에 대해 얘기해 보기로 하겠다.위키매틱스심상헌 2016-10-15
- 학원을 다니지 않아도 전교권 성적이 나오는 것은? “선생님 태양이가 중학교 첫 시험 성적이 전교 00을 했어요. 아빠가 너무 좋아 하네요.그래서 선생님께 식사 대접을 하고 싶다고 하는데 언제가 좋을까요?”희망(가명)이는 초등학교 때부터 피아노 학원 외에는 다녀 본 적이 없다고 한다. 희망이 어머니는 아들이 공부에 지쳐 지금의 해맑은 모습을 볼 수 없을까봐 학원을 보내지 않는다고 하신다.방과 후에는 집에서 문제집으로 학교에서 배운 내용을 한번 더 복습하는 것이 전부였고 중학생이 되어서는 수학공부는 시간을 정해 놓고 스스로 하고 시험 공부도 혼자서 했는데 몇 과목은 만점을 받았다고 한다. 좌뇌에 비해 우뇌 발달이 약간 더딘 희망이는 행동과 말이 느리고, 눈치가 약간 없고 또래들에 비해 조금 더 순수 한 것 외에는 친구관계도 좋고 별다른 문제는 없었다.중학생이 되면 학업 양이 많아지고 문제 해결능력이 빨라져야 아이가 ‘스트레스를 덜 받고 공부할 수 있지 않을까’를 걱정하신 희망이 어머님이 선택하신 것은 학원이 아닌 ‘뉴로피드백’ 뇌 훈련 이었다.모든 사람들은 좌우뇌가 약간씩 비대칭이지만 불균형의 정도에 따라 행동과 학습에 영향을 미친다는 것을 아는 사람은 별로 없다. 그래서 성적이 오르지 않으면 학원 수를 하나 더 늘려 주는 것을 최선의 방법이라고 생각 할 수도 있다.그러나 같은 학원에서 집중하여 똑 같은 수업을 들어도 결과는 다르게 나오는 경우 이것을 집중력의 차이라고 할 수 있을까?아니다 집중을 해서 수업을 들어도 뇌 효율성이 떨어지는 학생은 배운 내용을 내 것으로 만드는 능력이 부족하다.희망이 어머님의 선택이 탁월한 것은 바로 그것이다. 뇌 효율성을 알고 있다는 것, 좌뇌와 우뇌 발달이 비대칭이거나 전두엽의 혈행이 원활하지 않으면 공부를 할 때 뉴런의 연결성이 유연하지 않고 효율적이지 못하기 때문에 공부한 시간과 양에 비해 결과는 만족스럽지 못하게 나오는 특징이 있다.뇌 훈련으로 뉴런과 시냅스의 연결망이 촘촘해지고 유연해지면 공부에 날개를 달수 있는데 어머님들이 이해를 잘 못하시는 것 같아서 안타까울 때가 많다.의사가 되는 것이 꿈인 희망이는 월 수 금 3회씩 뇌 훈련을 한다. 우리의 귀한 미래들이 스트레스는 최소한으로 줄이고 학습능력은 최대로 높일 수 있는 방법, 뇌 발달의 한계는 없으므로 더욱 많은 학생들이 ‘뉴로피드백’으로 도움 받기를 기대 해 본다.비엔임지심리모정현 2016-10-15
- 두더지 잡기 게임과 수학 ‘두더지 잡기’ 게임을 모르는 사람은 없을 것이다. 뿅망치를 들고 바로 앞에서 갑자기 머리를 내미는 두더지를 힘껏 때리면 순식간에 그 옆에서 갑자기 다른 녀석이 뛰어오르고 또 그녀석을 때리려 하면 저쪽에서 연이어 솟아오르는 또 다른 녀석들….이리저리 솟아오르는 녀석들을 우왕좌왕 쫓아다니다 점수를 별로 얻지 못하고 게임이 끝나버려 늘 아쉬워했던 기억이 아련하다. 물론 순발력이 좋은 친구들은 꽤 많은 두더지를 잡아냈지만 끊임없이 이쪽저쪽에서 계속 솟아오르는 그 녀석들 때문에 얼마나 힘들었는지….수학에 그리 연관이 있어 보이지 않는 ‘두더지 잡기’ 게임을 이렇게 언급한 이유는 끊임없는 반복 암기식 문제 풀이위주의 수학 학습 방법이 결국 수학 공부를 한심한 두더지 잡기 게임처럼 의미 없게 만들어 버린다는 것에 경종을 울리기 위함이다. 우리 아이를 비롯하여 주위의 수많은 학생들의 수학 공부 모습들을 보라. 수1이란 두더지를 열심히 몇 달 동안 잡고 나서 그 다음 과정인 수2라는 두더지 잡기에 열중하다 보면 시간이 지남에 따라 수1의 망각이 시작되며 동시에 수1의 어려운 개념들도 구멍이 생겨 두더지처럼 수1이 다시 잡아달라며 슬그머니 고개를 든다. 완벽하게 잡아내지 못한 수1, 수2 두더지를 뒤로하고 확통을 힘들게 마치면 미적이라는 새 두더지가 솟아오른다. 미적을 어렵사리 마칠 때쯤 몇 달 전 잡은 수2 두더지가 구멍이 많다며 다시 솟아오르고 뒤에 기벡을 잡으면 미적이 또다시 고개를 드는, 그래서 또 잡아야 하는 끝없는 두더지 잡기가 우리 아이들의 한심한 수학 공부의 모습이다.이제 단순 반복 유형 암기식 수학의 두더지 잡기는 끝내야 한다. 개념 원리의 연계와 융합 그리고 이해에 바탕을 둔 김필립수학만의 특별한 ‘초집중 수업’은 단 한방의 망치로 두더지를 완전히 제압하듯 수학을 완벽히 정복할 수 있도록 이끌어 낸다. 노력과 시간이 끝없이 반복 투입되어야 하는 대부분의 수학공부는 더 이상 공부가 아님을 명심하라. 그것은 영원히 잡을 수 없는 의미 없는 무한 ‘두더지 잡기’일 뿐일 테니.김필립수학김필립 원장 2016-10-15
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전략적인 입시성공을 위한 3박자
우리가 자녀/학생들에게 끊임없이 하는 조언 중 하나는 '노력'하자. 지금 현 상황(점수)에 안주하지 말고, 계속 노력해서 발전하라는 것. 이 조언은 자녀/학생 뿐 아니라 부모님 그리고 선생님들 모두가 스스로 되짚어 봐야 하는 조언이다.지금의 입시는 공부만 잘한다고 해서 모두가 잘되지 않는다. 공부 외적으로 자녀의 장점은 극대화시키고, 부족한 부분은 보완하면서 전략적으로 완벽한 학생이 되기 위한 노력이 필요하다. 그럼 이러한 부분은 누가 더욱 적극적으로 나가서 채워가야겠는가? 바로 우리 자녀를 가장 잘 아는 부모이다. 교육과정 ‧ 입시전형은 계속 바뀌어가고, 이러한 전략적인 부분을 제외하고도 여러 학생들의 학습적인 부분까지 관리를 해야 되는 선생님들이 혼자서 학생들의 입시를 전담하기에는 역부족이다. 이에, '더 베스트학원'은 학부모님들께 고입입시에 대한 설명회를 세분화하여 진행하고자 한다. 1부. 고등학교 종류 분석하기.‘특목고의 종류에는 무엇이 있을까요?’, ‘자율형 공립 고등학교(자공고)는 무엇인가요?’, ‘자율형 사립 고등학교(자사고)의 전국모집과 광역모집에 차이는 무엇인가요?’, ‘왜 요즘 일반고보다 자사고의 선호도가 더 높아졌을까요?’, ‘왜 외국어 고등학교(외고)의 선호도가 떨어졌을까요?’학부모님들 마다 위의 질문에 대답할 수 있는 정도의 차이는 있겠지만, 아마도 정확하게 모든 질문에 대답할 수 있는 학부모님은 없을 것이라 감히 추측해본다. 그래서 나또한 평상시 원생 학부모님들의 고민을 함께 해결코자, 혹은 이러한 설명회를 통해서 학부모님들께 조금이라도 도움이 되고자 수없이 책을 읽고, 검색을 하고 여러 포럼에 참여하여 공부한다. 교육과정과 입시는 어느 때보다도 많은 변화를 겪고 있다. 따라서 효과적인 고입을 준비하기 위해서는 무엇보다 대충이라도 고등학교의 세부종류에 대해서는 알고 있어야한다. 정확하게 각각의 고등학교들이 어떠한 특징을 가지고 있고, 학생들이 무엇을 갖추어야 하는지 알 필요는 없어도 학교에 대한 기본적인 정보는 혹 어머니와 학생이 준비한 A 고등학교를 떨어졌다고 하더라도 차선의 고등학교를 정하는데 분명 도움이 될 것이다. 2부. 생활기록부(생기부) 분석하기.도입 글에서 말했던 것처럼, '부모가 입시전문가'가 되어야 하는 이유는 전략적 입시성공을 이루기 위하여, 그리고 우리 자녀만 봐줄 수 없는 선생님들의 한계 때문이라도 꼭 필요하다. 고등학교 종류를 어느 정도 파악하고 이를 위해 마음의 준비를 한 들 무엇 하겠는가. 자녀가 원하는 고등학교에 입학하기에는 다른 아이들과 구별되는 뚜렷한 특징이 어디에도 없는데 말이다. 이때에도 알아서 해주지 않은 학교선생님만 탓할 것인가? 물론, 생활기록부에 관한 내용은 전적으로 교사의 작성 영역이었기 때문에 과거에는 학생이나 학부모는 알 필요가 없었지만, 지금은 변했다. 간혹, 어떤 학교에서는 학년 말에 선생님께서 생기부에 수정할 내용이 있으면 알려달라고 하는데 부모가 생기부를 전혀 볼 줄 모른다면 수정의 기회, 즉 우리 자녀가 특정 고등학교에 조금 더 적합해질 수 있는 기회를 놓치는 것이다.더 좋은 고입을 위해서만 생기부가 중요한 것은 아니다. 현 자유학기제를 시행하고 있는 중학교 1학년에게는 '생기부관리'에 대하여 천 번을 말하여도 지나치지 않는다. 현 중학 1학년은 내신도 1년에 한 번이라 공부의 중요성을 실감하지 못하고 있어 사실상 초등 7학년과 같은 생활을 하고 있다. 그렇다고 적성과 직업을 찾기 위한 탐구활동은 효율적으로 하고 있는가? 이 부분에 대해서는 말을 아끼겠다. 두 마리 토끼를 다 잡기는커녕 토끼가 어디있는지도 모르는 실정이다. 반복적인 실수를 하지 않기 위해서도, 조금이라도 발전한 내일을 위해서 지금 중학생활에 집중하고 이를 관리하는 것이 필요하다. 훌륭한 미래를 위해 학습과 진로적인 부분을 채워가는 학생, 학생들 모두가 방황하지 않고 최대한 자신의 미래를 위해 찾아갈 수 있도록 지도하는 선생님, 그리고 우리 자녀가 행복할 수 있도록 옆에서 꾸준히 지지하고, 덜 고생하도록 학습과 진로적인 부분에서 함께 고민하고 노력하는 학부모님. 이 3명 모두가 힘을 합쳐 우리 자녀/학생들이 전략적 입시성공을 이룰 수 있도록 더베스트학원에서는 학생, 학부모님과 함께 지금보다 더욱 노력하고 함께 발전하고자 최선을 다할 것이다. 더베스트영어정소영원장
2016-10-13
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세상을 움직이는 비밀, 수와 기하 ‘문명과 수학’ (1)
여러 수상이력이 있는 동명의 EBS 다큐시리즈를 도서화한 ‘문명과수학’은 수학역사에 관한 내용이다. 교과서적인 역사책이 아니기 때문에 빠진 문명(바빌로니아,중국문명)들도 있지만, 수학사의 전반적인 주인공격인 이집트문명, 그리스문명, 인도-아랍문명에서 발생한 수학의 기원과 미적분을 비롯한 근현대 수학의 발전상을 꽤 흥미진진하게 풀어나간다. 그리고 교육적인 측면을 위해서 역사적인 내용속에 수학적으로 구현될 수 있는 요소들을 꽤나 포함시켰고, 또한 부록을 통해서 각 장에서 언급하는 수학적인 내용들을 한번 더 보충해가기도 한다. 이 책에서 수학은 인류가 자연현상을 이해하고 표현하는 언어의 역할을 한다고 말한다.1부에서는 먼저 수의 개념은 이집트 문명에서 시작된다. 생존의 필요에 의한 막연한 셈의 단계를 넘어선 수를 의미한다. 왕의 무덤에서 발견된 파피루스는 왕국 경영에 필요한 지식이 수학이었음을 보여준다. 기원전 1650년경 이집트의 서기 아메스는 견습생을 위한 기하, 산술문제집을 파피루스에 필사했다. 이는 왕국의 모든 문제를 해결할 수 있는 2000년 전부터 내려온 것들이 적혀있다. 바로 수학으로 각종 다각형과 원 등 도형의 넓이와 부피를 구하는 법 그리고 단위분수의 계산과 일차방정식 풀이 등을 포함해 모두 84개의 문제가 담겨있다. 당시 수학은 고위 관리자들의 전유물이었다. 고대 이집트의 신들 중 나일강의 여신 히피는 인간에게 수학을 하도록 만든 신이다. 그녀는 비가 거의 오지 않는 이집트에 홍수를 일으키는 신이다. 상류의 퇴적물을 하류로 옮기기에 땅이 비옥해지지만, 그 경계는 다 허물어진다. 파라오에겐 백성들한테 그들의 땅을 다시 찾아주어야 하는 책임이 있다. 경계를 다시 짓는 건 수학의 문제인데 그중 원의 넓이를 구해야 하는 일이 종종 발생한다. 이집트인들이 원의 넓이를 구하는 방법은 지름을 9등분하여 그중 1을 버리고 남은 8을 한 변으로 하는 정사각형의 넓이를 원의넓이로 구했다. 이는 작은 돌멩이 64개로 정사각형을 만들과 다시 배열하여 원의 넓이를 만들었을 때 지름을 이루는 돌멩이의 수가 9가 되는 식으로 실증했다. 다양한 도형의 넓이를 구하기 위해서 곱셈을 만들었고, 피라미드를 건설한 노동자들에게는 월급이 지급됐는데 화폐는 아직 없어서 빵이나 보리 등 곡식으로 지급됐다. 이를 분배하기 위해서 나눗셈을 만들었다. (물론 현대적 방식의 곱셈과 나눗셈은 아니다.)이들에게 중요한 것은 원리와 치밀한 증명이 아닌 현실문제의 해결이었다. 이는 이집트수학이 오랜 역사를 거치면서도 거의 답보상태로 놓인 원인이기도 하다. 다각형들을 이용해 곡선의 면적을 구하는 착출법(소진법)이 나온 건 그 이후 17세기 미적분학의 탄생에 영향을 미쳤다. 2부는 고대 그리스 문명으로 넘어간다. 피타고라스와 플라톤이 산술과 기하를 논했고, 2000년동안 기하학의 핵심이었던 유클리드 기하학이 만들어진 건 모두 고대 그리스였다. 고대의 경험적이고 실용적인 차원의 수학을 흡수한 그리스인들은 이집트와 바빌로니아 서기들이 사용한 원리들을 명증한 언어로 끌어냈다.(증명 또는 연역) 주어진 해법에 따라 문제를 푸는 것과 그 안에 내재된 보편적 원리를 규명하려는 태도사이에는 커다란 차이가 존재한다. 유클리드의 원론은 그리스적 사유체계를 예증하는 상징이다. 원론은 당시 왕이 배웠던 수학책이다. 피타고라스는 예언자이며 신비론자로 탈레스의 제자였다. 그는 대장간의 망치소리에서 길이가 2/3를 이루는 쇠막대에서 화음을 이룬다는 것을 발견하고 이 세상은 정수의 비로 이루어졌다고 생각했다. 피타고라스 정리의 숫자들은 그 이전 바빌론과 이집트사람들도 알고 있었지만, 피타고라스가 증명을 통해 법칙을 만들었기에 그의 이름이 붙은 것이다. 하지만, 이후 그의 제자 히파수스가 무리수를 발견함으로써 피타고라스의 정수체계가 무너졌다. 그가 보이지 않는 무리수를 발견한 것도 증명의 힘이었다. ‘이세상은 무엇으로 이뤄졌을까?’ 에 대한 답으로 그리스인들은 자기들만의 이야기 방식을 만들어냈는데 이것이 바로 증명이다.기하는 쪼갤 수 없는 점에서 출발한다고 유클리드는 원론에서 시작한다. 이렇게 시작해서 23가지 정의를 나열하고 다음으로는 증명이 필요없는 자명한 명제인 공리가 나온다. 원론은 초등수학 입문용으로 만들어진 교재인데 한편으로는 체계적인 이론서이자 이후세대의 학술서와 선언문의 구성방식을 제시한 본보기이기도하다. 자명한 공리에서 출발해 부정할 수 없는 결론에 이르는 방식이다. 미국의 독립선언서, 뉴턴의 프린키피아, 스피노자의 윤리학등 많은 책이 이러한 형식을 따르고 있다.이집트문명과 그리스 문명의 대조는 수학의 양면성을 명쾌하게 보여준다. 즉 현실세계의 필요에 답하는 유용성의 측면과 우주질서에 대한 추상적이고 사변적인 질문에 답하는 철학적 측면이다. 두 문명의 수학이 이리도 다른 이유는 전자는 측량이나 상업거래와 같은 구체적인 것이었고, 후자는 우주에 대해 이해하고자 한 갈망이다. 3부는 신을 사랑하고 영원을 믿었던 나라, 인도문명이다. 그들이 만든 숫자 하나가 인류의 역사를 바꿨다. 존재와 부재를 넘나드는 기묘한 숫자, 0은 수학을 무한의 세계로 뻗어 나가게 만들었고, 과학에게 우주를 상상할 수 있는 힘을 주었다. 종교의 나라 인도에서 인류 최고의 발명품 0이 탄생한 내력을 추적한다. 인도는 건물에 0층이 존재하는 나라 0의 고향이다. 인도수학은 천문학적 지식이 발전하면서 엄청난 진전을 보였는데 천문학에 필요한 큰 자릿수 계산 때문에 수의 계산방법이 발달했다.계산법뿐만 아니라 산술삼각법, 대수학, 기수법등으로 확대된다. 그중 삼각법이 가장 중요한 업적이다. 삼각법은 직접 잴 수 없는 길이를 잴때 편리하다. 삼각법의 기본개념은 고대 그리스에서 시작되었지만 그들은 몇 개의 특정한 각만 알고있었다. 하지만 인도인들은 훨씬 더 많이 알고 있었다.인도인들이 만든 수가 얼마나 위대한지를 알려면 다른 문명에서 사용되던 숫자를 살펴보면 된다. 이집트, 그리스, 로마 모두 수가 커짐에 따라서 문자를 계속 만들어 사용했다. 그리스는 계산술을 천시하여 큰수에 연연해하지 않았다. 중국은 두자리마다 새로운 수를 만들었다. 바빌로니아는 두 개의 쐐기문자만 사용해서 60진법을 사용하였다. 60이 넘어가면 문자 사이를 띄어서 표기했지만, 이 역시 불완전했다. 약 1200년 전 인도에서 0이 발명되었는데 이것이 현대적 위치기수법을 만들어진 순간이 된 것이다. 우선 인도는 1부터 9까지 다른 수를 쓰고 새로 숫자를 만들지 않고 수하나를 덧붙였다. 이는 아라비아를 거쳐 유럽으로 가서 아라비아숫자라는 이름이 붙었다.7세기 브라마굽타는 인도 천문학의 중심지 우자인에서 천문관장을 했다. 당시 인도천문학은 서양을 훨씬 앞서 있었는데, 그들은 이미 지구가 둥글다는 것을 알았고 지구둘레를 실제와거의 비슷하게 계산했다. 수학은 당시 천문학의 보조수단이었는데 브라마굽타는 수학자체에 고민을 시작했다. 그가 쓴 ‘브라마스푸타시단타’에는 음수와 양수,0에 대한 사칙연산, 거듭제곱, 제곱근 구하기가 담겨있다. 대수학의 도약이다. 0이 최초로 수학에 쓰였고 0이 독립적으로 쓰인 것은 계산속에 포함되면서이다.* 다음호에 이어집니다.크림슨수학이진혁 원장
2016-10-13
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어떤 고등학교를 가느냐가 인생을 결정한다
1. 학종 시대에는 내신 등급이 절대적이다.많은 어머님들이 고교 선택의 시즌을 맞아 다양한 고민을 하시리라 생각한다. 고등학교 선택에 있어서 가장 잘못된 것은 잘하는 학생이 너무 많은 고등학교에 진학을 시키신다는 것이다. 문제는, 이 일대 S나 D고, D여고 같은 경우 내신 등급 따기가 너무나 힘들다는 것이다. 최소 서울에 있는 대학에 진학하려면 내신이 종합 3.0 이여야 하는데, 3등급이 나오려면 상위 10%에 들어야 한다. 전교생이 700명이면 70등 안에 들어야한다는 계산이 나오는데, 위 학교들에서 이런 성적을 얻는 것은 결코 쉬운 일이 아니다. 필자가 입시지도를 했던 한 학생의 경우 S고등학교에 진학하려고 하는 것을 말려서 이 상계동 C남고등학교에 진학시켰다. 이 학교는 평균학력이 S고에 비하면 엄청나게 떨어지고, 실제로 수능 평균성적으로 봐도 실로 많은 차이가 있다. 다행히 이 학생은 C고등학교에 잘 적응하여 2점대 초반의 내신을 맞을 수 있었고, 이 성적을 바탕으로 서울권 상위권 대학에 수시 지원을 했다. 만약 이 학생이 S고에 갔다면? 5점대 내신을 맞고 수시를 포기했을 것이다. 다시 말하지만 수시는 전체 대입정원에 80퍼센트 가까운 비중을 차지하고 있다. 수시를 포기하면 대학을 포기하는 것이나 다름없는 것이다, 2. 과거부터 내려오는 내임벨류는 의미가 없다.필자가 아는 의학전문대학원에 진학한 한 학생이 있다. 이 학생은 대전에 있는 기숙형 카톨릭학교인 D고등학교를 졸업하였는데 이곳에서 전교 6등의 내신을 갖고 서울대학교에 특기자전형으로 합격할 수 있었다. 이후 서울대학교에서 좋은 성적을 얻고 의학전문대학원에 진학하였는데 이 학생이 대학 4학년 때 텝스 점수가 400점대였다. 400점대, 이 정도면 은행사거리 일대 중학생들의 평균점수정도 될 것이다. 결국, 이런 이야기하기 미안하지만 평균학력 미달수준의 학생이 어떻게 서울대학교에 진학한 것인가? 이는 대전 D고등학교의 수준이 심각하게 낮다는 것이다. 실제로 작년 노원구에 있는 T고등학교의 경우 서울대학교 학교장 추천을 받은 학생들이 (전교에서 문이과 각1명씩 두명) 수능 최저 등급을 맞지 못할 것을 우려해 (2등급 3과목) 학교장 추천을 포기하는 것을 본적이 있다. 이러한 학교에서는 내신을 열심히 하면 충분히 2점대 내신을 받고 좋은 대학교 진학할 수 있다는 것이다. 필자는 이 일대 고등학교 학생들을 무수히 보았기 때문에 어느 정도 수준에서 각 학교의 전교권 아이들의 실력이 형성되는지 너무나 잘 알고 있다. 이미 잘하는 학생이라면 어느 고등학교에 진학해도 무방하나, 부디 현명하신 선택을 하기 바란다. 특히 D여고의 경우 이과학생들의 수준이 굉장히 높아서, 이과에 진학하는 경우 내신 따기가 정말 힘들다. 시험이 어려워서가 아니라 잘하는 아이가 많다는 것이다. 등급이라는 것은 상대평가로 결정되기 때문이다. 3. 그럼 어디를 가란 말이냐? 제일 추천하고 싶은 고등학교는 노원구에 C남고와, J남자고등학교 이다. 여학생들의 경우 C여고를 추천하고 싶다. C여고 전교1등이 D여고에 오면 거의 전교 100등 밖으로 밀려난다.실제로 태랑중에서 전교 1등을 해서 D여고에 전체 3등의 내신으로 입학했던 학생이 첫 시험에서 전교 100등을 하고 멘붕하는 것을 본적이 있다. 결국 수능으로 대학을 갔지만 너무 아쉬워했다. 이 학생이 아마 중학교 근처 고등학교를 갔더라면 전교 3등 안에 들어서 연고대는 무난하게 합격하였을 것이다. 결국 결론은 내신을 잘 딸 수 있는 고등학교에 부디 아이를 진학시키시라는 것이다. 이게 제일 먼저다. 다른 내용은 다 부차적이다. 이후에 생활기록부관리, 봉사, 독서기록장 관리 등이 필수적인 것은 말할 필요도 없는 것이다. 하지만 일단, 내신이 3등급을 넘는다면 서울권 대학에 진학은 힘들다는 것을 꼭 명심하셨으면 좋겠다. 실제로 이과 3등급이면 가천대학이나 한양대 에리카 캠퍼스 정도를 쓰는 것이 맞는데, 이 일대 학생들은 수능으로 가도 충분히 갈 수 있다고 생각하기 때문에 상향지원을 하고 결국 수시는 떨어진다. 그럴 것이었다면 차라리, 나쁜 학교를 가서 수능준비를 잘하고 내신도 잘 따는 전략이 가장 합리적인 것이다. 우리 애는 분위기에 영향을 받는데요? 잘하는 고등학교에도 노는 애들은 어디에나 있다. 분위기에 휩쓸릴 애들은 어디가도 휩쓸린다. 분위기가 중요한 것이 아니라, 내신 등급이라는 ‘팩트’ 가 중요한 것이다. 하버드학원 박종덕 원장(대치입시컨설팅 대표)
2016-10-13
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새로운 영어내신에는 변화된 학습 전략이 필요하다
대부분 중·고등학교의 2학기 첫 번째 내신이 마무리 되었습니다. 열심히 노력해 만족스러운 결과를 받은 학생도 있고 좌절과 실망을 경험한 학생들도 있을 겁니다. 과연 집중력과 공부시간만의 문제일까요? 앞으로 다시는 반복되지 않을 실수일까요? 내신 준비하는 출발선상에서 방향은 잘못되지는 않았는지 생각해보겠습니다.변화하고 있는 영어 내신 평가 중학교에선 교과서 2~3개 과의 내용 이해, 생활영어 표현 및 중등 필수 문법을 배우고 학교에 따라 전체 범위의 약 20~30%를 차지하는 교과서 내용과 관련된 지문이나 영영단어 핸드아웃 등이 추가되고 있습니다. 고등학교는 교과서 2~3개 과와 고등 어법을 배우며 거의 모든 학교들이 교과서 이외에 수능모의고사 지문을 시험범위에 포함시키고 EBS교재나 추가읽기를 부교재로 사용하고 있습니다. 고등은 전체 범위의 50~60% 이상을 난이도가 높은 교과서 외 범위가 차지하고 있어 교과서의 중요성은 중등에 비해 떨어지며 수능형 문제유형이 주를 이룹니다. 시험 구성을 보면 중고등 모두 서술형 문제의 비중이 30~40%를 차지하고 있으며 그 중에서도 한 문제당 배점이 6~8점에 이르는 서술형 문법문제가 중상위권 학생들의 점수 등락에 가장 큰 원인이 되고 있습니다. 영어 내신 고득점을 막는 장애물 과거 영어 내신 대비를 위해서 교과서를 암기하고 평가문제집이나 내신 문제집을 풀기만 하면 어느 정도 고득점을 만들어 낼 수 있었습니다. 그런데 최근에 교과서 외 범위가 늘어나 중등에서 교과서 암기만으론 충분하지 않게 되었고 중학교에서조차 교과서나 학교프린트에선 볼 수 없었던 지문이 시험에 출제되는 경우도 있습니다. 더욱이 고등학교에선 중등의 몇 배에 달하는 범위 분량 때문에 극소수 학생들을 제외하곤 암기가 쉽지 않고 수능 문제 유형이 아닌 단순한 사실 관계나 교과서에만 익숙한 학생들에겐 한층 더 어려움이 가중되었습니다. 빈 칸을 채우는 단답형 서술형이 아닌 내용을 요약해 문장을 재구성해야하는 서술형은 기본적인 문장영작능력을 갖추고 있어야 점수로 연결시킬 수 있습니다.문법 영작과 수능형 문제 해결능력이 필요 이런 난관을 헤쳐나가기 위해 가장 먼저 준비해야 하는 것은 다독을 통한 완벽한 내용의 이해이며 교과서 외 범위까지 주제와 논리구조를 파악해 스스로 정리한 후 교과내용의 문법을 다양하게 활용한 영작 훈련까지 이루어져야 합니다. 이 중에서 가장 어렵고 단기간 내에 해결하기 어려운 문장 영작은 저학년부터 준비가 되어야 하며 주제와 빈칸 추론 같은 수능 문제해결을 위해 독서와 사고력의 중요성은 아무리 강조해도 지나치지 않습니다.수행평가도 성적에 합산 내신에 또 하나 중요한 변수는 최근 비중이 늘어난 수행평가입니다. 한 학기 성적에서 중학교는 40~50%까지 고등학교는 20~30%까지 수행평가가 차지하고 있습니다. 학기 중 수시로 시행되는 말하기·쓰기·듣기 평가 등도 감점이 없도록 주의를 기울여야만 만족스러운 결과로 이어질 수 있습니다.임팩트7영어학원윤필선 원장
2016-10-13
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비중 높아진 수학, 최고난도 문제를 정복하라
입시변화에 따라 수학실력이 더 중요해졌다. 여기에 개정된 교육과정에서는 수학을 통한 각 과목의 창의사고력과 융합능력까지 요구하고 있다. 하지만 자녀의 수학을 초등부터 기초를 잡지 못하면 수학포기 현상을 빚곤 한다. 중학교와 고등학교 수학을 어려워하는 이유도 이 때문이다. 수학적 사고력 기르기와 학교 내신 및 특목 입시를 위한 공부 방법에 대해 알아보았다.부천 중동에서 10년간 수학 지도 노하우 결과부천중동지역에서 초중고 내신수학을 기본으로 특목과 대입을 지도한 실력수학학원이 올해로 개원 10주년을 맞았다. 그 동안 이곳에서는 소수정예반을 구성해 완전학습을 실시한 결과, 놀랄만한 내신 상위권자와 상급학교 진학실적을 기록했다.먼저 실력수학학원은 중동지역을 기본으로 부천시내 중등과 고등에서 학교 내신 상위권자가 정기고사 때마다 배출되어 관심을 모으고 있다. 특히 시험을 치르지 않는 초등생이 처음 치르는 중학교 정기고사에서도 계남중을 시작으로 부명중과 심원중 등에서 다수의 내신상위권 학생이 배출된 바 있다.또한 고교 역시 계남고, 부천여고, 원미고, 부천고, 심원고, 부명고, 중흥고, 중원고 등에서 내신 1등급은 물론 함현고와 경기외고, 과천외고 및 북일고 등의 내신1등급을 배출하고 있다.이밖에도 원광대 한의대와 연세대 및 서울시립대 등의 대학 진학자 역시 우수한 수학실력을 기반으로 배출되어 화제를 모으고 있다. 그렇다면 실력수학학원의 수학 지도 노하우는 어디에 있는 것일까.초등부터 수학을 전문적으로 배워야 중등과 고등수학 가능부천 중등과 고등내신은 물론 특목과 대입에서 수학 실력을 발휘하는 실력수학학원의 노하우는 먼저 알 때까지 지도되는 자기주도학습 기반 완전학습 시스템에 있다. 이를 위해 이곳에서는 입학테스트를 통해 수준별로 반 배정을 한다. 한 반 정원은 4~6으로 소수정예이다.실력수학학원 전대준 원장은 “실력수학학원에서는 완전학습을 기본으로 창의사고력 훈련으로 지도한다. 특히 학생들이 고전하는 서술논술형 문항 지도는 다양한 풀이방법과 훈련을 통해 사고력을 키우고 확장하는 기회”라고 말했다.특히 최고난도 서술논술형 문항 정복을 위한 창의사고력 훈련은 학생들에게 고득점을 통해 자신감을 주고 있다. 학교 내신에서 만점자들이 특목고와 대입에서 좋은 결과를 내는 것도 탄탄한 수학실력에 따른 자신감의 결과이기 때문이다.각종 입시에서 더 중요해진 수학비중최근 수능변화에 따라 수학이 더 중요해졌다. 따라서 수학을 초등부터 더 비중 있게 공부해야 한다고 한다. 과연 입시전략에서 수학 비중은 예전보다 얼마나 높아지고 달라진 것일까.전 원장은 “영어가 절대평가로 바뀌면서 수학의 비중은 늘어났다. 특히 특목고는 물론 대학 측에서는 우수학생 선발의 기준 중 하나를 수학적 능력으로 평가하고 있다. 하지만 수학은 초등부터 꾸준히 관리하지 않으면 중등과 고등에서 기피과목으로 전락되고 만다”고 지적했다.특히 최근 들어 초등과정이 과정중심 평가로 바뀌면서 시험을 치르지 않게 되었다. 때문에 중학교에서 치르는 수학 시험은 생소하고 어렵게 느껴진다. 여기에 초등 고학년 과정은 중등과 고등수학과 유기적으로 연계되어 있다. 따라서 수학을 초등부터 전문적으로 학습해야 하는 가장 큰 이유도 이 때문이다.
2016-10-13
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